江苏省宿迁市2020年5月高三年级第二学期联考数学试题含附加题（有答案）

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1、高三数学 第 1 页 共 6 页 x0 （第 3 题） 开始 输入 x y3x yx (x 2) 输出 y 结束 Y N 宿迁市宿迁市 20192020 学年度第二学期高三年级学年度第二学期高三年级 5 月联月联考考 数学试题 参考公式：参考公式： 1. 方差公式： 22 1 1 () n i i sxx n ，其中 1 1 n i i xx n 2.锥体体积公式： 1 3 VSh 棱锥 ，其中S为棱锥的底面积，h为高 3.球的体积公式： 3 4 3 VR，R是球的半径 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需写出解题过程，请把答案直 接填写在答题卡相应位置上 1.

2、 已知集合 U=xx0, A=1,0,1,2, 则 AB 等于 2. 若复数 z 满足 iz24i (i 是虚数单位),则复数 z 的模等于 3. 运行右侧流程图,若输入值 x2,则输出的 y 值为 4. 已知一组数据 4,5,6,6,9,则该组数据的方差是 5. 从 2 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服 务, 则选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是 6. 过双曲线x 2 3 y2=1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该 双曲线的两条渐近线于 A,B 两点,则 AB 的长度为 7. 已知等差数列an中, a13,11 a55a8,则其前 n 项和 Sn的最小

3、值为 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求: 1.本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题第 20 题,共 20 题).本卷满分为 160 分,考试时间 为 120 分钟考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米色水的签字笔填写在答题卡的 规定位置. 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘點的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符. 4.作答试题必须用 0.5 毫米色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答 律无效. 5.如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚, 线条、符号等须加黑、加粗. 高三数学 第 2

4、页 共 6 页 8. 已知函数 f(x)sinx (04)的图象向左平移 12 个单位后, 关于点( 5 12 ,0)对称,则实 数 的值为 9. 已知圆锥的底面直径与母线长相等, 一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切, 记圆和球 体的体积分别为 V1,V2,则 V1 V2 的值为 10. 已知 是第二象限角,且 sin4 5 ,则 tan（ 2 4 ）的值为 11. 设 f(x)log1 2 1+bx 1-2x 是定义在区间(a,a)上的奇函数,且为单调函数,则 ba的取值范围是 12. 在ABC 中, AB=4, AC=2, BAC=60,已知点 E, F 分别是边 AB, AC 的中点,

5、 点 D 在边 BC 上. 若DE DF 13 4 , 则线段 BD 的长为 13. 在平面直角坐标系中, A, B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点, 若以 AB 为直径的圆 C 与直 线 2xy100 相切, 当圆 C 面积最小时, 圆 C 的标准方程为 14. 已知函数 f(x) 2 |x|1，xa， |x|，xa， , 若对于任意 t(a1, a), 都有 f(t)f(t+1),则实数 a 的取值范围为 二、解答题：本大题共 6 小题，15-17 题每题 14 分，18-20 题每题 16 分，共计 90 分请在答 题卡指定区域内作答 ，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.

6、 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是直 角梯形,且 ADBC,ABBC,BC=2AD, 已知平面 PAB平面 ABCD,E,F 分别为 BC, PC 的中点. 求证: (1) AB平面 DEF ; (2) BC平面 DEF . (第 15 题) A B C E D F P 高三数学 第 3 页 共 6 页 16. 如图,在ABC 中,AC= 6, D 为 AB 边上一点,CD=AD=2,且 cosBCD = 6 4 . (1) 求 sinB ; (2) 求ABC 的面积. 17. 某公司准备设计一个精美的心形巧克力盒子,它是由半圆 O1、 半圆 O2和正方形 ABCD 组成

7、的,且 AB=8cm.设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签 EFGH,标签的其中两 个顶点 E,F 在 AM 上,另外两个顶点 G,H 在 CN 上(M,N 分别是 AB,CB 的中点)设 EF 的中 点为 P,FO1P=,矩形 EFGH 的面积为 S cm2. (1) 写出 S 关于 的函数关系式 S() ; (2) 当 为何值时,矩形 EFGH 的面积最大? 18. 在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: x2 a2 y2 b2=1 (ab0)的上顶点到焦点的距离为2,离心率 为 3 2 . (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 设 P 是椭圆 C 长轴上的一个动点,过点 P 作斜率为

8、 k 的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两 点,若 PA2+PB2的值与点 P 的位置无关,求 k 的值. C A DB (第 16 题) （第 17 题） M N D A C H B E P O1 G F O2 高三数学 第 4 页 共 6 页 19. 已知函数 f(x)=Inx x 1 2 x 2a+1 2x a. (1) 当 a=0 时,求函数 f(x)在 x=1 处的切线方程; (2) 若函数 f(x)在定义域上单调增,求 a 的取值范围; (3) 若函数 f(x)在定义域上不单调,试判定 f(x)的零点个数,并给出证明过程. 20. 已知数列an的前 n 项和为 Sn , 把满足条

9、件 an1 Sn (nN*)的所有数列an构成的集合 记为 M. (1) 若数列an的通项为 an = 1 2n , 则an是否属于 M? (2) 若数列an是等差数列, 且 an + n M,求 a1的取值范围; (3) 若数列an的各项均为正数, 且anM, 数列 4n an 中是否存在无穷多项依次成等差数 列, 若存在, 给出一个数列an的通项:若不存在, 说明理由. 高三数学 第 5 页 共 6 页 宿迁市宿迁市 20192020 学年度第二学期高三年级学年度第二学期高三年级 5 月联月联考考 数学附加题 A必做题必做题部分部分 21【选做題】本题包括 A、B、C 三小题,请选定其中两

10、小题 ,并在相应的答题区域内作答 ， 若 多做,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚 A.选修 42:矩阵与变换 (本小题满分 10 分) 已知矩阵 A 3 0 0 4 . (1) 求 A 的逆矩阵 A -1. (2) 求圆 x2y2144 经过 A-1变换后所得的曲线的方程. B.选修 44:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分) 已知圆的参数方程为 x12cos， y 32sin ， ( 为参数) , 以平面直角坐标系原点 O 为极点, x 轴 的正半轴为极轴, 取与直角坐标系相同的单位建立极坐标系, 求过圆心且与极轴垂直的直线 的极坐标方程. C.选修 45

11、:不等式选讲 (本小题满分 10 分) 已知函数f(x)|x1|x2|, 若a+2b+c=32 (a,b,cR), 且不等式a2+b2+c2f(x) 恒成立, 求实数 x 的取值范围. 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求: 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 21 题第 23 题).本卷满分为 40 分,考试时间为 30 分钟, 考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的 规定位置 3.请认真核对监考员在答题卡上所枯贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符 4.作答试题必须用 0

12、.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其他位置作答一 律无效 5.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 高三数学 第 6 页 共 6 页 【必做题】第 22 题、第 23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤 22如图,正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中,设 AD1, DD13, 点 P 在 CG 上, 且 C1P=2PC. (1) 求直线 A1P 与平面 PDB 所成角的正弦值; (2) 求二面角 ABDP 的余弦值. 23. 已知抛物线 C: y22x 的焦点为 F, 平行于

13、x 轴的两条直线 4, 2 分别交 C 于 A, B 两点, 交 C 的准线于 P, Q 两点. (1) 若 F 在线段 AB 上, R 是 PQ 的中点, 求证: ARFQ ; (2) 若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程. （第 22 题） 高三数学 第 7 页 共 6 页 宿迁市 20192020 学年度第二学期高三年级 5 月联考 数学参考答案 参考公式：参考公式：1.方差公式： 22 1 1 () n i i sxx n ； 2.球的体积公式： 3 4 3 VR，R是球的半径 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需写出解题过程

14、，请把答案直 接填写在答题卡相应位置上 1 1,2 2 52 3 6 4 5 14 5 6 5 6 4 3 3 7 4 8 2 9 9 4 10 3 1 11 1, 2 12 3 2 13 22 (2)(1)5xy 14 31, 21 二、解答题：本大题共 6 小题，15-17 题每题 14 分，18-20 题每题 16 分，共计 90 分请在答 题卡指定区域内作答 ，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15 证明： （1）因为ADBC,2BCAD，E为BC的中点.， 所以AD BE，所以四边形ADEB是平行四边形， 所以ABDE 3 分 又因为AB 平面DEF,DE 平面DEF 所以A

15、B平面DEF. 6 分 （2）因为平面PAB 平面ABCD 平面PAB平面ABCDAB ABBC ,BC 平面ABCD 所以BC平面PAB. 8 分 因为PB平面PAB. 所以BCPB 10 分 因为,E F分别为,BC PC的中点， 所以EFPB， 所以BCEF 因为ABDE，BCAB 所以BCDE 12 分 因为DE 平面DEF,EF 平面DEF,DEEFE 高三数学 第 8 页 共 6 页 所以BC平面DEF. 14 分 16 解： （1）在ADC中，由余弦定理得 4 1 222 )6(22 2 cos 222222 CDAD ACCDAD ADC 2 分 所以 4 15 4 1 1co

16、s1sin 2 2 ADCADC 4 分 因为 4 6 cosBCD，BCD是三角形BCD的内角， 所以 4 10 4 6 1cos1sin 2 2 BCDBCD 6 分 所以)sin(sinBCDADCB BCDADCBCDADCsincoscossin 4 10 4 1 4 6 4 15 8 10 8 分 （2）在BCD中，由正弦定理得 BDC BC B CD BCD BD sinsinsin 10 分 4 8 10 4 10 2 sin sin B BCDCD BD 62 8 10 4 15 2 sin sin B BDCCD BC 12 分 所以 2 153 8 10 626 2 1

17、sin 2 1 BBCABS ABC 14 分 注：其它方法酌情给分！ 17 解： （1）由题意知(0, 4 ， 2 分 8sinEF ， 8cos4 2EH ， 4 分 则( )8sin (8cos4 2)SEFEH， 即( )32sin (2cos2)S，(0, 4 6 分 高三数学 第 9 页 共 6 页 （2）( )32cos (2cos2)sin ( 2sin ) S 22 32(2cos2sin2cos ) 2 32(4cos2cos2) 8 分 因为(0, 4 ，所以 2 24cos42cos2，1， 所以 2 4cos2cos20， 10 分 故当(0, 4 时，( )0 S

18、恒成立， 所以( )S在(0, 4 上单调递增， 12 分 故当 4 时， max ( )( )32sin(2cos2)64 444 SS 答：当 为 4 时，矩形 EFGH 的面积最大，最大值为64 14 分 18 解： （1）由题设可知 3 2, 2 c ae a ，所以3c ，故1b ，因此2,1.ab 所以椭圆C的方程为 2 2 1. 4 x y 3 分 （2）设 1122 ,022 ,P mmA x yB x y 若1k ，则直线l的方程为.yxm 联立直线l与椭圆C的方程，即 2 2 1 4 yxm x y ， 消去y，化简得 22 5 210 4 xmxm ， 5 分 所以 2

19、1212 41 8 ,. 55 m m xxx x 又 22 22 121212 4 |1|2 5 5 ABxxyykxxm，7 分 点O到直线l的距离 | 2 m d ， 所以 22 2 5 122 |51. 2552 OAB mm SABdmm 当且仅当 2 5 2 m ，即 10 2 m 时， OAB S取得最大值 1. 9 分 设直线l的方程为yk xm. 高三数学 第 10 页 共 6 页 将直线与椭圆的方程联立，即 2 2 1 4 yk xm x y 消去y，化简得 22222 148410,kxmk xk m 11 分 所以 22 2 1212 22 41 8 , 1414 k

20、m mk xxx x kk . 所以 22 222222 112212 3 | 4 PAPBxmyxmyxx- 2 12 222m xxm = 24222 2 2 8621488 14 mkkkk k ， 14 分 因为 22 |PAPB的值与点P的位置无关，即上式取值与m无关， 故有 42 8620kk，解得 1 2 k 16 分 19 解： （1）当0a 时， ln ( ) x f x x ，则 2 1ln ( ) x fx x ， 在1x 处的切点为(1,0)，切线斜率为(1)1 f ， 所以函数( )f x在1x 处的切线方程为1yx. 3 分 （2）因为 ln21 ( )() 22

21、xxa f xa aR xx . 所以( )f x的定义域为(0,)； 2 2 2ln23 ( ) xxa fx x ， 又因为函数( )f x在定义域上为单递增函数， 所以 2 2 2ln23 ( )0 xxa fx x 在0x 时恒成立， 即 2 2ln230xxa在0x 时恒成立， 6 分 设 2 ( )2ln23(0)g xxxax， 则 2 22 ( ) x g x x ， 当01x时，( )0g x，则( )g x在0,1上为减函数， 当1x 时，( )0g x，则( )g x在1,上为增函数， 8 分 2 2ln230xxa在0x 时恒成立 min ( )(1)420g xga，

22、 所以2a . 9 分 （3）因为 2 2 2ln23 ( ) xxa fx x ， 高三数学 第 11 页 共 6 页 所以 2 2 3 ()0 2 a a a e f e e ，则( )0fx不可能对0x 恒成立， 即( )f x在定义域上不可能始终都为减函数， 10 分 由（2）知函数( )f x为增函数2a ， 所以若函数( )f x在定义域上不是单调函数2a 又因为(1)0f，所以1x 是函数( )0f x 一个零点, 令( )0f x ，得 2 2ln2210xxaxa 设 2 ( )2ln221h xxxaxa，则( )f x与( )h x有相同的零点， 令 2 2(1) ( )

23、0 xax h x x ，得 2 10xax ， 因为2a ，所以 2 40a ， 所以 2 10xax 有两个不相等实数解 12 ,x x， 因为 1212 1,2xxxxa ，所以不妨设 12 01xx ， 12 分 当 1 (0,)xx时，( )0h x，( )h x在 1 (0,)x为增函数 当 12 (,)xx x时，( )0h x，( )h x在 1 (0,)x为减函数 当 1 ( ,)xx时，( )0h x，( )h x在 1 (0,)x为增函数 则 12 ()(1)0, ()(1)0h xhh xh 14 分 又因为2a 时，01 a e，24a 22 ()1 20 aaa h

24、 eeae ， 2 ( 2 )2ln( 2 )4610haaaa ， 又因为( )f x在(0,1)图象不间断，所以( )f x在(0,1)有唯一一个零点 又因为( )f x在(1,)图象不间断，所以( )f x在(1,)有唯一一个零点 又因为1x 是函数( )0f x 一个零点, 综上函数( )f x必有三个不同零点. 16 分 20 解:（1）因为 an 1 2n，所以 Sn 1 2 1(1 2) n 11 2 1(1 2) n， 2 分 所以 an1Sn(1 2) n11(1 2) n3 2( 1 2) n13 2 1 21 1 40， 所以 an1Sn，即anM 4 分 （2）设an的

25、公差为 d，因为annM， 所以 an1n1(a11)(a22)(ann) （*） 特别的当 n1 时，a22a11，即 d1， 高三数学 第 12 页 共 6 页 由（*）得 a1ndn1na1n(n1) 2 dn(n1) 2 ， 6 分 整理得d1 2 n2(a13 2d 1 2)na110， 因为上述不等式对一切 nN*恒成立，所以必有d1 2 0，解得 d1， 又 d1，所以 d1， 8 分 于是(a11)na110，即(a11)(n1)0，所以 a110， 即 a11， 10 分 （3）由 an1Sn得 Sn1SnSn，所以 Sn12Sn，即Sn 1 Sn 2， 所以Sn 1 S1

26、S2 S1 S3 S2 Sn1 Sn 2n，从而有 Sn1S1 2na1 2n， 又 an1Sn，所以 an2Sn1a1 2n，即 ana1 2n 2(n3)， 又 a2S1a1 22 2，a 1a1 2 12，所以有 a na1 2 n2(nN*)， 所以4 n an 4 a1 2 n， 12 分 假设数列4 n an中存在无穷多项依次成等差数列， 不妨设该等差数列的第 n 项为 dnb(b 为常数)， 则存在 mN，mn，使得 dnb4 m am 4 a1 2 m4 a1 2 n，即 da 1nba12 n2， 设 f (n) n2 2n 2，nN*，n3， 则 f (n1)f (n)(n

27、1) 2 2n 3 n2 2n 22(n1) 2 2n 30， 即 f (n1)f (n)f (3) 9 321， 14 分 于是当 n3 时，2n 2n2，从而有：当 n3 时 da 1nba1n 2，即 n2da 1nba10， 于是当 n3 时，关于 n 的不等式 n2da1nba10 有无穷多个解，显然不成立， 因此数列4 n an中是不存在无穷多项依次成等差数列 16 分 高三数学 第 13 页 共 6 页 附加题 21 【选做题】本题包括 A、B、C 三三小题，请选定其中两小题 ，并在相应的答题区域内作答 ， 若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

28、A解： （1）由条件 30 04 A，得 -1 1 0 3 1 0 4 A. 4 分 （2）设变换后新曲线上任一点,P x y，变换前对应点,P x y，则 1 0 3 1 0 4 xx yy ，即 1 3 1 4 xx yy 6 分 3 4 xx yy ，代入 22 144xy得： 22 1 169 xy 所以曲线 22 144xy在 1 A的作用下的新曲线的方程为 22 1. 169 xy 10 分 B选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 解：由 12cos 32sin x y （ 为参数）消去参数得圆的普通方程为 22 (1)(3)4xy，圆心 坐标为( 1,3)， 5

29、分 过圆心且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为1x ， 化为极坐标方程为cos1 10分 C选修 4-5：不等式选讲 解：|1|2| |(1)(2)| 3xxxxT 5 分 222 3abc 222222 21213632abcabc 8 分 当且仅当 121 abc 即 22 ,2, 22 abc时2abc取最大值3 2 10 分 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答解答分请在答题卡指定区域内作答解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22.解：如图，以点D为原点O，

30、1 ,DA DC DD分别为, ,x y z轴建立 空间直角坐标系Oxyz，则)11, 0(),3 , 0 , 1 (),0 , 1 , 1 (),0 , 0 , 0( 1 PABD 1 分 （1）所以) 1 , 1 , 0()0 , 1 , 1 (),2, 1 , 1( 1 DPDBPA， 设平面PDB一个法向量为),( 1 zyxn 高三数学 第 14 页 共 6 页 由 0 0 1 1 DBn DPn 得 0 0 yx zy ，取) 1 ,-1, 1 ( 1 n 4 分 设直线PA1与平面PDB所成角为， 所以 3 22 36 211 ,cossin 11 nPA 所以直线PA1与平面P

31、DB所成角的正弦值为 3 22 6 分 （2）由（1）知平面PDB一个法向量为) 1 , 1, 1 ( 1 n 取平面ABD一个法向量) 1 , 0 , 0( 2 n 7 分 3 3 3 1 ,cos 21 21 21 nn nn nn 9 分 由图知二面角ABDP的余弦值为 3 3 10 分 23 解：由题设)0 , 2 1 (F.设bylayl:,: 21 ，则0ab，且 22 111 (, ), (, ), (, ), (, ), (,) 222222 abab Aa Bb Pa Qb R . 记过BA,两点的直线为l，则l的方程为0)(2abybax. （1）由于F在线段AB上，故01

32、 ab. 记AR的斜率为 1 k，FQ的斜率为 2 k，则 2 22 1 1 1 kb a ab aaba ba a ba k . 所以FQAR. 4 分 （2）设l与x轴的交点为)0 ,( 1 xD， （第 22 题图） 高三数学 第 15 页 共 6 页 则 2 , 2 1 2 1 2 1 1 ba SxabFDabS PQFABF . 由题设可得 22 1 2 1 1 ba xab ，所以0 1 x（舍去） ，1 1 x. 6 分 设满足条件的AB的中点为),(yxE. 当AB与x轴不垂直时，由 DEAB kk可得) 1( 1 2 x x y ba ，而y ba 2 ， 所以) 1( 1 2 xxy. 9 分 当AB与x轴垂直时，E与D重合. 所以，所求轨迹方程为1 2 xy. 10 分