中考培优竞赛专题经典讲义 第22讲 构造圆问题

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1、第第 2 22 2 讲讲 构造圆问题构造圆问题 构造圆问题即图中本来没有圆，但可通过构造圆来解决一些几何问题 模型讲解模型讲解 ADACAB ADBACB 2ADBACB BACBDC180 【例【例题讲解题讲解】 例题例题 1 1、如图，已知 ABACAD，CBD2BDC，BAC44，则CAD的度数为 . 【解答】解：ABACAD， B，C，D在以 A为圆心，AB为半径的圆上， CAD2CBD，BAC2BDC， CBD2BDC，BAC44， CAD2BAC88 故答案为：88 【巩固练习】【巩固练习】 1、如图， 已知 O是四边形 ABCD内一点， OAOBOC，ABCADC70，则DAOD

2、CO . D C B A C D B A C D B A C D B A D C B A D C B A 2、如图，四边形 ABCD中，DCAB，BC1，ABACAD2，则 BD的长为（ ） A.14 B.15 C.3 2 D.2 3 【例题讲解例题讲解】 例题例题 2 2、如图，ABCADE，且ABCADE，ACBAED，BC、DE交于点 O，则下列四 个结论中，一定成立的有 （将序号填在横线上） 12；BCDE；ABDACE；A、O、C、E四点在同一个圆上 【解答】解：ABCADE且ABCADE，ACBAED， BACDAE，BCDE，故正确； BACDACDAEDAC， 即12，故正确；

3、 ABCADE， ABAD，ACAE， ， 12， ABDACE，故正确； ACBAEF，AFEOFC， AFEOFC， ，2FOC， 即， AFOEFC， AFOEFC， FAOFEC， AB CD 2 1 A B C D E O EAO+ECO2+FAO+ECOFOC+FEC+ECO180， A、O、C、E四点在同一个圆上，故正确 故选：D 【巩固练习】【巩固练习】 1、 如图， 点 B为线段 AD 上一动点， 分别以 AB和 BD 向上作等边ABC和等边BDE， 连接 AE和 CD 相交于点 P，连接 BP，求证：BP平分APD. 【例题讲解例题讲解】 例题例题 3 3、如图，已知平面直

4、角坐标系中，直线 ykx（k0）经过点（a，3a） （a0）.线段 BC的 两个端点分别在 x 轴与直线 ykx 上（B、C均与原点 0 不重合）滑动，且 BC2，分别作 BPx 轴，CP 直线 ykx，交点为 P，经探究在整个滑动过程中，P、O两点间的距离为定值 . 【解答】解：直线 ykx（k0）经过点（a，a） ， tanCOB， COB60， 过点 C作 CEx轴于点 E，延长 CP交 x 轴于点 F，连接 OP，如图， AB C D E P x y OB C P y=kx 则OCECFE30， 设 P点坐标为（x，y） （不妨设点 P在第一象限，其他同理可求得） ，则 OBx，PBy

5、， 在 RtPBF中，可得 BFy， OFOB+BFx+y， 在 RtOCF中，OCOF， 在 RtOCE中，OEOC， 则 CEOEx+y，BEOBOExxy， 在 RtBCE中，由勾股定理可得 CE2+BE2BC2， （x+y）2+（xy）222， 整理可求得 x2+y2， OP， 即 O、P两点的距离为定值， 故答案为： 例题例题 4 4、如图，定长弦 CD 在以 AB为直径的O上滑动（点 C、D与点 A、B不重合） ，M是 CD的中 点，过点 C作 CPAB于点 P，若 AB8，则 PM的最大值是 . A B C D OP M 【解答】解：连接 CO，MO， CPOCMO90， C，M

6、，O，P，四点共圆，且 CO为直径（E为圆心） ， 连接 PM，则 PM为E的一条弦，当 PM为直径时 PM最大，所以 PMCO4时 PM最大即 PMmax 4 【巩固练习】【巩固练习】 1、如图，AB为直径，AB4，C、D为圆上两个动点，N为 CD中点，CMAB于 M，当 C、D在圆上运动时保持CMN30，则 CD的长（ ） A.随 C、D的运动位置而变化，且最大值为 4 B.随 C、D的运动位置而变化，且最小值为 2 C.随 C、D的运动位置长度保持不变，等于 2 D.随 C、D的运动位置而变化，没有最值 A B C D O N M 【例题讲解例题讲解】 【构造圆解决角度问题】 （重难点）

7、【构造圆解决角度问题】 （重难点） 例题例题 1 1、已知在直角坐标系中，点 O为坐标原点，点 B坐标（5，0） ，在直线 yk 上找一点 P，使 得OPB为直角三角形，当 P点个数为 4 个时，求 k的取值范围. 已知在直角坐标系中，点 O为坐标原点，点 B坐标（0，5） ，在直线 xk 上找一点 P，使得OPB 45，当 P点个数为 2 个时，求 k的取值范围. 例题例题 2、已知在 x 轴上有 A、B两点，且 A（4，0） ，B（2，0） ，若直线 l过点 E（4，0） ，M为直线 l上的动点，当以 A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线 l的解析式. 如图，过 A，B分

8、别作 x 轴的垂线，这两条直线总是与直线 l有交点，即两个点 M1和 M2，以 AB为直径 的G如果与直线 l相切，就只有一个点 M，连接 GM，那么 GMl， 在 RTEGM中，GM3，GE5， EM4， 在 RTEM1A中， AE8，tanM1EA， M1A6， 点 M1的坐标为（4，6） ，过 M1，E的直线 l为 yx+3， 根据对称性直线 l还可以是 yx3 例题例题 3、如图，直线 y 3 4 x3 与 x轴、y轴分别交于 B、A两点，点 P是线段 OB上的一动点，若 ABE y x O 能在斜边 AB上找到一点 C，使OCP90，设点 P的坐标为（m，0） ，求 m的取值范围.

9、【解题方法提示】令 y=0 求出点 B 的坐标，过点 C 作 CDx 轴于 D，设点 C 的横坐标为 a，则 OD=a， PD=m-a，求出OCD 和CPD 相似，利用相似三角形对应边成比例列式表示出 m，然后求出 m 的最小值； 再根据点 P 在线段 OB 上判断出 OCAB 时，点 P、B 重合，m 最大，然后即可写出 m 的取值范围. m 的取值范围是 3m4 例题例题 4、如图，点 A与点 B的坐标分别是（1，0） ， （5，0） ，点 P是该直角坐标系内的一个动点. （1）使APB30的点 P有 个； （2）若点 P在 y轴上，且APB30，求满足条件的点 P的坐标； （3）当点 P

10、 在 y 轴上移动时，APB 是否存在最大值？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明 理由. 【解答】解： （1）以 AB为边，在第一象限内作等边三角形 ABC， 以点 C为圆心，AC为半径作C，交 y轴于点 P1、P2 在优弧 AP1B上任取一点 P，如图 1， 则APBACB6030 使APB30的点 P有无数个 故答案为：无数 （2）当点 P在 y 轴的正半轴上时， 过点 C作 CGAB，垂足为 G，如图 1 点 A（1，0） ，点 B（5，0） ， OA1，OB5 AB4 点 C为圆心，CGAB， A BC P y x O x y O BA AGBGAB2 OGOA+AG3 ABC

11、是等边三角形， ACBCAB4 CG 2 点 C的坐标为（3，2） 过点 C作 CDy 轴，垂足为 D，连接 CP2，如图 1， 点 C的坐标为（3，2） ， CD3，OD2 P1、P2是C与 y轴的交点， AP1BAP2B30 CP2CA4，CD3， DP2 点 C为圆心，CDP1P2， P1DP2D P2（0，2） P1（0，2+） 当点 P在 y 轴的负半轴上时， 同理可得：P3（0，2） P4（0，2+） 综上所述：满足条件的点 P的坐标有： （0，2） 、 （0，2+） 、 （0，2） 、 （0，2+） （3）当过点 A、B的E与 y 轴相切于点 P时，APB最大 理由：可证：APB

12、AEH，当APB最大时，AEH 最大 由 sinAEH 得：当 AE最小即 PE 最小时，AEH最大所以当圆与 y轴相切时，APB最大 当点 P在 y 轴的正半轴上时， 连接 EA，作 EHx轴，垂足为 H，如图 2 E与 y轴相切于点 P， PEOP EHAB，OPOH， EPOPOHEHO90 四边形 OPEH 是矩形 OPEH，PEOH3 EA3 EHA90，AH2，EA3， EH OP P（0，） 当点 P在 y 轴的负半轴上时， 同理可得：P（0，） 理由： 若点 P在 y 轴的正半轴上， 在 y 轴的正半轴上任取一点 M（不与点 P重合） ， 连接 MA，MB，交E于点 N，连接

13、NA，如图 2 所示 ANB是AMN的外角， ANBAMB APBANB， APBAMB 若点 P在 y 轴的负半轴上， 同理可证得：APBAMB 综上所述：当点 P在 y轴上移动时，APB有最大值， 此时点 P的坐标为（0，）和（0，） 【巩固练习巩固练习】 1、 如图，在四边形 ABCD 中， ABACAD，若BAC25，CAD75， 则BDC ，DBC . 2、足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门 AB 的张角大小时，张角越大，射门越好.如图的 正方形网格中，点 A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿 CD方向进攻，最好的射点在（ ） A. 点 C B.点 D或点 E C.线段

14、DE（异于端点）上一点 D.线段 CD（异于端点）上一点 3、如图，已知 AB 是O 的直径，PQ 是O 的弦，PQ 与 AB 不平行，R 是 PQ 的中点，作 PSAB， QTAB，垂足分别为 S、T（ST） ，并且SRT60，则 PQ AB 的值等于 . 4、如图，若 PAPB，APB2ACB，AC与 PB交于点 D，且 PB4，PD3，则 ADDC . 5、在平面直角坐标系中，已知点 A（4，0） 、B（6，0） ，点 C是 y轴上的一个动点，当BCA45 时，点 C的坐标为 . D C B A A B C D E A B O R TS P A B C D P 6、如图，RtABC中，C

15、90，AC3，BC4，点 D在 AB边上，点 E是 BC边上一点（不与点 B、C重合） ，且 DADE，则 AD的取值范围是 . 7、如图，在平面直角坐标系的第一象限内有一点 B，坐标为（2，m）.过点 B 作 ABy 轴，BCx 轴，垂足分别为 A、C，若点 P 在线段 AB 上滑动（点 P 可以与点 A、B 重合） ，发现使得OPC45的 位置有两个，则 m的取值范围为 . 8、 在锐角ABC中， AB4， BC5， ACB45， 将ABC绕点 B按逆时针方向旋转得到ABC。 （1）如图 1，当点 C1在线段 CA的延长线上时，求CC1A1的度数； （2）如图 2，连接 AA1，CC1.若

16、ABA1的面积为 4，求CBC1的面积； （3）如图 3，点 E为线段 AB中点，点 P是线段 AC上的动点，在ABC绕点 B按逆时针方向旋转过 程中，点 P的对应点是点 P1，求线段 EP1长度的最大值与最小值. 图 1 图 2 图 3 AB C D E AB CO y x A BC A1 C1 C1 A1 CB A E P1 C1 A1 CB A P 9、如图，抛物线 y 8 3 x 23 4 x3 与 x轴交于 A、B两点（点 A在点 B的左侧） ，与 y轴交于点 C. （1）求点 A、B的坐标； （2）若直线 l过点 E（4，0） ，M为直线 l上的动点，当以 A、B、M为顶点所作的直

17、角三角形有且只 有三个时，求直线 l的解析式. 10、如图，在平面直角坐标系中，直线 y 1 3 x2 交 x 轴于点 P，交 y轴于点 A，抛物线 y 1 2 x 2 bxc的图像过点 E（1，0） ，并与直线相交于 A、B两点. （1）求抛物线的解析式； （2）过点 A作 ACAB交 x 轴于点 C，求点 C的坐标； （3） 除点 C外， 在坐标轴上是否存在点 M， 使得MAB是直角三角形？若存在， 请求出点 M的坐标； 若不存在，请说明理由 A B y x O PCE A B y x O 11、问题探究问题探究 （1）如图，在矩形 ABCD 中，AB2，BC5，如果 BC 边上存在点 P

18、，使APD90，则 BP 的长度为 . （2）如图，在ABC 中，ABC60，BC12，AD 是 BC 边上的高，E、F 分别为边 AB、AC 的中点.当 AD6 时，BC边上存在点 Q，使EQF90，说出点 P的个数，并求此时 BQ的长； 问题解决问题解决 （3）有一山庄，它的平面图为如图的五边形 ABCDE，山庄保卫人员想在线段 CD上选一点 M 安监 控装置，用来监视边 AB.现只要使AMB大约为 60，就可以让监控装置的效果达到最佳.已知AE D90，AB270m，AE400m，ED285m，CD340m. 问在线段 CD上是否存在点 M，使AMB60？若存在，请求出符合条件的 DM的

19、长； 若不存在，请说明理由 图 1 图 2 图 3 D CB A DCB A F E DC B A E 12、如果一个点能与另外两个点能构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点.例如：矩形 ABCD 中， 点 C与 A， B两点可构成直角三角形 ABC， 则称点 C为 A， B两点的勾股点.同样， 点 D也是 A， B两点的勾股点. （1）如图 1，矩形 ABCD 中，AB2，BC1，请在边 CD上作出 A，B两点的勾股点（点 C和点 D 除外） （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）. 图 1 图 2 （2）矩形 ABCD中，AB3，BC1，直接写出边 CD 上 A，B 两点的

20、勾股点的个数. （3）如图 2，矩形 ABCD 中，AB12cm，BC4cm，DM8cm，AN5cm.动点 P从 D点出发沿着 DC方向以 1cm/s的速度向右移动，过点 P的直线 l平行于 BC，当点 P运动到点 M时停止运动.设运动时 间为 t（s） ，点 H为 M，N两点的勾股点，且点 H在直线 l上.当 t4 时，求 PH的长. DC BAN D MC BA P 参考答案 1.【解答】解法 1：OAOBOC， OABOBA，OBCOCB， ABCOBA+OBC70， OAB+OBA+OBC+OCB140，即OAB+ABC+OCB140， 又 ABC+BCD+ADC+BAD360 ， 即

21、 ABC+OCB+OCD+ADC+DAO+OAB 360， ADC70，OAB+ABC+OCB140， DAO+DCO36014070150 2.【解答】解：以 A为圆心，AB长为半径作圆，延长 BA交A于 F，连接 DF DCAB， ， DFCB1，BF2+24， FB是A的直径， FDB90， BD 故选：B 参考答案 1.【解答】解： 连接 PB CPACBA60，BAPBCP， 点 A，B，C，P四点共圆， APBACB60， BPDCAB60， APBDPB 参考答案 1.【解答】解；连接：OC、ON、OD N是 CD的中点， ONCD，CONDON 又CMAB， ONC+CMO18

22、0 O、N、C、M四点共圆 NOCNMC30 COD60 又OCOD， OCD为等边三角形 CD 故选：C 参考答案 1.【解答】解：法一：ABACAD， ADBABD，ACBABC，ADCACD， BAC25，CAD75， ACB（18025）277.5，DABDAC+CAB100， ADCACD（18075）252.5， ADB（180100）240， BDCADCADB52.54012.5， DCBDCA+ACB52.5+77.5130， DBC180DCBBDC18013012.537.5 BDC12.5，DBC37.5 2.【解答】解：连接 BC，AC，BD，AD，AE，BE， 已知

23、 A，B，D，E四点共圆，同弧所对的圆周角相等，因而ADBAEB，然后圆同弧对应的“圆内 角“大于圆周角， “圆外角“小于圆周角，因而射门点在 DE上时角最大，射门点在 D点右上方或点 E 左下方时角度则会更小 故选：C 3.【解答】解：连结 OP，OQ，OR，如图， R是 PQ的中点， ORPQ， OPOQ， PORQOR， PSAB， PSOPRO90， 点 P、S、O、R四点在以 OP为直径的圆上， PSRPOR， 同理可得QTRQOR， PSRQTR， RSTRTS， 而SRT60， RST为等边三角形， RST60，RTS60， RPORSO60，RQORTO60， OPQ为等边三角

24、形， PQOP， AB2PQ， 故答案为 4.解析：本题主要考查三点共圆判定和相交弦定理。 由 PAPB，APB2ACB，可知：A，B，C 三点共圆，圆心为 P 半径为 PB。由相交弦定理可知： ADDC（PB+PD）(PB-PD)=7 5.【解答】解：设线段 BA的中点为 E， 点 A（4，0） 、B（6，0） ，AB10，E（1，0） （1）如答图 1所示，过点 E在第二象限作 EPBA，且 EPAB5，则易知PBA为等腰直角三角 形，BPA90，PAPB； 以点 P为圆心，PA（或 PB）长为半径作P，与 y 轴的正半轴交于点 C， BCA为P的圆周角， BCABPA45，即则点 C即为

25、所求 过点 P作 PFy轴于点 F，则 OFPE5，PF1， 在 RtPFC中，PF1，PC，由勾股定理得：CF7， OCOF+CF5+712， 点 C坐标为（0，12） ； （2）如答图 2 所示，在第 3象限可以参照（1）作同样操作，同理求得 y轴负半轴上的点 C坐标为（0， 12） 综上所述，点 C坐标为（0，12）或（0，12） 故答案为： （0，12）或（0，12） 6.【解答】解：RtABC中，C90，AC3，BC4， AB5， 以 D为圆心，AD的长为半径画D， 如图 1，当D与 BC相切时，DEBC时， 设 ADx，则 DEADx，BDABAD5x， BEDC90，B是公共角，

26、 BDEBAC， ， 即， 解得：x； 如图 2，当D与 BC相交时，若交点为 B或 C，则 ADAB， AD的取值范围是AD 7.【解答】解： 如图 3中，在 x轴上方作OKC，使得OKC是以 OC为斜边的等腰直角三角形，作 KEAB于 E OC2， OKKC， 当 EKKC时，以 K为圆心，KC为半径的圆与 AB相切，此时 mBC1+，在 AB上只有一个 点 P满足OPCOKC45， 当 BK时，在 AB上恰好有两个点 P满足OPCOKC45，此时 mBC2， 综上所述，满足条件的 m的值的范围为 2m1+ 故答案为 2m1+ 8.【解答】解： （1）由旋转的性质可得：A1C1BACB45

27、，BCBC1， CC1BC1CB45， CC1A1CC1B+A1C1B45+4590 （2）ABCA1BC1， BABA1，BCBC1，ABCA1BC1， ，ABC+ABC1A1BC1+ABC1， ABA1CBC1， ABA1CBC1 ， SABA14， SCBC1； （3）如图 1，过点 B作 BDAC，D为垂足， ABC为锐角三角形， 点 D在线段 AC上， 在 RtBCD中，BDBCsin45， 当 P在 AC上运动， BP与 AC垂直的时候， ABC绕点 B旋转， 使点 P的对应点 P1在线段 AB上时， EP1 最小，最小值为：EP1BP1BEBDBE2； 当 P 在 AC 上运动至

28、点 C，ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1在线段 AB 的延长线上时，EP1 最大，最大值为：EP1BC+BE2+57 9.【解答】解： （1）令 y0，即0， 解得 x14，x22， A、B 点的坐标为 A（4，0） 、B（2，0） （2）抛物线 y的对称轴是直线 x1， 即 D点的横坐标是1， SACBABOC9， 在 RtAOC中，AC5， 设ACD中 AC边上的高为 h，则有ACh9，解得 h 如答图 1，在坐标平面内作直线平行于 AC，且到 AC 的距离h，这样的直线有 2 条，分别是 l1 和 l2，则直线与对称轴 x1的两个交点即为所求的点 D 设 l1交 y轴于

29、E，过 C作 CFl1于 F，则 CFh， CE 设直线 AC的解析式为 ykx+b，将 A（4，0） ，C（0，3）坐标代入， 得到，解得， 直线 AC解析式为 yx+3 直线 l1可以看做直线 AC向下平移 CE长度单位（个长度单位）而形成的， 直线 l1的解析式为 yx+3x 则 D1的纵坐标为（1），D1（1，） 同理，直线 AC向上平移个长度单位得到 l2，可求得 D2（1，） 综上所述，D点坐标为：D1（1，） ，D2（1，） （3）如答图 2，以 AB为直径作F，圆心为 F过 E点作F的切线，这样的切线有 2 条 连接 FM，过 M 作 MNx轴于点 N A（4，0） ，B（2，

30、0） ， F（1，0） ，F半径 FMFB3 又E（4，0） ， FE5， 在 RtMEF中，ME4，sinMFE，cosMFE 在 RtFMN中，MNMFsinMFE3， FNMFcosMFE3，则 ON， M点坐标为（，） 直线 l过 M（，） ，E（4，0） ， 设直线 l的解析式为 ykx+b，则有 ，解得， 所以直线 l的解析式为 yx+3 同理，可以求得另一条切线的解析式为 yx3 综上所述，直线 l的解析式为 yx+3或 yx3 10.【解答】解： （1）直线解析式为 yx+2，令 x0，则 y2， A（0，2） ， 抛物线 yx2+bx+c的图象过点 A（0，2） ，E（1，0

31、） ， ， 解得 抛物线的解析式为：yx2+x+2 （2）直线 yx+2分别交 x 轴、y轴于点 P、点 A， P（6，0） ，A（0，2） ， OP6，OA2 ACAB，OAOP， RtOCARtOAP，OACOPA， ， OC， 又 C点在 x 轴负半轴上， 点 C的坐标为 C（，0） （3）抛物线 yx2+x+2与直线 yx+2交于 A、B两点， 令x2+x+2x+2， 解得 x10，x2， B（，） 如答图所示，过点 B作 BDx 轴于点 D， 则 D（，0） ，BD，DP6 点 M 在坐标轴上，且MAB是直角三角形，有以下几种情况： 当点 M在 x轴上，且 BMAB，如答图所示 设

32、M（m，0） ，则 MDm BMAB，BDx轴， 即， 解得 m， 此时 M 点坐标为（，0） ； 当点 M在 x轴上，且 BMAM，如答图所示 设 M（m，0） ，则 MDm BMAM，易知 RtAOMRtMDB， ，即， 化简得：m2m+0， 解得：m1，m2， 此时 M 点坐标为（，0） ， （，0） ； （说明：此时的 M 点相当于以 AB为直径的圆与 x 轴的两个交点） 当点 M在 y轴上，且 BMAM，如答图所示 此时 M点坐标为（0，） ； 当点 M在 y轴上，且 BMAB，如答图所示 设 M（0，m） ，则 AM2，BM，MMm 易知 RtABMRtBMM， ，即， 解得 m，

33、 此时 M点坐标为（0，） 综上所述，除点 C外，在坐标轴上存在点 M，使得MAB是直角三角形 符合条件的点 M有 5个，其坐标分别为： （，0） 、 （，0） 、 （，0） 、 （0，）或（0， ） 11.【解答】解： （1）作 AD的垂直平分线交 BC于点 P，如图， 则 PAPD PAD是等腰三角形 四边形 ABCD是矩形， ABDC，BC90 PAPD，ABDC， RtABPRtDCP（HL） BPCP BC4， BPCP2 以点 D为圆心，AD为半径画弧，交 BC于点 P，如图， 则 DADP PAD是等腰三角形 四边形 ABCD是矩形， ADBC，ABDC，C90 AB3，BC4，

34、 DC3，DP4 CP BP4 点 A为圆心，AD为半径画弧，交 BC于点 P，如图， 则 ADAP PAD是等腰三角形 同理可得：BP 综上所述：在等腰三角形ADP中， 若 PAPD，则 BP2； 若 DPDA，则 BP4； 若 APAD，则 BP （2）E、F分别为边 AB、AC的中点， EFBC，EFBC BC12， EF6 以 EF为直径作O，过点 O作 OQBC，垂足为 Q，连接 EQ、FQ，如图 ADBC，AD6， EF与 BC之间的距离为 3 OQ3 OQOE3 O与 BC相切，切点为 Q EF为O的直径， EQF90 过点 E作 EGBC，垂足为 G，如图 EGBC，OQBC，

35、 EGOQ EOGQ，EGOQ，EGQ90，OEOQ， 四边形 OEGQ是正方形 GQEO3，EGOQ3 B60，EGB90，EG3， BG BQGQ+BG3+ 当EQF90时，BQ 的长为 3+ （3）在线段 CD上存在点 M，使AMB60 理由如下： 以 AB为边，在 AB的右侧作等边三角形 ABG， 作 GPAB，垂足为 P，作 AKBG，垂足为 K 设 GP与 AK交于点 O，以点 O为圆心，OA为半径作O， 过点 O作 OHCD，垂足为 H，如图 则O是ABG的外接圆， ABG是等边三角形，GPAB， APPBAB AB270， AP135 ED285， OH285135150 AB

36、G是等边三角形，AKBG， BAKGAK30 OPAPtan30 135 45 OA2OP90 OHOA O与 CD相交，设交点为 M，连接 MA、MB，如图 AMBAGB60，OMOA90 OHCD，OH150，OM90， HM 30 AE400，OP45， DH40045 若点 M在点 H的左边，则 DMDH+HM40045+30 40045+30340， DMCD 点 M不在线段 CD上，应舍去 若点 M在点 H的右边，则 DMDHHM4004530 4004530340， DMCD 点 M在线段 CD上 综上所述：在线段 CD上存在唯一的点 M，使AMB60， 此时 DM的长为（400

37、4530）米 12.【解答】解： （1）如图，以线段 AB为直径的圆与线段 CD的交点，或线段 CD 的中点 E就是所勾股 点； （2）矩形 ABCD中，AB3，BC1时， 以线段 AB为直径的圆与线段 CD的交点有两个，加上 C、D两点，总共四个点 4个； （3）如图，当 t4时，PM844，QN541， 当MHN90时， MPHHQN90， PMHQHN， PH：QNPM：HQ， 而 PH+HQBC4， PH2； 当HNM90时，设 PHx，那么 HQ4x 依题意得 PM2+PH2QN2+HQ2+MN2， 而 MN5， PH； 当HMN90时，QH2+QN2（HP2+PM2）MN2， 而 HQPH+PQPH+4， PH3 PH或 PH2或 PH3 当 0t4时，有 2 个勾股点； 当 t4时，有 3个勾股点； 当 4t5 时，有 4个勾股点； 当 t5时，有 2个勾股点； 当 5t8 时，有 4个勾股点； 当 t8时，有 2个勾股点 综上所述，当 0t4或 t5或 t8时，有 2 个勾股点；当 t4 时，有 3个勾股点；当 4t5或 5 t8时，有 4个勾股点