中考培优竞赛专题经典讲义 第11讲 最值问题之构造与转化

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1、第第 1111 讲讲 最值问题之构造与转化最值问题之构造与转化 转化是数学解题中的常用方法，一般可分为两类，一类是具体的转化，即通过定理或者性 质将条件转化和结论转化；另一类是思维转化，这类一般对学生思维要求较高！ 【例题讲解】【例题讲解】 例题例题 1、求 22 4(4)1xx的最小值为_. 【解析】 将代数问题转化为几何问题 如图 1，线段 AB=4，ACAB，BDAB，AC=2，BD=1 22 4(4)1xx转化为求 CP+PD 的最小值 当 C、P、D 共线时最小，即为线段 CD 的长度 例题例题 2、如图，在边长为 8 的正方形 CDEF 中，A、B 分别在边 EF 和 CF 上，点

2、 A 为 EF 的中点，FB=3，连接 AB，点 P 为 AB 上一动点，过点 P 分别作 ED 和 DC 的垂线，垂足分别为 M、N，求四边形 PMDN 面积的最大值. 【解析】 将几何问题转化为代数问题 思考用一个未知数来表示出 PM 和 PN 的长度 可以选择设 PG=x，则 FH=x，PN=8-x，BH=3-x 利用BHPBFA，易得 PH= 4 (3) 3 x=4- 4 3 x 所以 PM=4+ 4 3 x，所以 PMDN S=（8-x）（4+ 4 3 x）= 2 45121 () 323 x（0x3）， 所以当 x= 5 2 时，四边形 PMDN 面积取得最大值为 121 3 .

3、例题例题 3、如图，点 O 在线段 AB 上，OA=1，OB=3，以 O 为圆心、OA 长为半径作O，点 M 在0 上运动，连接 MB，以 MB 为腰作等腰 RtMBC，使MBC=90，M、B、C 三点为 逆时针顺序，连接 AC，则 AC 长的取值范围是_. 【解析】 基本方法为：利用构造双子型将 CA 转化 以 AB 为边向下作等腰 RtABD，连接 DM MBC 与DBA 均为等腰直角三角形 MB=BC，BD=AB，MBC=DBA=90 MBC+ABM=DBA+ABM MBD=CBA ABCMBD AC=MD 点 M 在圆上运动， DM 的最小值为 OD-r；DM 的最大值为 OD+r 在

4、 RtOBD 中，可计算出 OD=5 所以 DM 的最小值为 4，DM 的最大值为 6 4AC6 例题例题 4、如图，已知 RtABC 中，A=90，AC=3，AB=4，点 P 为 AB 边上一动点，连接 CP，过点 P 作 PMCP，交 BC 于点 M，则 BM 的最大值为_. 【分析】要求 BM 的最大值，发现点 M 随着点 P 的运动而运动，反过来思考，一个点 P 对应一个点 M，那么也可以由点 M 来确定点 P，所以本题的问题就转化为“在 BC 边上找一点 P，使得MPC=90，接下去利用圆的知识解决，只需考虑临界情况，即以 MC 为直径的圆恰 好与 AB 相切时，CM 最小，即 BM

5、 最大。 【解析】 如图，设 PO=OC=r，BO=5-r 在 RtBOP 中，sinPBO=sinABC= 3 5 3 55 r r ，解得 r= 15 8 MC= 2r = 15 4 ，BM= 5 4 例题例题 5、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 经过点 A（-4，0）、B（0，4），0 的半径为 1（O 为坐标原点），点 P 在直线 AB 上，过点 P 作O 的一条切线 PQ，Q 为切点， 则切线长 PQ 的最小值为_. 【提示】P、Q 两点均为动点，连接 OP、OQ，根据勾股定理的转化，PQ 的最小值转化为 OP 的最小值。 例题例题 6 6、如图，O 的直径为 4，C

6、 为0 上一个定点，ABC=30，动点 P 从 A 点出发 沿半圆弧AB向 B 点运动（点 P 与点 C 在直径 AB 的异侧），当 P 点到达 B 点时运动停止，在 运动过程中，过点 C 作 CP 的垂线 CD 交 PB 的延长线于 D 点.在点 P 的运动过程中，线段 CD 长度的取值范围为_. 【提示】利用三角函数用 CP 来表示 CD 的长，于是问题转化为求 CP 的取值范围. 例题例题 7、问题提出：如图 1，在 RtABC 中，ACB=90 ，CB=4，CA=6，C 半径为 2， P 为圆上一动点，连结 AP、BP，求 AP+ 1 2 BP 的最小值. 图 1 图 2 图 3 OD

7、 C B A P DCB A P CB A 尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图 2，连接 CP，在 CB 上取点 D， 使 CD=1 ， 则 有 1 2 CDCP CPCB ， 又 PCD=BCP ， PCDBCP ， 1 2 PD BP ， PD= 1 2 BP，AP+ 1 2 BP=AP+PD. 请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+ 1 2 BP 的最小值为 . 自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下， 1 3 AP+BP 的最小值为 . 拓展延伸：已知扇形 COD 中，COD=90 ，OC=6，OA=3，OB=5，点 P 是弧 CD 上一点，求 2PA+PB

8、 的最小值. 答案：(1)如图 1，连结 AD，AP+ 1 2 BP=AP+PD,要使 AP+ 1 2 BP 最小，AP+AD 最小，当点 A， P，D 在同一条直线时，AP+AD 最小，即：AP+ 1 2 BP 最小值为 AD，在 RtACD 中，CD=1， AC=6，AD=37，AP+ 1 2 BP 的最小值为37,故答案为37； (2)如图 2，连接 CP,在 CA 上取点 D,使 CD= 2 3 ，CD：CP=CP：CA=1：3，PCD=ACP， PCDACP，PD：AP=1：3，PD= 1 3 AP， 1 3 AP+BP=BP+PD，同(1)的方法得出 1 3 AP+BP 的最小值为

9、 BD= 2 37 3 .故答案为： 2 37 3 ； (3)如图 3，延长 OA 到点 E，使 CE=6，OE=OC+CE=12，连接 PE、OP，OA=3，OA： OP=OP：OE=1：2，AOP=AOP，OAPOPE，AP：EP=1：2，EP=2PA， 2PA+PB=EP+PB，当 E. P、B 三点共线时,取得最小值为：BE=13. 例题例题 8、如图，己知 y= 1 2 x2+ 3 2 x+2 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴 交于 C 点，现一直线经过 B、C 两点，点 P 为 BC 上方的抛物线上一动点，过点 P 作 PQBC， 求 PQ 的最大

10、值. y x Q P O C B A 【解析】 问题为求点 P 到线段 BC 距离最大值，连接 PC、PB，即为求PBC 内 BC 边上的高的最大值， B、C 两点为定点，所以线段 BC 长度不变，所以只需使得PBA 面积最大即可！ y x Q P O C B A 【巩固练习】【巩固练习】 1、如图，O 的半径为 3，点 O 到直线 l 的距离为 4，点 P 是直线 l 上的一个动点，PQ 切O 于点 Q，则 PQ 的最小值为 。 第1题 第2题 第3题 y xO C B A O F E DCB A l O Q P 2、如图，ABC 中，BAC=60 ，ABC=45 ，AB=2 2，D 是线段

11、 BC 上的一个动点，以 AD 为直径作O 分别交 AB、 AC 于 E、 F 两点， 连接 EF， 则线段 EF 长度的最小值为 。 3、在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆过点 A（13，0），若直线 y=kx-3k+4 与O 交于 B、C 两点，则弦 BC 的长的最小值为 。 4、如图，在直角坐标系中，己知点 A（4，0），点 B 为 y 轴正半轴上一动点，连接 AB，以 AB 为一边向下做等边ABC，连接 OC，则 OC 的最小值为 。 5、如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，3），OA 的半径为 2，点 P 是A 上一动点， 以 OP 为边作等腰 RtOPQ（Q

12、 点在第二象限），则 AQ 的最小值为 。 y x Q P O A 6、如图 1，抛物线 y=ax2+(a+3)x+3（a0）与 x 轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于点 B，在 x 轴 上有一动点 E（m，0）（0m4），过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N，交抛物线于点 P， 过点 P 作 PMAB 于点 M. （1）求 a 的值和直线 AB 的函数表达式； （2）设PMN 的周长为 C1，AEN 的周长为 C2，若 1 2 6 5 C C ，求 m 的值； （3） 如图 2， 在 （2） 的条件下， 将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE， 旋转角为（0 90 ）

13、， 连接 EA、EB，求 EA+ 2 3 EB 的最小值. 图 1 图 2 A B O P M N x y E E E y x N M P O B A 1. 答案：7 2. 答案：3 3. 答案：24 4. 答案：7.2 5. 答案：26-2 6. 解答：(1)令 y=0,则 ax2+(a+3)x+3=0，(x+1)(ax+3)=0，x=1 或 3 a ，抛物线 y=ax2+(a+3)x+3(a0)与 x 轴交于点 A(4,0)，3a=4，a= 3 4 .A(4,0),B(0,3)， 设直线 AB 解析式为 y=kx+b,则 b=3， 4k+b=0， 解得 k= 3 4 ， b=3， 直线 A

14、B 解析式为 y= 3 4 x+3. (2)如图 1 中， PMAB， PEOA， PMN=AEN， PNM=ANE， PNMANE， PN：AN=6：5， NEOB，AN：AB=AE：OA，AN= 5 4 (4m)，抛物线解析式为 y= 3 4 x2+ 9 4 x+3，PN= 3 4 m2+ 9 4 m+3( 3 4 m+3)= 3 4 m2+3m，m=2. (3)如图 2 中,在 y 轴上取一点 M 使得 OM= 4 3 ，OE=2,OMOB= 4 3 3=4，OE2=OMOB， OE：OM=OB：OE,BOE=MOE，MOEEOB，ME：BE=OE：OB=2：3， ME= 2 3 BE，AE+ 2 3 BE=AE+EM=AM，此时 AE+ 2 3 BE最小,最小值=AM= 4 10 3 .