中考培优竞赛专题经典讲义 第19讲 圆内接多边形

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1、第第 19 讲讲 圆内接多边形圆内接多边形 解题关键：抓住点在圆上，即圆上的点到圆心距离为半径这一本质. 【例【例题讲解题讲解】 例题例题 1 1、如图，三个全等的正方形内接于圆，正方形的边长为 16，求圆的半径. 答案：由题意可知，圆心应该在下面两个正方形的相交边上面，且设定圆心与上面正方形的距离为x，则 BO16x，BC16，AD8，4016x，故BC 2BO2AD2AO2，则可以得到方程： 16（16x） 2（16x）282，解之得x3，所以能将其完全覆盖的圆的最下半径为R2162(16 x） 25 17即为所求。 例题例题 2 2、如图，在半径为 2，圆心角为 60的扇形内接一个正方形

2、，分别求出以下两种接法的正方形边长. F D C B A O 60 E E 60 O A B C D F 答案：2 216 3 37 ，43-6. 例题例题 3 3、如图，3 个正方形在O 直径的同侧，顶点 B、C、G、H 都在O 的直径上，正方形 ABCD 的顶点 A 在O 上，顶点 D 在 PC 上，正方形 EFGH 的顶点 E 在O 上，顶点 F 在 QG 上，正方形 PCGQ 的顶点 P 也在 O 上.若 BC1，GH2，则 CG 的长为（ ） A. 12 5 B. 21 C. 6 D.22 OH E G F QP D CB A 答案：C. 【巩固【巩固练习练习】 1、如图，在以 AB

3、 为直径的半圆中，有一个边长为 1 的正方形 CDEF，则该圆的半径为 . DE FOCBA 第1题 2、如图， 三个相邻的正方形内接于半圆， 若小正方形的面积为 16cm 2，则正方形 BEFG 的边长为 . 第 2 题 3、 如图， 用 3 个边长为 1 的正方形组成一个轴对称图形， 则能将其完全覆盖的圆的最小半径为 . 第 3 题 4、如图，用边长为 1 和 3 的两个正方形组成一个图形，则能将其完全覆盖的圆形纸片的最小半径为 . 第4题 5、如图，正方形 ABCD 的顶点 A、B 和正方形 EFGH 的顶点 G、H 在一个半径为 5cm 的O 上，点 E、F 在线段 CD 上，正方形

4、ABCD 的边长为 6cm，则正方形 EFGH 的边长为 cm. HG O AB C D EF 第5题 6、如图，已知扇形的圆心角为 2 （定值） ，半径为 R（定值） ，分别在图一、二中作扇形的内接矩形， 若按图一作出的矩形面积的最大值为 1 2 R 2tan ，则按图二作出的矩形面积的最大值为（ ） A.R 2tan B.R2tan1 2 C. 1 2 R 2tan1 2 D. 1 2 R 2tan 图1 22 图2 7、 一种电讯信号转发装置的发射直径为 31km.现要求： 在一边长为 30km 的正方形城区选择若干个安 装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这

5、个城市.问： （1）能否找到这样的 4 个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？ （2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？答题要求： 请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由.（下面给出了几个边 长为 30km 的正方形城区示意图，供解题时选用）DA 图1 A BC DD CB A 图2 D CB A 图3 D CB A 图4 8、我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆.例如线段 AB 的最小覆盖圆 就是以线段 AB 为直径的圆. （1）请分别作出下图中两个三角形的最小覆盖圆； （要

6、求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论； （不要求证明） （3）某地有四个村庄 E，F，G，H（其位置如图 2 所示） ，现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个 村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小） ，此中转站 应建在何处？请说明理由. 100 80 A B C A BC F G E H 53. 8 49. 8 44 47. 1 35. 1 47. 8 50 32. 4 参考答案参考答案 1. 答案： 5 2 . 2. 答案：8cm. 3. 答案： 5 17 16 . 4. 答案：2.5.

7、 5. 答案：31. 6. 答案：B. 7. 答案：（1）将图 1 中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这 4 个转发装置 安装在这 4 个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形 的对角线长为 1 2 302152，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域， 故安装 4 个这种装置可以达到预设的要求。（2）将原正方形分割成如图 2 中的 3 个矩形，使得 BE DGCG， 将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处， 设 AEx，则 ED30x，DH15， 由 BEDG，得 x 2302152（30x）2， x 22515 604 ， BE 22 15 ()30 4 30.231， 即如此安

8、装 3 个这种转发装置，也能达到预设要求； 要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点， 如图 3，用一个直径为 31 的O 去覆盖边长为 30 的正方形 ABCD， 设O 经过 A，B，O 与 AD 交于 E， 连结 BE，则 AE 22 31306115 1 2 AD， 这说明用两个直径都为 31 的圆不能完全覆盖正方形 ABCD。 所以，至少要安装 3 个这种转发装置，才能达到预设要求。 8.答案： （1）图略； （2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆； 若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是 以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆。 （3）此中转站应建在EFH 的外接圆圆心处 （线段 EF 的垂直平分线与线段 EH 的垂直平分线的交点处） 。 理由如下：由HEFHEGGEF47.835.182.9， FHE50.0，EFH47.1，故EFH 是锐角三角形， 所以其最小覆盖圆为EFH 的外接圆， 设此外接圆为O，直线 EG 与O 交于点 E，M， 则EMFEHF50.053.8EGF， 故点 G 在O 内，从而O 也是四边形 EFGH 的最小覆盖圆， 所以中转站建在EFH 的外接圆圆心处，能够符合题中要求。