河北省张家口市2020届高三5月普通高等学校招生全国统一模拟考试文科数学试卷（A卷）含答案

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1、20202020 年普通高等学校招生全国统一模拟考试年普通高等学校招生全国统一模拟考试 文科数学文科数学20205 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2回答选择题时，写出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑如需改动用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1集合10Axx，集合 21, x By yxR，则AB （ ） A1, B1, C0, D 2复数

2、 2 3 1 i i i 的共轭复数是（ ） A1 2i B1 2i C21i D21i 3下图是 2020 年 2 月 15 日至 3 月 2 日武汉市新冠肺炎新增确诊病例的折线统计图则下列说法不正确的 是（ ） 2020 年 2 月 15 日3 月 2 日武汉市新冠肺炎新增确诊病例 A2020 年 2 月 19 日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数 B武汉市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低 C2020 年 2 月 19 日至 3 月 2 日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于 400 人的有 8 天 D2020 年 2 月 15 日到 3 月 2 日武汉市新冠肺炎新

3、增确诊病例最多的一天比最少的一天多 1549 人 4等差数列 n a的前 n 项和为 n S，满足 107 27SS，则 9 a （ ） A3 3 B3 3 C3 D3 5角谷猜想， 也叫31n猜想， 是由日本数学家角谷静夫发现的，是指对于每一个正整数，如果它是奇数， 则对它乘 3 再加 1；如果它是偶数，则对它除以 2，如此循环最终都能够得到 1如：取6n，根据上述过 程，得出 6，3，10，5，16，8，4，2，1，共 9 个数若5n，根据上述过程得出的整数中，随机选取两 个不同的数，则这两个数都是偶数的概率为（ ） A 3 7 B 7 15 C 2 5 D 3 5 6已知函数 f x是偶

4、函数，1f x为奇函数，并且当1,2x时， 12f xx ，则下列选项正 确的是（ ） A f x在3, 2 上为减函数，且 0f x B f x在3, 2 上为减函数，且 0f x C f x在3, 2 上为增函数，且 0f x D f x在3, 2 上为增函数，且 0f x 7如图，在边长为 1 的正方形网格中，粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体积为（ ） A16 B16 3 C32 D8 8双曲 22 22 10,0 xy ab ab 的渐近线与圆 222 xya在第一、二象限分别交于 M，N 两点，且 MNa，则双曲线的离心率为（ ） A 1 2 B 2 3 3 C3 D2 9

5、已知1,0AB ，2,2BC 若 ABACBC且10AC，则的值为（ ） A4 2 B4 2 C6 2 D6 2 10 如图是函数 sin0,0,| 2 f xAxA 的部分图象， 设 0 x是函数 f x在, 4 4 上的极小值点，则 00 f xfx的值为（ ） A0 B3 C23 D23 11函数 tan x f xxxe在, 2 2 上的零点个数为（ ） A1 B2 C3 D4 12把圆心角为120的扇形铁板围成一个圆锥，则该圆锥的侧面积与它的外接球的表面积之比为（ ） A 3 8 B 8 3 C 8 27 D 27 8 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13

6、抛物线 2 20yp p的焦点为 F，过 F 作与 x 轴垂直的直线交抛物线于 A，B 两点，若3AB ， 则p _ 14已知变量 x，y 满足 1 10 2 xy y yx ，则2xy的最小值为_ 15若函数 2 1 log1,1 2 1 ,1 xx f x a x x 有最小值，则实数 a 的取值范围为_ 16已知等比数列 n a的公比为0q q ，前 n 项和为 n S，且满足 1 aq， 514 aaS若对一切正整 数 n，不等式1522 nn nmmamS，恒成立，则实数 m 的取值范围为_ 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个

7、试题考生 都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （）必考题：共 60 分 17 （12 分） 在ABC中，有sinc s32oBB （1）求 B； （2）若45A，角 B 的角平分线 BD 交 AC 于 D，33DC ，求边 AD 的长 18 （12 分） 如图，在三棱锥PABC中，PB 平面 ABC，平面PAC 平面 PBC，2PBBC，1AC （1）证明：AC 平面 PBC； （2）求点 C 到平面 PBA 的距离 19 （12 分） 已知椭圆 22 22 :10 xy Eab ab 的焦距为 4且过点 14 1, 2 （1）求椭圆 E 的方程； （2）设0,Ab，0,B

8、b，,C a b，过 B 点且斜率为0k k 的直线 l 交椭圆 E 于另一点 M，交 x 轴 于点 Q，直线 AM 与直线xa相交于点 P证明：/ /PQOC（O 为坐标原点） 20 （12 分） 2020 年 1 月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免外出是减少相互交叉感染最有效的方式在 家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗该种病毒某小区为了调查“宅”家居民的运动情 况，从该小区随机抽取了 100 位成年人，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如下： （1）求 a 的值，并估计这 100 位居民锻炼时间的平均值x（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） ； （2）

9、小张是该小区的一位居民，他记录了自己“宅”家 7 天的锻炼时长： 序号 n 1 2 3 4 5 6 7 锻炼时长 m（单位：分钟） 10 15 12 20 30 25 35 （）根据数据求 m 关于 n 的线性回归方程； （）若4mx（x是（1）中的平均值） ，则当天被称为“有效运动日” 估计小张“宅”家第 8 天是 否是“有效运动日”？ 附；在线性回归方程ybxa中， 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx ，aybx 21 （12 分） 已知函数 2 lnf xxax （1）判断函数 f x在点1x 处的切线是否过定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由 （2）若

10、f x有最大值 g a，证明： g aa （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 2 1: 0Cyax a，曲线 2 2cos : 22sin x C y （为参数） ；在以为极点 x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 3 4 R l 与 1 C， 2 C分别交于异于极点 的 A，B 两点，且2 OBOA （1）写出曲线 2 C的极坐标方程； （2）求实数 a 的值 23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知函数 20f xxax

11、a （1）解不等式 2f xa； （2）若函数 f x的图象与直线2ya围成的图形的面积为 6，求实数 a 的值 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 1-5ABDDC 6-10CADBB 11-12BC 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 3 2 141 151a 16 3 512 m 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分 （一）必考题 17解： （1）由sinc s32oBB，知 31 1 22 sincosBB， 得sin301B 2 分 0180B，3030210B， 3 分 3090B，即60B 5 分 （2）45

12、A，60B，75C 6 分 BD为角平分线，30ABD， 从而75BDCC，BDBC 7 分 设BDBCx， 在BDC中， 根据余弦定理得 2 22 332cos30xxx x ， 求得6x 10 分 在BAD中，根据正弦定理得 6 sin30sin45 AD ，求得3AD 18 （1）证明：PB 平面 ABC，AC 平面 ABC， PBAC 1 分 取 PC 的中点 D，连接 BD， PBBC，BDPC 3 分 又平面PAC 平面 PBC，平面PAC平面PBCPC，BD 平面 PBC， BD平面 PAC 4 分 又AC 平面 PAC， BDAC 5 分 PBBDB， AC平面 PBC （2）

13、解：易知平面PBA平面 ABC，AB 为交线，在Rt ABC中，过点 C 作CMAB，交 AB 于 M， 则CM 平面 PBA 9 分 又AC BCAB CM， 22 5 55 CM， 点 C 到平面 PBA 的距离为 2 5 5 12 分 19 （1）解：由题可知，24c ，2c ， 1 分 椭圆的左，右焦点分别为2,0，2,0 由椭圆的定义知 22 221414 2121 24 2 22 a ， 3 分 2 2a ， 222 4bac， 椭圆 E 的方程为 22 1 84 xy 5 分 （另解：由题可知 22 22 17 1 2 4 ab ab ，解得 2 2 4 8 b a ） （2）证

14、明：易得0,2A，0, 2B， 2 2,2C， 直线:2l ykx与椭圆 22 28xy联立，得 22 2180kxkx， 2 8 21 M k x k ，从而 2 22 842 , 21 21 kk M kk ， 2 ,0Q k 8 分 直线 AM 的斜率为 2 2 2 42 2 1 21 8 2 21 k k k k ，直线 AM 的方程为 1 2 2 yx k 令2 2x 得 2 2 2,2P k ， 9 分 直线 PQ 的斜率 2 2 221 222 2 22 22 221 2 2 PQ k k k k kk k 10 分 直线 OC 的斜率 22 22 2 OC k， 11 分 PQ

15、OC kk，从而/ /PQOC 12 分 20解： （1）0.005 0.0120.035 0.015 0.003101a ， 0.03a 2 分 5 0.005 10 15 0.012 1025 0.03 10 35 0.035 1045 0.015 10 55x 0.003 1030.2（分钟） 5 分 （2） （） 1234567 4 7 n ， 10 15 1220302535 21 7 m ， 6 分 7 1 1 4102124152134122144 ii i nnmm 20215 430216425 217435 21113， 8 分 113 28 b ， 11334 214 2

16、87 a ， 9 分 m关于 n 的线性回归方程为 11334 287 mn 10 分 （）当8n时， 11334260 8 2877 m 260 30.24 7 ， 估计小张“宅”家第 8 天是“有效运动日” 12 分 21 （1）解： 1 2fxax x ， 11 2fa ，切点坐标为 1, a， f x在1x 处的切线方程为1 21yaax， 3 分 即11 2yxax，令1 20x，得 1 2 x ， 1 2 y f x在1x 处的切线过定点其坐标为 11 , 22 5 分 （2）证明：由题知， f x的定义域为0, 2 11 2 2 ax fxax xx 若0a，则 0fx恒成立，

17、f x在0,上单调递增， f x无最大值 6 分 若0a，令 0fx，得 1 2 x a （舍）或 1 2 x a 当 1 0, 2 x a ， 0fx；当 1 , 2 x a 时， 0fx， 故 f x在 1 0, 2a 上单调递增，在 1 , 2a 上单调递减， 8 分 故 2 max 11111 lnln2 22222 f xfaa aaa ， 即 11 ln2 22 g aa 9 分 若证 g aa ，可证 11 ln20 22 aa，令2at， 2 t a ， 则有ln 11 0 222 t t ，即证ln10tt 10 分 设 ln10p tttt ，则 1 1p t t 当0,1

18、t时， 0p t， p t单调递减；当1,t时， 0p t， p t单调递增， 故 min 10p tp 0p t，即 g aa 12 分 （二）选考题 22解： （1）把曲线 2 C化成普通方程为 2 2 24xy， 即 22 40xyy， 2 分 所以曲线 2 C的极坐标方程为4sin 4 分 （2）把曲线 1 C化成极坐标方程为 2 sincosa， 5 分 把 3 4 分别代入 1 C和 2 C得， 2 3 cos 4 2 3 sin 4 a OAa ， 7 分 3 4sin2 2 4 OB ， 8 分 2 OBOA， 4 22a，解得4a 10 分 23解： （1） 3,0 2,0 3, xa x f xxaxxaxa xa xa ， 1 分 当0x时，由 2f xa，得32xaa，解得 3 a x ； 2 分 当0xa时，由 2f xa，得2xaa，无解； 3 分 当xa时，由 2f xa，得32xaa，解得xa 4 分 所以 2f xa的解集为 3 a x xxa 或 5 分 （2）由（1）知，方程 2f xa的解为 3 a x 或xa 6 分 根据函数 f x的图象可知，函数 f x的图象与直线2ya围成的图形为三角形，面积为 2 12 233 aa aa ， 故 2 2 6 3 a ，解得 2 9a 因为0a，所以3a 10 分