中考培优竞赛专题经典讲义 第28讲 存在性问题之平行四边形
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1、第第 28 讲讲 存在性问题之平行四边形存在性问题之平行四边形 此类问题一般从平行四边形的性质着手 对边平行且相等构造全等; 对角线互相平分利用中点公式. 【例【例题讲解题讲解】 例题例题 1.如图,一次函数 y= 1 2 x+2 分别交 y 轴、x 轴于 A、B 两点,抛物线 y=x2+bx+c 过 A、B 两地, (1)求这个抛物线的解析式; (2)作垂直 x 轴的直线 x=t,在第一象限交直线 AB 于 M, 交这个抛物线于 N, 求当 t 取何值时, MN 有最大值? 最大值是多少? (3)在(2)的情况下,以 A、M、N、D 为顶点作平行四边形,求第四个顶点 D 的坐标. 解:(1)
2、y= 1 2 x+2 分别交 y 轴、x 轴于 A、B 两点, A、B 点的坐标为:A(0,2),B(4,0), 将 x=0,y=2 代 y=x2+bx+c 得 c=2. 将 x=4,y=0 代 y=x2+bx+c 得 0=16+4b+2,解得 b 7 2 . 抛物线解析式为:y=x2+ 7 2 x+2; (2)如答图 1,设 MN 交 x 轴于点 E, 则 E(t,0),BE=4t,tanABO= 21 42 OA OB , ME=BE tanABO=(4t) 1 2 =2 1 2 t 又 N 点在抛物线上,且 xN=t,yN=t2+ 7 2 t+2 MN=yNME=t2+ 7 2 t+2(
3、2 1 2 t)=t2+4t 当 t=2 时,MN 有最大值 4. (3)由(2)可知,A(0,2),M(2,1),N(2,5) 以 A、M、N、D 为顶点作平行四边形,D 点的可能位置有三种情形,如答图 2 所示: (i)当 D 在 y 轴上时,设 D 的坐标为(0,a) 由 AD=MN,得|a1| =4,解得 a1=6,a2=2, 从而 D 为(0,6)或 D(0,2), A O B M N x y (i i)当 D 不在 y 轴上时,由图可知 D3为 D1N 与 D2M 的交点, 易得 D1N 的方程为 y= 1 2 x+6,D2M 的方程为 y= 3 2 x2 由两方程联立解得 D 为
4、(4,4) 故所求的 D 点坐标为(0,6),(0,2)或(4,4). 【单动点】 例题例题 2.在直角坐标系中,已知 A(2,4),B(2,2),C(1,1),当 A、B、C、D 四点组成的四边形为平行四边形时, 求点 D 的坐标. 【分析】我们知道,平行四边形的对角线互相平分,所以我们可以利用这个性质几何中点公式来解决这类问 题. 中点公式:若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB 的中点坐标为( 12 2 xx , 12 2 yy ). 【解析】 如下图,当 BD 与 AC 为对角线时,BD 与 AC 互相平分,所以 AB 的中点即为 BD 的中点,根据 A、 C 坐 标可计算出
5、 M 点的坐标为( 1 2 , 3 2 ),再根据 BD 的中点也为 M( 1 2 , 3 2 ),即可算出 D1(3,1),同理可计算出 D2(1,7),D3(5,3). 【总结】我们可以把过程再简单化一点,我们发现,在算 D1 时,利用中点公式均需要除 2,所以为了方便快捷, 直接省略这一步,所以就是 A 点、C 点的横坐标相加=B 点、D1点的横坐标相加(即 xA+xC=xB+xD1),记住这个 方法,连图都不用画了! C y Ox A B D1 M B A xO y C D3 D2 D1 M C y Ox A B 【双动点】 例题例题 3.在直角坐标系中,已知有一条直线 y= 3 4
6、x+3,A(0,1),B(1,0),在直线上 y= 3 4 x+3找一点 C,x轴上有一点 D,当以 A、B、C、D 为顶点的四边形为平行四边形时,求点 D 的坐标. 【分析】 本题中有两个不确定的点,点 C 和点 D,根据上一例题,我们只需将双动点转化为单动点,这个问题就 可以解决了. 【解析】 设 C(m,m+3),根据上一例题讲述的中点法,即可把三个点 D 都用 m 表示出来,分别为 D1(1m, 3 4 m 2) ,D2(m1, 3 4 m+4),D3(m+l, 3 4 m+2),因为点 D 在 x 轴上,所以纵坐标为 0,即可算出 m. 【巩固训练巩固训练】 1.如图,已知ABC 的
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