广东省湛江市2020年普通高考理科数学试卷(一)含答案解析
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1、2020 年高考数学一模试卷(理科)年高考数学一模试卷(理科) 一、选择题(共 12 小题) 1设集合 Mx| 1,Nx|lgx0,则 M(RN)( ) A B(1,1) C(1,+) D(,1) 2已知复数 z 满足|zi|2(i 是虚数单位),则|z|的最大值为( ) A2 B3 C4 D5 3已知 a6 ,blog22 ,c1.2 2,则 a,b,c 的大小关系是( ) Abca Bacb Cabc Dbac 4已知 , 是两个不同的平面,直线 a,b 满足 a,b,则“a 且 b”是“ ”成立的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 5已知 (2
2、,6), (3,1),则向量 在 方向上的投影为( ) A6 B C D 6已知 (0,),2sin+cos1,则 ( ) A B C7 D 7已知函数 f(x)ax2xa+2,若 ylnf(x)在( ,+)为增函数,则实数 a 的取 值范围是( ) A1,+) B1,2) C1,2 D(,2 8“岂曰无衣,与子同袍”,“山川异域,风月同天”自新冠肺炎疫情爆发以来,全国 各省争相施援湖北截至 3 月初,山西省共派出 13 批抗疫医疗队前往湖北,支援抗击新 型冠状病毒感染的肺炎疫情某医院组建的由 7 位专家组成的医疗队,按照 3 人、2 人、 2 人分成了三个小组,负责三个不同病房的医疗工作,则
3、不同的安排方案共有( ) A105 种 B210 种 C630 种 D1260 种 9点 P 的坐标(x,y)满足 ,若直线 l:x+2y+z0 经过点 P,则实数 z 的 最大值为( ) A3 B5 C9 D11 10如图,F1,F2是双曲线 l: 1(a0,b0)的左、右焦点,过 F1的直线与 双曲线左、右两支分别交于点 P,Q若 5 ,M 为 PQ 的中点,且 ,则 双曲线的离心率为( ) A B C D2 11在三棱柱 ABCA1B1C1中,AA1平面 ABC,ABBCCAAA12,则三棱柱 ABC A1B1C1的外接球的体积与三棱柱的体积之比为( ) A B C D 12已知函数 f
4、(x)2sin(x+)(0,| )的图象与 x 轴的两个相邻交点的横 坐标为 , ,下面 4 个有关函数 f(x)的结论: 函数 yf(x )的图象关于原点对称; 在区间 , 上,f(x)的最大值为 ; x 是 f(x)的一条对称轴; 将 f(x)的图象向左平移 个单位,得到 g(x)的图象,若 A,B,C 为两个函数图象 的交点,则ABC 面积的最小值为 其中正确的结论个数为( ) A1 B2 C3 D4 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13一组样本数据 10,23,12,5,9,a,21,b,22 的平均数为 16,中位数为 21,则 a b 142019 国际
5、乒联世界巡回赛男子单打决赛在甲、乙两位选手间进行,比赛实行七局四胜 制(先获得四局胜利的选手获胜),已知每局比赛甲选手获胜的概率是 ,且前五局比赛 甲 3:2 领先,则甲获得冠军的概率是 15已知 a,b,c 分别为ABC 三个内角 A,B,C 的对边,asinB bcosA,且 a2若 D, E分别为边BC, AB的中点, 且G为ABC的重心, 则GDE面积的最大值为 16在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,F 是抛物线 C:y2x 的焦点,过 F 的直线与抛 物线交于 A,B 两点若|AB|2,则OAB 的面积为 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证朋过程或演算步骤.第 172
6、1 题为必考题, 毎个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 60 分 17已知 Sn为数列an的前 n 项和,且 Sn+2an2(nN+) (1)求数列an的通项公式; (2)若数列bn满足 2n(nN*),求数列bn的前 n 项和 Tn 18如图 1,在ABC 中,AB BC2 ,ABC ,D 为 AC 的中点,将ABD 沿 BD 折起,得到如图 2 所示的三棱锥 PBCD,二面角 PBDC 为直二面角 (1)求证:平面 PBC平面 PBD; (2)设 E,F 分别为 PC,BC 的中点,求二面角 CDEF 的余弦值 19我国全面二孩政策已于 2
7、016 年 1 月 1 日起正式实施国家统计局发布的数据显示,从 2012 年到 2017 年,中国的人口自然增长率变化始终不大,在 5上下波动(如图)为了 了解年龄介于 24 岁至 50 岁之间的适孕夫妻对生育二孩的态度如何,统计部门按年龄分 为 9 组,每组选取 150 对夫妻进行调查统计有生育二孩意愿的夫妻数,得到如表: 年龄区 间 24,26 27,29 30,32 33,35 36,38 39,41 42,44 45,47 48,50 有意愿 数 80 81 87 88 84 83 83 70 66 (1)设每个年龄区间的中间值为 x,有意愿数为 y,求样本数据的线性回归直线方程,
8、并求该模型的相关系数 r(结果保留两位小数 (2)从24,26,33,35,39,41,45,47,48,50这五个年龄段中各选出一对 夫妻(能代表该年龄段超过半数夫妻的意愿)进一步调研,再从这 5 对夫妻中任选 2 对 夫妻设其中不愿意生育二孩的夫妻数为 X,求 X 的分布列和数学期望 (参考数据和公式: r , , , (xi )(yi ) xiyi yi, xiyi26340, 473.96) 20已知原点 O 到动直线 l 的距离为 2,点 P 到 A(1,0),B(1,0)的距离分别与 A, B 到直线 l 的距离相等 (1)证明|PA|+|PB|为定值,并求点 P 的轨迹方程; (
9、2)是否存在过点(0,3)的直线 l,与 P 点的轨迹交于 M,N 两点,Q 为线段 MN 的中点,且|MN|2AQ?若存在,请求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由 21已知函数 f(x)e2xax21(xR) (1)设 g(x)f(x)x f(x),当 a1 时,求函数 g(x)的单调减区间及极大值; (2)设函数 yf(x)有两个极值点 x1,x2, 求实数 a 的取值范围; 求证:ae ae 2e e (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一 题计分.选修 4-4:坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为
10、 (t 为参数),以坐标原点 O 为 极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 22 sin( ) +10 (1)求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程; (2)设直线 (R)与曲线 C 交于 A,B 两点(A 点在 B 点左边)与直线 l 交于点 M求|AM|和|BM|的值 选修 4-5:不等式选讲 23已知函数 f(x)|xa|+|x+3| (1)若 a1,解不等式 f(x)3x; (2)若对任意 a,xR,求证:f(x)2|a+1| 参考答案 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求
11、的. 1设集合 Mx| 1,Nx|lgx0,则 M(RN)( ) A B(1,1) C(1,+) D(,1) 【分析】首先解不等式得 Mx|x1 或 x1和RNx|x1,再由集合运算求出 结果 解:由 1,解得 x1 或 x1,Mx|x1 或 x1 由 lgx0,解得 x1,Nx|x1,RNx|x1 MRNx|x1, 故选:D 【点评】本题考查的知识点是集合的交集,补集运算,集合的解法及应用,难度不大, 属于基础题 2已知复数 z 满足|zi|2(i 是虚数单位),则|z|的最大值为( ) A2 B3 C4 D5 【分析】利用复数的模的几何意义求解,利用数形结合法得到当点 Z 的坐标为(0,3
12、) 时,|z|的值最大,从而|z|的最大值为 3 解:由复数的模的几何意义可知,复数 z 在复平面内对应的点 Z 对应的轨迹为:以(0, 1)为圆心,以 2 为半径的圆的内部(包括圆周),而|z|表示点 Z 到点(0,0)的距离, 如图所示,当点 Z 的坐标为(0,3)时,|z|的值最大, 所以|z|的最大值为 3, 故选:B 【点评】本题主要考查了复数的模的几何意义,是基础题 3已知 a6 ,blog22 ,c1.2 2,则 a,b,c 的大小关系是( ) Abca Bacb Cabc Dbac 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解 解: ,c1.2 21.44, 又 , , , abc
13、, 故选:C 【点评】本题考查三个数的大小的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意对数函数 和指数函数的性质的合理运用 4已知 , 是两个不同的平面,直线 a,b 满足 a,b,则“a 且 b”是“ ”成立的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【分析】由 a,b,利用面面平行的性质定理可得:a 且 b,反之不成 立,即可判断出关系 解:a,b,a 且 b,反之不成立, 与 可能相交 a 且 b”是“”成立的必要不充分条件 故选:B 【点评】本题考查了面面平行的性质定理、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计 算能力,属于基础题 5已知 (2,6),
14、(3,1),则向量 在 方向上的投影为( ) A6 B C D 【分析】根据平面向量 在 方向上的投影的定义,计算即可( 解:由 (2,6), (3,1), 所以 (5,5), 所以( ) 535110, | | , 所以向量 在 方向上的投影为 故选:D 【点评】本题考查了平面向量投影的定义与计算问题,是基础题 6已知 (0,),2sin+cos1,则 ( ) A B C7 D 【分析】由已知可得 cos12sin,利用同角三角函数基本关系式可求 sin,cos 的 值,进而利用二倍角公式可求 sin2,cos2 的值,即可求解 的值 解:(0,),2sin+cos1,即 cos12sin,
15、 sin2+(12sin)21,解得 sin ,cos , sin22sincos ,cos212sin 2 故选:D 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,二倍角公式在三角函数化简求值中 的应用,考查了转化思想,属于基础题 7已知函数 f(x)ax2xa+2,若 ylnf(x)在( ,+)为增函数,则实数 a 的取 值范围是( ) A1,+) B1,2) C1,2 D(,2 【分析】利用复合函数的单调性,列出不等式组,转化求解即可 解:因为 ylnf(x)在( ,+)为增函数,所以 f(x)ax 2xa+2,在( ,+) 为增函数,并且 f(x)0, 可得 ,解得 1a2 故选:C
16、【点评】本题考查复合函数的单调性的应用,列出不等式是解题的关键,注意导数函数 的定义域 8“岂曰无衣,与子同袍”,“山川异域,风月同天”自新冠肺炎疫情爆发以来,全国 各省争相施援湖北截至 3 月初,山西省共派出 13 批抗疫医疗队前往湖北,支援抗击新 型冠状病毒感染的肺炎疫情某医院组建的由 7 位专家组成的医疗队,按照 3 人、2 人、 2 人分成了三个小组,负责三个不同病房的医疗工作,则不同的安排方案共有( ) A105 种 B210 种 C630 种 D1260 种 【分析】根据题意,分 2 步进行分析:先将 7 人按照 3 人、2 人、2 人分成三个小组, 将分好的三组全排列,对应三个不
17、同病房,由分步计算原理计算可得答案 解:根据题意,分 2 步进行分析: 先将 7 人按照 3 人、2 人、2 人分成三个小组,有 105 种分组方法, 将分好的三组全排列,对应三个不同病房,有 A336 种情况, 则有 1056630 种安排方案; 故选:C 【点评】本题考查排列、组合的应用,涉及分步计数原理的应用,属于基础题 9点 P 的坐标(x,y)满足 ,若直线 l:x+2y+z0 经过点 P,则实数 z 的 最大值为( ) A3 B5 C9 D11 【分析】由约束条件画出可行域,再把目标函数平移,找出最优解,代入求最大值 解:根据线性约束条件画出可行域,得到如图所示的三角形区域 ABC
18、,直线 L 的方程 x+2y+z0 可化为 y x z,当直线 L 在 y 轴上的截距最小时,实数 z 取得最大值, 在图中作出直线 y x 并平移,使它与图中阴影区域有公共点,且在 y 轴上的截距最 小,由图可知,当直线过 A 点时,截距最小,由 ,求得 A( , ),代 入到 x+2y+z0 中,解得 z5,即 zmax5 故选:B 【点评】本题考查线性规划问题,由线性约束条件,目标函数求最大值,属于基础题 10如图,F1,F2是双曲线 l: 1(a0,b0)的左、右焦点,过 F1的直线与 双曲线左、右两支分别交于点 P,Q若 5 ,M 为 PQ 的中点,且 ,则 双曲线的离心率为( )
19、A B C D2 【分析】连接 F2P,F2Q,设|F1P|t,则由题意可得|PM|MQ|2t,由题意可得|F2P| t+2a,|F2Q|5t2a,在直角三角形 PMF2中,cosMPF2 , 所以在三角形 P1F2中,由余弦定理可得 cosF1PF2 ,所以可得 2c 2 7a2,求出离心率 e 解:连接 F2P,F2Q,设|F1P|t,则由题意可得|PM|MQ|2t, 因为 P,Q 为双曲线的点,所以|F2P|t+2a,|F2Q|5t2a, 因为 M 为 PQ 的中点,且 , 所以|F2P|F2Q|,所以 t+2a5t2a,所以 ta, 所以|F1P|a,|PM|MQ|2a,|F2P|F2
20、Q|3a, 在直角三角形 PMF2中,cosMPF2 , 所以在三角形 P1F2中,由余弦定理可得 cosF1PF2 , 所以可得 2c27a2,即 e , 故选:A 【点评】本题考查双曲线的性质及余弦定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于 中档题 11在三棱柱 ABCA1B1C1中,AA1平面 ABC,ABBCCAAA12,则三棱柱 ABC A1B1C1的外接球的体积与三棱柱的体积之比为( ) A B C D 【分析】由题意画出图形,求出其外接球的半径,然后分别求出多面体的体积及其外接 球的体积,作比得答案 解:如图,N,M 分别为三棱柱上、下底面的中心,O 为 MN 的中点, 连接 O
21、C1,NC1,则 O 为三棱柱外接球的球心,OC1为外接球的半径, 在直角三角形 ONC1中,求得 ON1, , 外接球 又 三棱柱 外接球 三棱柱 故选:C 【点评】本题考查多面体体积及其外接球的体积的求法,考查计算能力,是中档题 12已知函数 f(x)2sin(x+)(0,| )的图象与 x 轴的两个相邻交点的横 坐标为 , ,下面 4 个有关函数 f(x)的结论: 函数 yf(x )的图象关于原点对称; 在区间 , 上,f(x)的最大值为 ; x 是 f(x)的一条对称轴; 将 f(x)的图象向左平移 个单位,得到 g(x)的图象,若 A,B,C 为两个函数图象 的交点,则ABC 面积的
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