中考培优竞赛专题经典讲义 第8讲 最值问题之垂线段最短
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1、第第 8 8 讲讲 最值问题之垂线段最短最值问题之垂线段最短 模型讲解模型讲解 如图,直线 l 外一点 P 与直线上的点的所有连线段中,PB 线段长度最短 【例题讲解例题讲解】 例题例题 1 1、如图,在 RtABC 中,BAC90,AB5,AC12,P 为边 BC 上一动点,PEAB 于 E, PFAC 于 F,M 为 EF 中点,则 AM 的取值范围是 解:连接 AP,PEAB,PFAC,AEPAFP90, BAC90,四边形 AEPF 是矩形,APEF, BAC90,M 为 EF 中点,AM 1 2 EF 1 2 AP, 在 RtABC 中,BAC90,AB3,AC4,BC 22 ABA
2、C5, 当 APBC 时,AP 值最小,此时 SBAC 1 2 34 1 2 5AP, AP 12 5 ,即 AP 的范围是 AP 12 5 ,2AM 12 5 ,AM 的范围是 AM 6 5 , APAC,AP4,AM2, 6 5 AM2 例题 2、已知点 D 与点 A(8,0),B(0,6),C(a,a)是一平行四边形的四个顶点,则 CD 长的最小值 为 解:有两种情况: CD 是平行四边形的一条边,那么有 ABCD10 CD 是平行四边形的一条对角线, 过 C 作 CMAO 于 M,过 D 作 DFAO 于 F,交 AC 于 Q,过 B 作 BNDF 于 N, 则BNDDFACMAQFA
3、90,CAMFQA90,BDNDBN90, 四边形 ACBD 是平行四边形,BDAC,CD,BDAC,BDFFQA, DBNCAM,在DBN 和CAM 中, BNDAMC DBNCAM BDAC ,DBNCAM(AAS), DNCMa,BNAM8a,D(8a,6a), 由勾股定理得:CD 2(8aa)2(6aa)28a28a1008(a1 2 ) 298, 当 a 1 2 时,CD 有最小值,是98, 9810,CD 的最小值是9872 例题 3、如图,在 RtABC 中,C90,AC6,BC8,经过点 C 且与边 AB 相切的动圆与 CA、 CB 分别相交于点 P、Q,则线段 PQ 长度的最
4、小值是 解:如图,AB10,AC8,BC6, AB 2AC2BC2,ACB90,PQ 是F 的直径, 设 QP 的中点为 F,圆 F 与 AB 的切点为 D,连接 FD,连接 CF,CD,则 FDAB FCFDPQ,CFFDCD, 当点 F 在直角三角形 ABC 的斜边 AB 的高上 CD 时,PQCD 有最小值 CDBCACAB4.8 【巩固练习巩固练习】 1、已知在ABC 中,AC3,BC4,AB5,点 P 是 AB 上(不与 A、B 重合),过 P 作 PEAC,PF BC,垂足分别是 E、F,连结 EF,M 为 EF 的中点,则 CM 的最小值为 2、如图,线段 AB 的长为 10,C
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