中考培优竞赛专题经典讲义 第18讲 圆与相似

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1、第第 1818 讲讲 圆与相似圆与相似 模型讲解 圆与直角母子型（1） 圆与直角母子型（2） ABEAD C PACPBAPABPCD ABED CE O O O A B C D A B C D A B C P E A B C D A B C P E P D C B A 【例题讲解】【例题讲解】 例题例题 1 如图，AB为O的直径， C为O上一点，弦 AD 平分BAC，交 BC 于点 E，AB6，AD5， 则 AE的长. O E D C BA 【解析】如图，连接 BD、CD， O E D C BA AB 为O的直径， ADB90 BD 22 ABAD 22 6511， 弦 AD 平分BAC，

2、CDBD11， CBDDAB， 在ABD和BED中， BADEBD ADBBDE ABDBED， DE DB DB AD ，即 11 DE 11 5 解得 DE 11 5 AEADDE5 11 5 14 5 . 例题例题 2 如图，在ABC 中，以 AC 边为直径的O交 BC于点 D，过点 B作 BGAC 交O于点 E、H，连 AD、ED、EC若 BD8，DC6，求 CE的长 O H G E D C B A 【解析】AC为O的直径， ADC90， BGAC， BGCADC90， BCDACD, ADCBGC， DC CG AC BC ， CGACDCBC61484， 连接 AE， AC为O的直

3、径， AEC90， AECEGC90， ACEECG， CEGCAE， CG CE CE AC ， CECGAC84， CE2 21 O H G E D C B A 【巩固练习】【巩固练习】 1.如图，已知 DD为等腰三角形 ABC的底边 BC上的任意一点，AD的延长线交ABC 的外接圆于点 E， 连接 BE、CE，则图中相似三角形共有( ) O E DC B A A8 对 B6 对 C4 对 D2 对 2如图，AB 为O 的直径，C是O上一点，连接 AC，过点 C作直线 CDAB交 AB于点 D，E 是 OB 上一点，直线 CE 与O 交于点 F，连接 AF 交直线 CD于点 G若 AC2

4、2，则 AGAF . O G F ED C BA 3、如图，已知半圆的直径 AB10，点 C 在半圆上，CB6，O为 AB 的中点，ODAB 交 AC于点 D，则 OD . O D C B A 4.如图，O是ABC的外接圆，BC是O的直径，D是劣弧AC的中点，BD 交 AC 于点 E，若 BC 5 2 ， CD 5 2 ，则DE O E D C B A 5、 如图， 已知ABC 内接于0， 且 ABAC， 直径 AD 交 BC 于点 E， F 是 OE 的中点， 如果 BDCF， BC25， 则 CD . B D C O A E E A O C D B E B D F C O A （第 5 题

5、） （第 6 题） （第 7 题） 6、如图，已知0 的半径为 4，AB6，锐角ABC 内接于0，BDAC 于点 D，OEAB 于点 M，则 sinCBD 的值等于 . 7、如图，AD 是圆内接ABC 的高，AE 是 OO 的直径，AB6，AC3，则 AEAD . 8、如图，ABC 是0 的内接三角形，ABAC，BD 平分ABC 交0 于点 D，连接 AD、CD.作 AEBD 于点 E，若 AE3，DE1，则ACD 的面积是 . E A O C D B 9、如图：M、N 分别为直角坐标系 x、y 正半轴上两点，过 M、N 和原点 0 三点的圆和直线 yx 交于点 P， （1）试判断PMN 的形

6、状； （2）连接 MN，设直线 yx 交 MN 于点 G，若 PG:PN3：4，PGN 的周长为 6，求PON 的周长. x y N M P O 10、如图，PB 为O0 的切线，B 为切点，直线 PO 交O 于点 E，F，过点 B 作 PO 的垂线 BA，垂足为点 D， 交O 于点 A，延长 AO 与O 交于点 C，连接 BC、AF。 （1）求证：直线 PA 为O 的切线； （2）试探究线段 EF、OD、OP 之间的数量关系，并加以证明； （3）若 BC6，tanF 1 2 ，求 cosACB 的值和线段 PE 的长. P A BC DE F O 11、如图 1，AB 为半圆 O 的直径，D

7、 为 BA 的延长线上一点，DC 为半圆 O 的切线，切点为 C. （1）求证：ACDB； （2）如图 2，BDC 的平分线分别交 AC，BC 于点 E，F； 求 tanCFE 的值； 若 AC3，BC4，求 CE 的长. 图2 图1 E F O D C BAAB C D O 12、如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于 H，过 CD 延长线上一点 E 作O 的切线交 AB 的延长线于 F，切 点为 G，连接 AG 交 CD 于 K. （1）求证：KEGE； （2）若 KG 2KDGE，试判断 AC 与 EF 的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若 sinE 3 5 ，AK2

8、5，求 FG 的长. K G H A B C D EF O 参考答案 1.答案：B. 2.答案：8. 3.答案： 15 4 . 4.答案： 5 4 . 【解析】由 D 是劣弧AC的中点，得 ADDCABDDAC ， 又ADBEDA， ABDEAD， AD DE DB AD ， ADDEDB； 由 D 是劣弧AC的中点，得 ADDC，则 DCDEDB， CB是直径， BCD是直角三角形 BD 22 BCCD 22 55 ( )() 22 5 由 DCDEDB得， 2 5 () 2 5DE， 解得 DE 5 4 5.答案：6. 6.答案：7. 7.答案：32. 8.答案：10 2 3 . 9.答案

9、： （1）解：PMN 是等腰直角三角形，理由：yx， PONFOM45. PNPM. 四边形 ONPM 内接于圆， MONNPM180. MON90， NPM90. 即PMN 是等腰直角三角形。 （2）PMN 是等腰直角三角形， PMNPNM OPNOPN，PNGAPON. PNG 的周长：PON 的周长PG:PN3：4. PNG 的周长6，PON 的周长8. 10.答案： （1）如图所示，连接 0B，因为 PB 是O 切线，所以PBO90，因为 0A0B，BAPO 于 D，所 以 ADBD，P0AP0B，所以在PA0 和PB0 中，OAOB,P0AP0B，POPO，PAOPBO（SAS） ，

10、 所以PAOPBO90，所以 OAPA，直线 PA 为O 切线。 （2）EF 24ODOP。因为PAOPDA90，所以OPAAOP90，且OADAOD90，则OAD OPA，因为AODPOA，所以OADOPA，所以 OP OA OA OD ，即 OA 2ODOP，又因为 EF2OA，所 以 EF 24ODOP. （3）因为 OAOC，ADBD，BC6，由三角形中位线定理可知，0D 2 1 BC3，设 ADx，因为 tanF 2 1 ，所以 FD2x，0AOF2x3，在 RtAOD 中，由勾股定理得（2x3） 2x23，解得 x 14 或 x20 （舍去） ，所以 AD4，OA2x35，因为 A

11、C 是O 直径，所以ABC90，又因为 AC2OA10，BC 6，所以 cosACB 5 3 10 6 ，因为 OA 2ODOP，所以 3（PE5）25，所以 PE 3 10 . 11.答案： （1）证明：如图 1 中，连接 OC. OAOC，OCAOAC，CD 是O 切线，.OCCD，OCD90， DCAOCA90， AB 是直径， CABB90， ACD B. (2) 在 RTABC 中，AC3，BC4，由勾股定理得 AB5， CDABDC，DCAB， DCADBC， 4 3 CD DA BC AC DB DC ，设 DC3k，DB4K, CD 2DA DB， 9k 2（4k5）4k， k 7 20 ,CD 7 60 ,DB 7 80 CDEBDF，DCEB， DCEDBF， DB DC EF EC ,设ECCFx, 7 80 7 60 4 x x ,x 7 12 ,CE 7 12 . 12.答案： （1）由KGEAKHGKE 可证 KEGE （2）由GKDEGK 可证得 KG 2KDGE （3）FG2 8 25 .