中考培优竞赛专题经典讲义 第13讲 反比例函数与面积

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1、第第 1 13 3 讲讲 反比例与面积反比例与面积 模型讲解模型讲解 SPOQ=S梯形PABQ SPBO=SPBA= 1 2 k SPAB=SPAB= 1 2 k S矩形ABCD=k Q y xO P BA y xO P B AA B P Ox y PA=BQ AB/PQ PA=BQ Q P B A Ox y Q P B A Ox y Q A B P Ox y 【例题讲解】【例题讲解】 例题例题 1、如图，直线 x=k（k0）与反比例函数 y= 2 x 和 y=- 1 x 一的图像分别交于 A、B两点，若点 P是 y轴 上任意一点，连接 PA、PB，则PAB 的面积是 . x=k y x B

2、A O P 答案： 3 2 例题例题 2、如图，经过原点的两条直线 l1、l2，分别与双曲线 y= k x （k0）相交于 A、B、P、Q四点，其中 A、 P 两点在第一象限，设 A点坐标为（3，1）. （1）求 k值及 B 点坐标； （2）若 P 点坐标为（a，3） ，求 a值及四边形 APBQ的面积. l2 l1 y xO Q P B A 答案：(1)把 A(3,1)代入 y= k x 得 k=3 1=3，经过原点的直线 l1与双曲线 y= k x (k0)相交于 A、B.点 A与 点 B 关于原点对称，B点坐标为(3,1)； (2)把 P(a,3)代入 y= 3 x 得 3a=3，解得

3、a=1，P 点坐标为(1,3)，经过原点的直线 l2与双曲线 y= k x (k0)相 交于 P、 Q点， 点 P 与点 Q关于原点对称， 点 Q的坐标为(1,3)， OA=OB， OP=OQ， 四边形 APBQ 为平行四边形，AB2=(3+3)2+(1+1)2=40,PQ2=(1+1)2+(3+3)2=40，AB=PQ，四边形 APBQ为矩形， PB2=(1+3)2+(3+1)2=32,PQ2=(31)2+(13)2=8，PB=4 2,PQ=2 2，四边形 APBQ 的面积 =PAPB=2 24 2=16. 例题例题 3、如图，在OAB 中，C 是 AB 的中点，反比例函数 y= k x （

4、k0）在第一象限的图象经过 A、C 两点， 若OAB的面积为 6，求 k 的值.（代数法与几何法均尝试用一下） C A BO x y 答案： 分别过点 A、 点 C作 OB 的垂线， 垂足分别为点 M、 点 N， 如图， 点 C为 AB 的中点， CN 为AMB 的中位线，MN=NB=a，CN=b，AM=2b，OMAM=ONCN，OM2b=(OM+a)bOM=a， SAOB=3a2b 2=3ab=6，ab=2，k=a2b=2ab=4，故答案为：4. 例题例题 4、如图，在以 O 为原点的直角坐标系中，矩形 OABC 的两边 OC、OA分别在 x轴、y轴的正半轴上， 反比例函数 y= k x （

5、x0）与 AB 相交于点 D，与 BC 相交于点 E，若 BD=3AD，且ODE 的面积是 9，则 k= 。 D E y x O B A C 答案: 24 5 例题例题 5、如图，四边形 ABCD 的顶点都在坐标轴上，若 AB/CD，ABD 与ACD 的面积分别为 20和 30， 若双曲线 y= k x 恰好经过 BC的中点 E，则 k 的值为 。 y x E D C B A 答案:6 例题例题 6、如图，一次函数 y=ax+b 的图象与 x 轴，y轴交于 A、B两点，与反比例函数 y= k x 的图象相交于 C、 D 两点， 分别过 C、 D两点作 y轴， x轴的垂线， 垂足为 E、 F，

6、连接 CF、 DE.有下列四个结论： SCEF=SDEF； AOB相似于FOE；DCECDF；AC=BD.其中正确的结论是 .（把你认为正确结 论的序号都填上） F E A B C D O x y 答案： 【巩固练习】【巩固练习】 1、已知 A 是反比例函数 y= k x 的图象上的一点，ABx轴于点 B，且ABC 的面积是 3，则k的值是 . y xOB A 2、 如图， 点 A、 B 是双曲线 y= 3 x 上的点， 分别经过 A、 B两点向 x轴、 y 轴作垂线段， 若 S阴影=1， 则 S1+S2= . S2 S1 y x O B A 3、如图，菱形 OABC 的顶点 O 是原点，顶点

7、 B 在 y轴上，菱形的两条对角线的长分别是 6和 4，反比例函 数 y= k x （k0） ，y2= 4 x （x0） ，点 P为函数，y2= 4 x 的图像上的一点，且 PAx 轴于点 A， PBy轴于点 B，PA、PB分别交函数 y1= 1 x 的图像于 D、C 两点，则PCD的面积为 。 y xO PC D B A 6、如图，反比例函数 y= k x （x0）的图像经过矩形 OABC对角线的交点 M，分别于 AB、BC 交于点 D、E， 若四边形 ODBE的面积为 9，则 k 的值为 。 y x E M O D C B A 7、如图，已知ABO 的顶点 A 和 AB 边的中点 C 都在

8、双曲线 y= k x （x0）的一个分支上，点 B在 x 轴上， CDOB 于 D，若AOC的面积为 3，则 k的值为 。 y xOD C B A 8、如图，A 是反比例函数 y= k x 图像上一点，C 是线段 OA 上一点，且 OC：OA=1：3，作 CDx 轴，垂 足为点 D，延长 DC 交反比例函数图像于点 B，SABC=8，则 k的值为 。 y xOD C B A 9、如图，点 A、B在反比例函数 y= k x 的图象上，过点 A、B作 x轴的垂线，垂足分别为 M、N，延长线段 AB 交 x 轴于点 C，若 OM=MN=NC，且AOC 的面积为 9，则 k的值为 。 y x B A

9、CNMO 10、如图，已知四边形 ABCO 的底边 AO在 x轴上，BC/AO，ABAO，过点 C的双曲线 y= k x 交 OB 于 D， 且 OD:DB=1：2，若OBC的面积等于 3，则 k 的值 . y xO D CB A 11、如图，两个反比例函数 y= 1 x 和 y=- 2 x 的图象分别是 l1和 l2，设点 P在 l1上，PCx轴，垂足为 C，交 l2于点 A，PDy轴，垂足为 D，交 l2于点 B，则三角形 PAB的面积为 . y xO PD C B A 12、如图，已知反比例函数 y1= 1 k x 与 y2= 2 k x （k10） ，过 y2图象上任意一点 B分别作

10、x轴、y轴的平 行线交坐标轴于 D、P 两点，交 y1的图象于 A、C，直线 AC 交坐标轴于点 M、N，则 SOMN= .（用含 k1、k2的代数式表示） y x D C ON M PB A 13、如图，在 x 轴正半轴上依次截取 OA1=A1A2=A2A3=.=An-1An（n 为正整数） ，过点 A1、A2、A3、An 分别作 x轴的垂线，与反比例函数 y= 2 x （x0）交于点 P1、P2、P3、Pn，连接 P1P2、P2P3、Pn-1Pn， 过点 P2、P3、Pn分别向 P1A1、P2A2、Pn-1An-1作垂线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部 分）的面积和是 （用含 n

11、的代数式表示） y x Pn P3 P2 P1 AnA3A2A1O 14、如图，四边形 ABCD的顶点都在坐标轴上，若 ADBC，ACD与BCD的面积分别为 10和 20，若 双曲线 y= k x 恰好经过边 AB的四等分点 E（BE0）的图像与一次函数 y= 3 4 x 的图像交于 A、B 两点（点 A在第一象限）. （1）当点 A的横坐标为 4时。 求 k 的值； 根据反比例函数的图像，直接写出当一 4x1（x0）时，y的取值范围； （2）点 C为 y轴正半轴上一点，ACB=90 ，且ACB 的面积为 10，求 k 的值. y xO C B A 17、已知点 P（a，b）是反比例函数 y=

12、 6 x （x0）图象上的动点，PAx 轴，PBy 轴，分别交反比例函 数 y=- 2 x （x0)的图象与一次函数 y= 3 4 x 的图象交于 A 点，3= 4 k ，k=12； x=4时,y=3,x=1时,y=12， 由反比例函数的性质可知,当4x1(x0)时， y的取值范围是y12； (2)设点 A为(a, 3 4 a)，则 OA= 5 4 a，点 C 为 y 轴正半轴上一点,ACB=90，且ACB 的面积为 10， OA=OB=OC= 5 4 a，SACB= 1 2 125 4 a 2a=10， 解得,a=2 2， 点 A 为(2 2, 3 2 2 )， 3 2 2 = 2 2 k

13、， 解得，k=6，即 k的值是 6. 16. 答案： (1)P(a,b)是反比例函数 y= 6 x (x0)图象上的动点， P(a, 6 a )， S1= 1 2 (a)( 6 a )=3， B(a, 2 a )，S2= 1 2 (a)( 2 a )=1，S1:S2=3:1=3.故答案为：3. (2)P(a,b)是反比例函数 y= 6 x (x0)图象上的动点，P(a, 6 a )，点 B 在反比例函数 y= 2 x (x0)上且 横坐标为 a，B(a, 2 a )，点 A 在反比例函数 y= 2 x (x0)上且纵坐标为 6 a ，A( 3 a , 6 a )， (3)不变化。P(a, 6

14、a ),B(a, 2 a ),A( 3 a , 6 a ),PAx 轴,PBy 轴， S= 1 2 |AP|BP|= 1 2 ( 3 a a)( 6 a )( 2 a )= 4 3 . 17. 答案： (1)作 CNx轴于点 N.在 RtCNA和 RtAOB中， NC=OA，AC=AB， RtCNARtAOB(HL)， 则 BO=AN=32=1，d=1； (2)设反比例函数为 y= k x ,点 C和 B在该比例函数图象上， 设 C(a,2),则 B(a+3,1) 把点 C和 B的坐标分别代 入 y= k x ，得 k=2a；k=a+3，2a=a+3，a=3，则 k=6,反比例函数解析式为 y

15、= 6 x . 得点 C(3,2);B(6,1)； 设直线 CB的解析式为 y=ax+b,把 C、 B两点坐标代入得 3a+b=2， 6a+b=1， 解得： a= 1 3 ， b=3； 直线 CB 的解析式为：y= 1 3 x+3； (3)连结 BBB(0,1),B(6,1)，BBx轴，设 P(m, 1 3 m+3),作 PQCM,PHBB， SPCM= 1 2 PQ CM= 1 2 (m3) 2=m3，SPBB= 1 2 PH BB= 1 2 ( 1 3 m+31) 6=m+6，m3=m+6， m= 9 2 P( 9 2 , 3 2 ). MN H P x GC B AO C B A y 1

16、8. 【解析】 （1）ABCD； （2） 3 2 . （1）如图，过点 A 作 AMx轴于点 M，过点 D作 DHx 轴于点 H，过点 B作 BNx 轴于点 N， AMDHBNy 轴， 设点 A的坐标为： （m， 4 m ） ， AEABBF， OMMNNF， 点 B的坐标为： （2m， 2 m ） ， OAB S OAM S AMNB S梯形 OBN S2 1 2 （ 2 m 4 m ）（2mm）23， DHBN， ODHOBN， OD OB DH BN OH ON ， DHOH2，BNON4， ， （ OD OB ） 22 4 1 2 ， 同理： （ OC OA ） 21 2 ， OC O

17、A OD OB ， ABCD 故答案为：ABCD ； （2） OC OA OD OB ，CODAOB， CODAOB， COD AOB S S （ OD OB ） 21 2 ， COD S 3 2 ， ABDC S四边形 3 2 故答案为： 3 2 x y HN M y = 4 x y = 2 x F E D C B A O 19. 【解析】 （1）过点 D作 DMOB于点 M，过点 C作 CNOA于点 N ,连接 OD，OC，DN，CM. k0， DMN S DMO S 2 k ， CNM S CNO S 2 k ， DMN S CNM S 点 D到 MN的距离等于点 C 到 MN的距离，M

18、N在 CD 的同侧. MNCD. 四边形 DMNA 是平行四边形，四边形 BMNC是平行四边形， DMAN，BMCN， BDAC. （2）过点 O作 OEAB交 AB于点 E，过点 C作 CFOA 交 OA于点 F. 2 2 S 1 S 3 S， （ 1 2 CDOE） 21 2 BDOE 1 2 ACOE， CD 2BDAC. BDAC CD 2AC2BD2 CDACBD C 为 AC 的三等分点， CFOB CF OB AC AB y 3 2 x6 A（4，0） ， （0，6） 6 CF 1 3 CF2 OF OA BC AB 4 OF 2 3 OF 8 3 C（ 8 3 ，2） y k

19、x （k0） 2 8 3 k k16 3 . 20. 【解析】 （1）AEBF， 理由如下：作 AMy 轴于 M，BNx 轴于 N，连接 MN、OA、OB、BM、AN， AMx轴， AMN S AMO S 2 k ， 同理， BMN S BNO S 2 k ， AMN S BMN S， 即 A、B 两点到 MN的距离相等，且 A、B位于 MN同侧，故 ABMN， 四边形 AMNF与 BNME均为平行四边形， AMFN，EMBN 又AMEBNF90， 在EMA 与BNF 中， AMFN AMEBNF EMBN ， EMABNF， AEBF； （2）结论依然成立，AEBF， 理由：作 AMy 轴于

20、 M，BNx轴于 N，连接 MN、OA、OB、BM、AN， AMx轴， AMN S AMO S 2 k ， 同理， BMN S BNO S 2 k ， AMN S BMN S， 即 A、B 两点到 MN的距离相等，且 A、B位于 MN同侧，故 ABMN， 四边形 AMNF与 BNME均为平行四边形， AMFN，EMBN 又AMEBNF90， 在EMA 与BNF 中， AMFN AMEBNF EMBN ， EMABNF， AEBF 21. 【解析】 （1）（1,6）在 y m x 上， m6，即双曲线解析式是 y 6 x ， 当 C 点横坐标为 2 时，纵坐标为 3， C（2,3） 直线 AB

21、过点 C（2,3） ，D（1,6） ，得 23 6 kb kb ，k3，b9， 故直线 AB的解析式为 y3x9； CD AB 的值为 1 3 ； x y P 6 1 D C B AO （2）设 C（a，b） ，则 ab6， EFC S 1 2 （a） （b） 1 2 ab3，而 EFD S 1 2 163， EFC S EFD S； EFC S EFD S，且两三角形同底， 两三角形的高相同， EFCD， DFAE，BFCE， 四边形 DFEA 与四边形 FBCE 都是平行四边形， CEBF，FDBEAC， 在DFB与AEC中， DFBAEC CEBF FDBEAC DFBAEC（ASA） ， ACBD， CD AB 2，设 CD2k，ABk，DB 2 k ， DB AB 1 2 ， DFBAOB，DBFABO， DFBAOB， OA2，且 BF BO 1 2 ， OB4， tanOAB OB OA 2 x y F E A B C D O