中考培优竞赛专题经典讲义 第23讲轨迹问题之直线轨迹

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1、第第 2 23 3 讲讲 轨迹问题之直线轨迹轨迹问题之直线轨迹 点的轨迹问题近年来在考试中经常出现，解决这类问题，首先得要了解，哪些条件会产生这类轨迹？ 模型模型讲解讲解 模型一：轨迹为直线模型一：轨迹为直线 动点 P到定直线距离保持不变，点 P的轨迹为一直线 点 P与定线段一端点连接后，与该线段所夹角保持不变，点 P的轨迹为一直线 【例【例题讲解题讲解】 例题例题 1 1、如图，已知 A10，点 C、D在线段 AB上，且 ACDB2，P是线段 CD 上的动点，分别以 AP、PB 为边在线段 AB 的同侧作等边AEP 和等边PFB，连接 EF，设 EF 的中点为 G，当点 P 从点 C 运动到

2、点 D时，则点 G移动路径的长是 . 【解析】延长 AE、BF，相交于点 H，连接 HP 易得HAB为等边三角形，四边形 HEPF为平行四边形 平行四边形的对角线互相平分，且 G为 FE中点 G在 HP上，且 G为 HP的中点 当 P从点 C运动到点 D时，G始终为 HP的中点 G到 AB的距离始终为点 H到 AB的距离的半 点 G的轨迹为直线 MN即为 G点运动的路径长 例题例题 2 2、如图，边长为 2a的等边三角形 ABC中，M是高 CH所在直线上的一个动点，连接 MB，将线 段 BM绕点 B逆时针旋转 60得到 BN，连接 HN.则在点 M运动过程中，线段 HN长度的最小值是 . 【解

3、析】连接 AN 易证ANBCMB BANBCM30 AB边为定边 P 定直线 d P 定直线 O A BD E P G C F H M N A BD E P G C F N在与 AB夹角为 30的直线上运动 当 HNAN时，HN最短（即为图中 N点） BAN30，AH 1 2 ABa HN 1 2 AH 1 2 a 例题例题 3 3、在平面直角坐标系中，点 P的坐标为（0，2） ，点 M 的坐标为（m1， 3 4 m 9 4 ） （其中 m 为实数） ，则 PM的最小值为 . 【解析】点 M的坐标为（m1， 3 4 m 9 4 ） 设 xm1，y 3 4 m 9 4 mx1 将式代入式化简得

4、y 3 4 x3 点 M在函数 y 3 4 x3 上运动，轨迹为直线 当 PMAB时，PM最小 根据PMBAOB，即可得 PM4 PM的最小值为 4 H M N A B C H M N A B C N A B P M y x O 【巩固训练巩固训练】 1、等边三角形 ABC中，BC6，D、E是边 BC上两点，且 BDCE1，点 P是线段 DE上的一个动 点，过点 P分别作 AC、AB的平行线交 AB、AC于点 M、N，连接 MN、AP交于点 G，则点 P由点 D移动 到点 E的过程中，线段 BG扫过的区域面积为 . 2、如图，四边形 ABHK是边长为 6 的正方形，点 C、D在边 AB上，且

5、ACDB1，点 P是线段 CD 上的动点，分别以 AP、PB为边在线段 AB的同侧作正方形 AMNP和正方形 BROP，E、F分别为 MN、QR 的中点，连接 EF，设 EF的中点为 G，则当点 P从点 C运动到点 D时，点 G移动的路径长为 . 3、如图，矩形 ABCD中，AB6，AD8，点 E在边 AD上，且 AE:ED1：3.动点 P从点 A出发， 沿 AB运动到点 B停止.过点 E作 EFPE交射线 BC于点 F，设 M 是线段 EF的中点，则在点 P运动的整 个过程中，点 M运动路线的长为 . 4、在ABC中，BAC90，ABAC2cm，线段 BC上一动点 P从 C点开始运动，到 B

6、点停止， 以 AP为边在 AC的右侧做等边APQ，则 Q点运动的路径长为 cm. 5、如图，在平面直角坐标系中，A（1，4） ，B（3，2） ，C（m，4m20） ，若 OC 恰好平分四边形 OACB的面积，则 C点坐标为 . D M N A BEP G C D F G K MN Q AB E PC H M D F A B E P C Q AB P C 6、如图 1 是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中ABC内接于G，AB是G的直径，AB6，AC 2，现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图 2） ，然后点 A 在射线 Ox 上由点 O 开始向右 滑动，点 B在射线 OY上也随之向点

7、O滑动（如图 3） ，当点 B滑动至与点 O重合时运动结束.在整个运动 过程中，点 C运动的路程是 . 图 1 图 2 图 3 7、在直角梯形 ABCD中，ABCD，BCCD，AB3，CD4，在 BC上取点 P（P与 B、C不重合） ， 连接 PA 延长至 E，使 PA2AE，连接 PD 并延长到 F，使 PD4FD，以 PE、PF 为边作平行四边形，另 一个顶点为 G，则 PG长度的最小值为 . 8、如图，已知点 A是第一象限内横坐标为3的一个定点，ACx 轴于点 M，交直线 yx于点 N. 若点 P 是线段 ON 上的一个动点，APB30，BAPA，则点 P 在线段 ON 上运动时，A 点

8、不变，B 点 随之运动，求当点 P从点 O运动到点 N时，点 B运动的路径长是 . A B y x C A G B O B (A) y x C G O B y x C G A D F G A B E P C A B N C x y P M O 9、如图，边长为 4 的等边三角形 AOB的顶点 O在坐标原点，点 A在 x轴正半轴上，点 B在第一象限. 一动点 P从 O点出发沿 x 轴以每秒 1 个单位长的速度向点 A匀速运动， 当点 P到达点 A时停止运动， 设点 P运动的时间是 t秒.将线段 BP的中点绕点 P按顺时针方向旋转 60得点 C，点 C随点 P的运动而运动， 连接 CP，CA，过点

9、 P作 PDOB于点 D. （1）填空：PD的长为 （用含 t的代数式表示） ； （2）求点 C的坐标（用含 t的代数式表示） ； （3）在点 P从 O向 A运动的过程中，求点 C运动路线的长. D x y O A B P C B A O y x 10、如图 1，在 RtABC中，C90，AC6，BC8，动点 P从点 A开始沿边 AC向点 C以 1 个 单位长度的速度运动，动点 Q 从点 C开始沿边 CB向点 B以每秒 2 个单位长度的速度运动，过点 P作 PD BC，交 AB 于点 D，连接 PQ 分别从点 A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运 动，设运动时间为 t秒（

10、t0）. （1）直接用含 t的代数式分别表示：QB ，PD . （2）是否存在 t 的值，使四边形 PDBQ 为菱形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由.并探究 如何改变 Q的速度（匀速运动） ，使四边形 PDBQ在某一时刻为菱形，求点 Q的速度； （3）如图 2，在整个运动过程中，求出线段 PQ中点 M 所经过的路径长. 图 1 图 2 DQ A B C P M P C B A QD 参考答案 1.【解答】解：PMAC，PNAB， 四边形 AMPN是平行四边形， MN与 AP相交于点 G， G是 AP的中点， 如图点 G的运动路线是APP的中位线， BC6，BDCE1， GG2， B

11、C6， BGG的底边 GG上的高（6）， 线段 BG扫过的区域面积2 故答案为： 2.【解答】解：如图， 设 KH的中点为 S，连接 PE，PF，SE，SF，PS， E为 MN的中点，S为 KH 的中点， A，E，S 共线， F为 QR的中点，S为 KH的中点， B、F、S 共线， 由AMEPQF，得SAPFPB， ESPF， PNEBRF，得EPAFBP， PEFS， 则四边形 PESF为平行四边形，则 G为 PS的中点， G的轨迹为CSD的中位线， CDABACBD6114， 点 G移动的路径长 故答案为：2 3.【解答】解：如图所示：过点 M 作 GHAD ADCB，GHAD， GHBC

12、 在EGM和FHM中， EGMFHM MGMH 点 M的轨迹是一条平行于 BC的线段 当点 P与 A重合时，BF1AE2， 当点 P与点 B重合时，F2+EBF190，BEF1+EBF190， F2EBF1 EF1BEF1F2， EF1BEF1F2 ，即：， F1F218， M1M2是EF1F2的中位线， M1M2F1F29 故答案为：9 4.【解答】解：如图，Q点运动的路径为 QQ的长， ACQ和ABQ是等边三角形， CAQBAQ60，AQACAQ2cm， BAC90， QAQ90， 由勾股定理得：QQ2， Q点运动的路径为 2cm； 故答案为：2 5.【解答】解：AB的中点 D的坐标是：

13、（，） ，即（2，3） ， 设直线 OD的解析式是 ykx，则 2k3， 解得：k， 则直线的解析式是：yx， 根据题意得：， 解得：， 则 C的坐标是： （，） 故答案是： （，） 6.【解答】解：如图 3，连接 OG AOB是直角，G为 AB中点， GOAB半径， 原点 O始终在G上 ACB90，AB6，AC2，BC4 连接 OC则AOCABC，tanAOC， 点 C在与 x轴夹角为AOC的射线上运动 如图 4，C1C2OC2OC1624； 如图 5，C2C3OC2OC364； 总路径为：C1C2+C2C34+64104 故选：D 7.分析与解答 8.【解答】解：由题意可知，OM，点 N在

14、直线 yx上，ACx 轴于点 M，则OMN为等腰直 角三角形，ONOM 如答图所示，设动点 P在 O点（起点）时，点 B的位置为 B0，动点 P在 N点（终点）时，点 B的位 置为 Bn，连接 B0Bn AOAB0，ANABn， OACB0ABn， 又AB0AOtan30，ABnANtan30， AB0：AOABn：ANtan30（此处也可用 30角的 Rt三边长的关系来求得） ， AB0BnAON，且相似比为 tan30， B0BnONtan30 现在来证明线段 B0Bn就是点 B运动的路径（或轨迹） 如答图所示，当点 P运动至 ON上的任一点时，设其对应的点 B为 Bi，连接 AP，ABi

15、，B0Bi AOAB0，APABi， OAPB0ABi， 又AB0AOtan30，ABiAPtan30， AB0：AOABi：AP， AB0BiAOP， AB0BiAOP 又AB0BnAON， AB0BnAOP， AB0BiAB0Bn， 点 Bi在线段 B0Bn上，即线段 B0Bn就是点 B运动的路径（或轨迹） 综上所述，点 B运动的路径（或轨迹）是线段 B0Bn，其长度为 故选：C 9.【解答】解： （1）AOB是等边三角形， OBOAAB4，BOAOABABO60 PDOB， PDO90， OPD30， ODOP OPt， ODt，在 RtOPD中，由勾股定理，得 PD 故答案为： （2）

16、如图（1）过 C作 CEOA于 E， PEC90， ODt， BD4t 线段 BP的中点绕点 P按顺时针方向旋转 60得点 C， BPC60 OPD30， BPD+CPE90 DBPCPE PCEBPD ， ， CE，PE，OE， C（，） （3）如图（3）当PCA90度时，作 CFPA， PCFACF， ， CF2PFAF， PF2t，AF4OF2tCF， （）2（2t） （2t） ， 求得 t2，这时 P是 OA的中点 如图（2）当CAP90时，C的横坐标就是 4， 2+t4 t （4）设 C（x，y） ， x2+t，y， yx， C点的运动痕迹是一条线段（0t4） 当 t0时，C1（2，

17、0） ， 当 t4时，C2（5，） ， 由两点间的距离公式得：C1C22 故答案为：2 10.【解答】解： （1）根据题意得：CQ2t，PAt， QB82t， 在 RtABC中，C90，AC6，BC8，PDBC， APD90， tanA， PDt 故答案为： （1）82t，t （2）不存在 在 RtABC中，C90，AC6，BC8， AB10 PDBC， APDACB， ，即， ADt， BDABAD10t， BQDP， 当 BQDP时，四边形 PDBQ是平行四边形， 即 82t，解得：t 当 t时，PD，BD106， DPBD， PDBQ不能为菱形 设点 Q的速度为每秒 v个单位长度， 则

18、BQ8vt，PDt，BD10t， 要使四边形 PDBQ为菱形，则 PDBDBQ， 当 PDBD时，即t10t，解得：t 当 PDBQ，t时，即8，解得：v 当点 Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形 PDBQ是菱形 （3）如图 2，以 C为原点，以 AC所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系 依题意，可知 0t4，当 t0时，点 M1的坐标为（3，0） ，当 t4 时点 M2的坐标为（1，4） 设直线 M1M2的解析式为 ykx+b， ， 解得， 直线 M1M2的解析式为 y2x+6 点 Q（0，2t） ，P（6t，0） 在运动过程中，线段 PQ 中点 M3的坐标（，t） 把 x代入 y2x+6得 y2+6t， 点 M3在直线 M1M2上 过点 M2作 M2Nx轴于点 N，则 M2N4，M1N2 M1M22 线段 PQ中点 M所经过的路径长为 2单位长度