2020年5月清华大学中学生标准学术高三能力诊断性数学试题（理科）含答案

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1、中学生标准学术能力诊断性测试中学生标准学术能力诊断性测试 2020 年年 5 月测试月测试 理科数学试卷（理科数学试卷（一一卷）卷） 本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。 一、选择题：本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 2 log (2)0Axx， 2 45,By yxxxA，则AB（ ） A3, B2, C2, D3, 2在复平面内，复数 23 1 i i 的虚部为（ ） A13 B 13 2 C13 D 13 2 3已知单位向量a，b满足22abab，则 3abab（ ） A1 B2 C3 D4 4下列程序框图的算法思想源于我国古

2、代数学名著九章算术中的“更相减损术” 执行该程序框图， 若输入16a ，10b ，则程序中需要做减法的次数为（ ） A6 B5 C4 D3 5在 2 5 2 211xxx的展开式中， 4 x的系数为（ ） A6 B6 C10 D4 6 在三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边， 且满足 222 6 5 bcabc， 则s i n 2 BC （ ） A 2 2 B 5 5 C 2 5 D 2 5 5 7函数 3 2 x e fx x 的部分图像大致是（ ） A B C D 8已知函数 3 1 66 3 xx f xxxee ，若 2 11 0 11 ff aa ，则a的取值范围为（

3、） A , 12, B1,2 C1,00,1 D1,1 $2, 9已知等差数列 n a满足： 1 1a ， 416 4aa，则 1912 222a aa （ ） A 38 2 B 19 2 C 16 2 D 76 2 10已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 2 5 ，以原点为圆心以椭圆短半轴长为半径的圆与直线 21yx相切，则a（ ） A2 B5 C3 D1 11设 f x为定义于1,1上的偶函数，当0,1x时， 1 2f xx ，则方程 2 2 x ff x的实数 解的个数为（ ） A8 B6 C4 D2 12已知当0,1x时，不等式 2 2 cos11sin0xxxx

4、恒成立，则的取值范围为（ ） A 5 1212 kk（k为任意整数） B 5 66 kk（k为任意整数） C 5 2 2 1212 kk（k为任意整数） D 5 2 2 66 kk（k为任意整数） 二、填空题：本大题共 4 小题 13设数列 n a满足 1 4a ， 2 10a ， 22 21 5 nnn aaa ，3n ，则 20192018 1 lnln 2 aa_ 14设实数x，y满足 0 220 3 xy xy x ，则 22 xy的最大值为_ 15假设抛一枚质地均匀的色子，若抛出的点数为 1、2 或 3，我们称为“小” ，否则，若抛出的点数为 4、 5 或 6，则称为“大” 。独立重

5、复地抛这枚色子两次，已知两次都为“大” ，则第 1 次抛出的点数为 6 的概率 _ 16已知定义于实数R上的奇函数 f x满足 2f x ，则不等式 2 13 2ln3 1 2f xxxx 的解集为_ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作 答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 17 设ABC中， coscos3sincos0CAAB， 内角A、B、C对应的对边长分别为a、b、c （1）求角B的大小； （2）若 22 48ac，求ABC面积S的最大值，并求出S取得最大值时b的值 18如下为简化的计划生育模型：每

6、个家庭允许生男孩最多一个，即某一胎若为男孩，则不能再生下一胎， 而女孩可以多个为方便起见，此处约定每个家庭最多可生育 3 个小孩，即若第一胎或前两胎为女孩，则 继续生，但若第三胎还是女孩，则不能再生了。设每一胎生男生女等可能，且各次生育相互独立依据每 个家庭最多生育一个男孩的政策以及我们对生育女孩的约定，令X为某一家庭所生的女孩数，Y为此家庭 所生的男孩数 （1）求X，Y的分布列，并比较它们数学期望的大小； （2）求概率P XD X，其中D X为X的方差 19如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD为边长为 2 的菱形，PA 平面ABCD，2PA， 60ABC，F为棱PC上一点，且:1:3PF

7、 FC （1）求证：BDAF； （2）求二面角APD C的余弦值； （3）求三棱锥FAPD的体积V 20 已知双曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab 的离心率3e ， 其左焦点 1 F到此双曲线渐近线的距离为2 2 （1）求双曲线C的方程； （2）若过点2,0D的直线l交双曲线C于AB两点，且以AB为直径的圆E过原点O，求圆E的圆心到 抛物线 2 4xy的准线的距离 21设函数 3 ln ae f xxb x ，0x ，其中e为欧拉数，a，b为未知实数，且0a 如果 0,e和, e 均为函数 f x的单调区间 （1）求a； （2）若函数 3h xf xcx在0,ee上有极值点，c为

8、实数，求c的取值范围 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作 答时请写清题号 22选修 4-5：不等式选讲 设 f x为定义于0,1上的函数，满足： （1）对任意0,1x，都有 0f x ； （2）对任意x，0,1y，都有 1 2 1 f xfx fyfy 求证： f x在0,1上的导数恒为零 23选修 2-2，推理与证明 设数列 n a为非负实数列，且满足 12 20 kkk aaa ， 1 1 k i i a ，1k ，2， 求证： 1 2 2 0 kk aa k ，1k ，2， 中学生标准学术能力测试诊断性测试中学生标准学术能

9、力测试诊断性测试 2020 年年 5 月测试月测试 理科数学（一卷）答案理科数学（一卷）答案 一选择题：本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D B C A D A D A D A C 二填空题： 13 （线下答案）ln5 （线上答案，均可得分）答案 1： 20162016 11 21 22 20172017 11 2ln5ln252 22 答案 2： 20152016 11 2 22 20162017 111 2ln5ln10510 222 1473 15 1 3 160,1 三、解答题：解答应写出

10、文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作 答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 17解： （1）因coscoscoscossinsinCABABAB 得 coscos3sincossincos3sincosCAABABAB 2sinsin0 3 AB 由于sin0A，0B可知 3 B （2）因a，0c ， 22 48ac， 22 44acac，故2ac 于是， 1133 sin2 2222 SacB 知ABC面积S的最大值为 3 2 且当S取得最大值时，2ac ，2ac，可得2a ，1c 由余弦定理， 222 2cos3bacacB，

11、即得3b 18解： （1）易知X的取值为 0，1，2，3，对应取值的概率为别为： 1 0 2 P X ， 2 11 1 24 P X ， 3 11 2 28 P X ， 3 11 3 28 P X 即得X的分布列如下 X 0 1 2 3 P 1 2 1 4 1 8 1 8 类似地，Y的取值为 0，1，对应取值的概率分别为： 1 03 8 P YP Y， 7 110 8 P YP Y ； 得Y的分布列如下： X 0 1 P 1 8 7 8 由X，Y的分布列可得它们的期望分别为： 11117 0123 24888 EX ， 177 01 888 EY 因此EXEY （2） 2 2 22222 11

12、11771 0123 2488864 D XEXEX 故 711 23 644 P XD XP XP XP X 19解： （1）因PA 平面ABCD，故PABD 又因底面ABCD为菱形，故ACBD 又：PAACA，于是BD 平面PAC 而AF 平面PAC， 因此BDAF （2） 设菱形ABCD的对角线交点为O， 因A CB D，PA 平面ABCD， 我们以O为原点， 分别以OC、 OD的方向为x，y轴的正方向可建立空间直角坐标系如图所示 由题设，易知下列各点的坐标： 1,0,0A ，1,0,2P ，0, 3,0D，1,0,0C 于是，可得向量0,0,2AP ， 1, 3,0AD ， 2,0,

13、2PC ，1, 3,0CD ， 从而，平面APD和平面PCD的法向量分别为 1 3, 1,0r ， 2 3,1, 3r 二面角APD C的余弦值 1212 7 /2/ 27 7 r rrr （3）三菱锥FAPD的体积V 三菱锥PACD的体积 1 V 三菱锥FACD的体积 2 V 三棱锥PACD与三棱锥FACD有相同的底面三角形ACD 三棱锥FAPD的高2PA， 因:1:3PF FC ，可知三棱锥PACD的高为 33 42 PA ， 于是三菱锥FAPD的体积 13113 23 32326 ACD VS 20解： （1）根据题意，我们有3 c e a ， 22 2 2 bc ab ，且 222 a

14、bc可得 2 2b，1a ，3c 于是可得双曲线C的方程为 2 2 1 8 y x （2）易知直线AB与x轴不重合，设直线AB的方程为2xmy 联立方程 2 2 1 8 2 y x xmy ，可得 22 8132240mymy 上述方程式的判别式 2 32 830m ，以及 2 810m （否则直线l不能与双曲线交两点） 设 11 ,A x y， 22 ,B x y，则 12 2 32 81 m yy m ， 12 2 24 81 y y m ， 同时可得 2 2 12121212 2 84 2224 81 m x xmymym y ym yy m 以AB为直径的圆过原点O，知 1212 0x

15、 xy y， 结合 2 810m ，可知 2 8424m ， 10 2 m 因抛物线 2 4xy的准线方程为1y ，且圆E的圆心即AB中点的纵坐标为 12 2 168 10 28119 yym m 于是可得圆E的圆心到抛物线 2 4xy的准线距离为 8 10 1 19 或 8 10 1 19 21解： （1）令 3 ln3ln aeae g xxx xx ，0x ， 2 3 )0 ae gx xx （因 0a ，0x ） 故函数 g x在0,单调递增 设 0g x 的唯一根为 0 x，即 0 x满足 0 0 3ln ae x x （利用3lnx， ae x 的函数图很容易确定） 于是，当 0

16、0,xx时， 0g x ，而当 0, xx时， 0g x 从而，当 0 0,xx时， 3ln ae f xxb x ， 当 0, xx时， 3ln ae f xxb x 可知， 0 0,x为 f x的单调递减区间， 0, x 为 f x的单调递增区间 进而，由题设得 0 xe 因此， 00 3ln 3 xx a e （2）若函数 3h xfxcx在0,ee上有极值点，则易知存在 0 0,xee，使得 0h x 注意到 2 2 33 3 ,0, 33 3 , e c xe xx h e c xe x x x ， 故知有两种情形： 2 33 30 e c xx 在0,e上有根，或等价于 2 0ey

17、yc在 1 , e 上有解， 这只需 2 11 0ec ee ，即得 2 c e 2 33 30 e c xx 在, e 上有根，或等价于 2 0eyyc在 1 0, e 上有解，故需满足0c且 2 11 0ec ee ，从而 2 0c e 综上，c的取值范围为 22 ,0, ee （二）选考题：请考生在第 22，23 题中任选题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清 题号 22选修 4-4：坐标系与参数方程 证明：要证明 f x在0,1上的导数恒为零，等价于证明 f x在0,1上恒为常数 因对任意0,1x， 都有 0f x ， 故对任意x，0,1y， 都有 f x，1fx， fy，

18、10fy 对任意x，0,1y，都有 1 2 1 f xfx fyfy ，故有 1121f x fyf y fxf y fy （3） 因（3）对于任意0,1x都成立，故令1xy ，可得 22 1210f xfxf x fx 但注意到 222 1211f xfxf x fxf xfx， 我们有 2 10f xfx，从而， 1f xfx，0,1x 于是， 1 2 1 f xfx fyfy 可化为 22 fx fy ，即 f xf y，x，0,1y 同理，亦有 f yf x，x，0,1y 因此，x，0,1y， f xf y即得证 f x在0,1上恒为一个常数 23选修 4-5：不等式选讲 证明：先证

19、1 0 kk aa ，1k ，2， 若存在某个 0 1k ，使得 00 1kk aa ，则有 00000 1122kkkkk aaaaa 即从 0 k a起，非负数列 n a单调递增， 于是， 1 k i i a 将随着 k 的增加而趋于正无穷，不可能永远小于等于 1，即与 1 1 k i i a 1k ，2，矛盾故 1 0 kk aa ，1k ，2， 再证 1 2 2 kk aa k ，1k ，2， 令 1 0 kkk baa ，1k ，2，由 12 20 kkk aaa 可知 1kk bb ，1k ，2， 又因 1234123 1 1223 k ikk i abaaaabbaa 1231 23 kk bbbkbka 123 23 k bbbkb 故有 123 1 1231 2 2 kkk k k bbbkbk bb 从而， 2 22 1 k b k kk 即证得 1 2 2 kk aa k ，1k ，2，