2020年5月清华大学中学生标准学术高三能力诊断性数学试题（文科）含答案

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1、中学生标准学术能力诊断性测试中学生标准学术能力诊断性测试 2020 年年 5 月测试月测试 文科数学试卷（文科数学试卷（一一卷）卷） 本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1已知集合14Pxx ，2Qx x，则 R PQ（ ） A2,4 B1, C2, D1,2 2已知复数z满足 4 z i i （其中i为虚数单位） ，则z的虚部为（ ） A4i B4 C1 D1 3已知实数x，y满足约束条件 2 2 2 y xy x ，则3xy的最大值为（ ） A2 B6 C8 D1

2、2 4已知实数a，b满足5ab， 23 loglogab，则ab（ ） A2 B3 C5 D6 5已知向量a，b满足1a ，2ab且ab，则向量a与ab的夹角为（ ） A 2 3 B 3 C 5 6 D 6 6已知函数 lnf xxx，则函数 f x的单调递增区间为（ ） AR B0, C 1 , e D, e 7数列 n a的前n项和 2* 23 n Snn nN，若5pq * , p qN，则 pq aa（ ） A6 B8 C9 D10 8已知x，yR， “1xy且1xy”是“1xy”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9已知实数0a ，则函数

3、 1 sinf xax a 的图象一定不可能的是（ ） A B C D 10已知x，yR，则方程组 22 22 222 31 xyxy yx 的解, x y的个数（ ） A0 B1 C2 D4 11已知ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c若4cos ab C ba ，且 1 cos 6 AB， 则cosC （ ） A 2 3 B 3 4 C 2 3 或 3 4 D不存在 12已知m，n，pR，若三次函数 32 f xxmxnxp有三个零点a，b，c，且满足 3 11 2 ff， 022ff，则 111 abc 的取值范围是（ ） A 1 ,1 3 B 1 1 , 4 3 C 1 1

4、, 4 2 D 1 1 , 3 2 二、填空题： 13已知 1 F和 2 F是椭圆 2 2 1 3 x y的两个焦点，则 12 FF _ 14将 1 名同学和 2 名老师随机地排成一排，则该名学生恰好在 2 名老师中间的概率为_ 15定义在R上的偶函数 f x满足 2 1 8 4 f xf xfx，则2020f_ 16已知ABC中， 2 A ，3AB，4AC 如图，点D为斜边BC上一个动点，将ABD沿AD 翻折，使得平面AB D平面ACD当BD _时，BC取到最小值 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每道试题考生都必须作 答第 22、23 题为选考题，

5、考生根据要求作答 （一）必考题： 17 如图， 点 0 P是锐角的终边与单位圆的交点， 0 OP逆时针旋转 3 得 1 OP， 1 OP逆时针旋转 3 得 2 OP， ， 1n OP逆时针旋转 3 得 n OP （1）若 0 P的坐标为 3 4 , 5 5 ，求点 1 P的横坐标； （2）若点 2020 P的横坐标为 4 5 ，求 2 sin 2 3 的值 18 某高中某班共有 40 个学生， 将学生的身高分成 4 组： 平频率/组距150,160，160,170，170,180， 180,190进行统计，作成如图所示的频率分布直方图 （1）求频率分布直方图中a的值和身高在160,170内的人

6、数； （2）求这 40 个学生平均身高的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （精确到 0.01） 19如图，四棱锥PABCD中，PAB是边长为 2 的等边三角形梯形ABCD满足：1BCCD， ABCD，ABBC （1）求证：PDAB； （2）若2PD ，求点D到平面PBC的距离 20如图，已知抛物线C： 2 4xy，过直线1y 上一点M作直线l交抛物线C于A，B两点，且点M 为AB中点、作直线MNAB交y轴于点N （1）求点N的坐标； （2）求NAB面积的最大值 21已知函数 1 lnf xxx （1）求 yf x在1x 处的切线方程： （2）已知实数2k 时，求证：函数 yf

7、x的图象与直线l：1yk x有 3 个交点 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作 答时请写清题号 22选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 在极坐标系中，已知曲线C： 2 2 2 1 sin ，过点1,0F 引倾斜角为的直线l，交曲线C于P，Q 两点 （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）若直线l分别交直线2x 于A，B两点，且PQ、AFBF、AB成等比数列，求cos的值 23选修 4-5：不等式选讲 已知实数a，b满足：22ab （1）求证： 2 8 2 1 c abb c ； （2）若对任意的a， * bR， 12 11cc b

8、a 恒成立，求c的取值范围 中学生标准学术能力测试诊断性测试中学生标准学术能力测试诊断性测试 2020 年年 5 月测试月测试 文科数学（一卷）答案文科数学（一卷）答案 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B C D B C D C A B A D 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 132 2 14 1 3 15 37 8 1615 7 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作 答第 22、23 题为选考题，

9、考生根据要求作答 （一）必考题 17解： （1）因为点 0 3 4 , 5 5 P ，根据三角函数的定义可得 4 sin 5 ， 3 cos 5 根据题意可知点 1 P的横坐标为 314334 3 coscoscossinsin 333525210 （2）根据题意可知点 2020 P的横坐标为 202044 coscos 335 所以 4 cos 35 又因为 0, 2 ，所以 5 , 336 ，所以 3 sin 35 所以 224 sin 22sincos 33325 18解： （1）由图可得150,160，160,170，170,180，180,190三组的频率分别为 0.1250，0.3

10、000， 0.1250，可得人数分别为 5，12，5， 所以身高在160,170内的共有 18 人， 所以 18 0.0450 40 10 a ； （2）这 40 个学生平均身高的估计值为 1 155 5 165 18 175 12 185 5169.25 40 所以这 40 个学生平均身高的估计值为169.25cm 19解（1）取AB的中点O，连接OP，OD， 因为PAB为边长为 2 的等边三角形， 所以POAB， 因为1BOCD，ABCD， 所以四边形OBCD为平行四边形， 又因为ABBC，所以DOAB 因为DOPOO，所以AB 平面POD， 所以PDAB； （2）设点D到平面PBC的距离

11、为h， 因为1BCDO，3PO ，2PD ，所以DOPO， 又因为DOAB，所以DO 平面PAB 由 D PBCP DBC VV 可得， 1111 3232 hBCPBPOBCDC ， 所以 3 2 h 20解：设点 11 ,A x y， 22 ,B x y，中点,1M t， 直线AB的斜率为k， （k斜率显然存在且不为 0） 由 2 11 2 22 4 4 xy xy 可得 121212 4xxxxyy， 所以 12 12 12 4 yy xx xx ，故24tk， （1）直线MN： 1 1yxt k ，即 1 12yxk k ，解得点0,3N （2）因为直线AB经过点,1M t，直线AB的

12、斜率为k， 所以可得直线AB的方程是： 2 21ykxk， 由 2 2 4 21 xy ykxk 联立可得 22 4840xkxk， 所以 12 2 12 2 4 , 84, 16160, xxk x xk k ， 所以 222 12 1116 16ABkxxkk， |2k22| 又因为点N到直线AB的距离为 2 2 22 1 k d k ， 所以NAB的面积 22222 4 112 22211Skkkkk 3 222 221116 6 2 2 39 kkk 当 2 1 3 k 时，NAB的面积取到最大值16 6 9 21解： （1）因为 1 lnf xxx，所以 1 ln x fxx x ，

13、 所以 12 f ， 又因为 10f，所以 f x在1x 处的切线方程22yx； （2）证明：当2k 时，函数 yf x的图象与直线l交点的个数等价于函数 1 ln 1 k x h xx x 的零 点个数， 因为 2 22 1212 11 xkxk h x x xx x ，0,x， 设 2 221g xxk x， 因为二次函数 g x在xR时， 010g ， 1420gk， 所以存在 1 0,1x ， 2 1,x ，使得 1 0g x， 2 0g x， 所以 h x在 1 0,x单调递增， 12 ,x x单调递减， 2, x 单调递增 因为 10h，所以 1 10h xh， 2 10h xh，

14、 因此 h x在 12 ,x x存在一个零点1x ； 又因为当 k xe， 12 0 11 kk k kk k ek e h ek ee ， 所以 h x在 1 , k ex 存在一个零点； 当 k xe时， 1 2 0 11 k k kk k e h ekk ee ， 所以 h x在 2, k x e存在一个零点； 所以，函数 yf x的图象与直线l：1yk x有 3 个交点 （二）选考题：请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清 题号 22选修 4-4：坐标系与参数方程 解： （1）曲线C的方程可化为 2 2 1 2 x y； （2）设直线l的参

15、数方程为 1cos , sin xt yt （t为参数） ， 代入椭圆C方程得 22 1 sin2 cos10tt ， 所以 12 2 2cos 1 sin tt ， 1 2 2 1 1 sin t t ，故 12 2 2 2 1 sin PQtt ， 又因为 4 cos AB ， 2 = cos AFBF ， 所以 2 2 442 2 coscos1 sin ， 当cos0时， 2 cos2 2cos20 ，解得cos22， 当cos0时， 2 cos2 2cos20，解得cos22， 所以cos22或22 曲线 2 C的直角坐标方程为320xy或3100xy 23选修 4-5：不等式选讲 （1）解： （1）证明：因为2224abbab， 若0c，不等式显然成立; 若0c ，则 2 888 4 1 12 1 c c c c ， 所以 2 8 2 1 c abb c ， 当 20abb，且1c取到等号； 综上 2 8 2 1 c abb c （2）因为 12222 24 22 ababab bababa ， 所以114cc ，解得22c