内蒙古赤峰市2020届高三模拟考试数学试题（理科）含答案

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1、理科数学试卷第 1 页 共 8 页 绝密绝密启用前启用前 赤峰市高三 520 模拟考试试题 理科数学2020.5 本试卷共本试卷共 23 题，共题，共 150 分，共分，共 8 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码粘贴在条形码区域内. . 2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色字迹的签字笔书写， 字体工整，笔迹清楚. . 3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试卷上答题无效. . 4作

2、图可先使用铅笔画出，确定后必须黑色字迹的签字笔描黑. . 5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. . 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1已知集合|0Ax x，11BxZx ，则 R C AB（）= A1, B1,0C0,1D1,1 2已知复数() 1 ai zaR i ，则复数z在复平面内对应的点不可能在 A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，景区内有 一处景点建筑，是按古典著作连山易中记载的 金、木、水、火、土之间相生相克的关系

3、，如图所 示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出 的两种物质恰好是相生关系的概率为 A 1 2 B 2 3 C 2 5 D 1 5 理科数学试卷第 2 页 共 8 页 4若( )f x是定义在R上的奇函数，且满足(1)1f，(4)( )f xf x，则 ( 1)(8)ff A2B0C1D1 5被称为计算机第一定律的摩尔( Moore)定律表明，集成电路芯片上所集成的电路的数 目，每隔 18 个月就翻一番并且性能也将提升一倍。这说明电子产品更新换代之迅速。 由于计算机与掌上智能设备的升级，以及电动汽车及物联网行业的兴起等新机遇，使 得电子连接器行业增长呈现加速状态.对于汽车领域的连接器市场

4、规模，中国产业信 息发布了 20102018 年之间统计折线图，根据图中信息，得到了下列结论： 20102018 年市场规模量逐年增加； 增长额度最大的一年为 20152016 年； 2018 年比 2010 年增长了约 67%； 与 20102013 年每年的市场规模相比，20152018 年每年的市场规模数据方差更 小，变化更加平稳，其中正确命题的序号为 A.B.C. D. 6已知Rba,则“ba 2 1 2 1 loglog”的一个必要不充分条件是 A ba 3 1 4 1 B ba 11 C0)ln(baD13 ba 理科数学试卷第 3 页 共 8 页 7已知圆 22 :12M xy与

5、抛物线 2 :4N yx交于,A B两点（A在B的上方），与 抛物线N的准线交于,C D两点（C在D的上方），则四边形ABDC的面积为 A4 6+3 11B6 2+3 11C4 2+2 11D14 6+7 11 8设双曲线1: 2 2 2 2 b y a x C（0, 0ba），,M N是双曲线C上关于坐标原点对称 的两点，P为双曲线C上的一动点，若=4 PMPN kk，则双曲线C的离心率为 A2B3C5D5 9杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在 他著的详解九章算法一书中，画了一张表 示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（右 图所示），称做“开方做法本源”，现在简称 为“杨辉三角”，它是

6、杨辉的一大重要研究成 果。它比西方的“帕斯卡三角形”早了 393 年。 若用 ji a 表示三角形数阵的第i行第j个数， 则 100 3 a A5050B4851C4950D5000 10设等差数列 n a的前n项和为 n S，且满足 17 2,35aS,将 371115 aaaa， ，中去 掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列 n b的前三项，则数列 nn a b的 前 10 项的和 10 T A 12 10 2B 12 9 2C 12 11 2D 12 12 2 11设函数xexf x )(，直线baxy是曲线)(xfy 的切线，则ba 的最大值是 A. e 1 1B.1C.1eD

7、.2 2 e 理科数学试卷第 4 页 共 8 页 12如图, 一张纸的长、宽分别为2 3 , 6aa，四条边的中点分别是, ,A B C D，现将 其沿图中虚线折起,使得 1234 M ,M ,M ,M四点重合为一点M,从而得到一个多面体, 关于该多面体有下述四个结论： 该多面体是六面体； 点M到棱AC的距离为 6 2 a； BD 平面AMC； 该多面体外接球的直径为 30 2 a，其中所有正确结论的序号是 ABCD 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13已知, ,A B C是圆O上的三点，且满足2AOABAC ，=1AOAB ， 则AB OA . 14设数列 n

8、 a中 1=2 a，若等比数列 n b满足 1=nnn aa b ，且 1010=1 b，则 2020= a. 15若正方体 1 AC的棱长为 1，点P是面 11 AAD D的中心，点Q是面 1111 ABC D的对角线 11 B D上一点 ，且PQ面 11 AAB B，则异面直线PQ与 1 CC所成角的正弦值 为. 16. 对于函数 sinsin ( )22 xx f x ，有如下结论： ( )f x在R上是奇函数；为( )f x的一个周期； 2 为( )f x的一个极大值点；( )f x在区间 2 2 上单调递增 其中所有正确结论的序号是. 理科数学试卷第 5 页 共 8 页 三、解答题：

9、共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17172121 题为必题为必 考题，每个试题考生都必须作答，第考题，每个试题考生都必须作答，第 22222323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分 17（12 分） 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是cba,，且 2 sinsin()2 3 sinsin 2 B aCACcA （1）求角B； （2）若 3 3 ABC S，3 sinsin ac AC ，求ABC的周长. 18（12 分）

10、 在四棱锥PABCD中，底面ABCD为等腰梯形，/ /BCAD， 222CDBCAD,O是AD的中点,PO 平面ABCD, 过AB的平面交棱PC于点E（异于点C P， 两点）,交PO于F. （1）求证：EF平面ABCD； （2）若F是PO中点，且平面EFD与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为 3 3 ，求PC与底面 ABCD所成角的正切值. 理科数学试卷第 6 页 共 8 页 19.（12 分） 在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，提 倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求某学生小组通过问卷调查，随机收集 了和该区居民的日常生活习惯有关的六类数据分别是：（1

11、）卫生习惯；（2）垃 圾处理；（3）体育锻炼；（4）心理健康；（5）膳食合理；（6）作息规律经过 数据整理，得到下表： 卫生习惯垃圾处理体育锻炼心理健康膳食合理作息规律 有效答卷份数380550330410400430 习惯良好频率0.60.90.80.70.650.6 假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，且各类调查的结果相互独立 （1）从该小组收集的有效答卷中随机选取 1 份，求这份试卷的调查结果是“垃圾处 理”中习惯良好者的概率； （2）从“体育锻炼”和“心理健康”两类中各随机选取一份，估计恰有一份是具有 良好习惯的概率； （3）利用上述六类习惯调查的排序，即“卫生习惯”是第一类，“垃

12、圾处理”是第 二类“作息规律”是第六类.用“=1 k ”表示任选一位第k类受访者是习惯 良好者， “=0 k ” 表示任选一位第k类受访者不是习惯良好者 （=1,2,3,4,5,6k） 求出方差 k D,(1,2,3,4,5,6)k ，并由小到大排序 理科数学试卷第 7 页 共 8 页 20.（12 分） 已知椭圆)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C的长轴长为 4，过焦点且垂直于x轴的直线 被椭圆C截得的线段长为 1. （1）求椭圆C的方程； （2）若点)2 , 0(A,点)0)(,( 1111 yxyxQ在椭圆C上，xQM 轴，垂足为M，直 线AMAN 交x轴于点N,线段E

13、N的中点为坐标原点，试判断直线QE与 椭圆C的位置关系. 21（12 分） 已知函数( )sin2(2.71828, ,) x f xeaxxb ea bR. （1）当1a 时，存在 0 ,0x ，使得 0 ()0f x成立，求实数b的取值范围； （2） 证明： 当11a时， 对任意(0,)x， 都有( )+1(ln2) x f xbexx. 理科数学试卷第 8 页 共 8 页 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做 的第一题计分. 做答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 22.（10 分）选修选修 4 44 4：坐标系与参

14、数方程：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 cos , sin x y （为参数）.以坐标 原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线l的直角坐标方程为 4 20xy. （1）求曲线C的普通方程和直线l的极坐标方程； （2）射线 2 0 ,0 33 和曲线C分别交于点,A B，与直线l分别交 于,D C两点，求四边形ABCD的面积. 23.（10 分）选修选修 4 45 5：不等式选讲：不等式选讲 已知函数( ) |25|(0)f xxaxa. （1）当2a 时，解不等式 ( )5f x ； （2）当 ,2 xaa时，不等式( ) |4|f xx恒成立，求实

15、数a的取值范围. 理科数学答案第 1 页 共 7 页 赤峰市高三赤峰市高三 5 52020 模拟考试试题模拟考试试题 理科数学参考答案理科数学参考答案2020.52020.5 说明：说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据 试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分 题号题号 1 12 23 34 45 56 67 78 89 91

16、 10 01 11 11 12 2 答案答案 C CD DA AC CB BA AB BC CB BA AC CD D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13 1 2 ；14.2；15. 2 2 ；16. 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. (12 分) 解：（1） 由已知及正弦定理得 2 2 sinsinsin()2 3 2 sinsinsin 2 B RACACRCA 即 1 cos sin2 3 2 B

17、 B 2 分 sin3cos3BB4 分 3 sin 32 B 0B， 3 B 6 分 （2）由（1）得 3 sin 2 B ，根据已知及正弦定理得 理科数学答案第 2 页 共 7 页 31 =sin 32 ABC SacB ， 4 3 ac8 分 又由已知及正弦定理得3 sinsinsin acb ACB ，解得 3 2 b 由已知及余弦定理得 222 2cosbacacB10 分 222 5 ()2, 2 acacacac 4abc 12 分 18. (12 分) 解：（1）连结OC，,/ /BCAO BCAD 则四边形ABCO为平行四边形1 分 / / / / ABOC ABPOCABP

18、OC OCPOC 平面平面 平面 / / / / ABPOC ABABEFABEF ABEFPOCEF 平面 平面 平面平面 3 分 / / / / ABEF EFABCDEFABCD ABABCD 平面平面 平面 5 分 (2)以O为坐标原点， 以OA为x轴， 过O在平面ABCD内作OA的垂线作的垂线为y， OP为z轴建立如图所示空间直角坐标系6 分 设2 (0)OPa a，则 1313 (0,0, ),( 1,0,0),(0,0,2 ),0 , 2244 Fa DPa CEa ， 1313 ,0 ,1,0, 2 4422 EFFDaPCa 8 分 理科数学答案第 3 页 共 7 页 设平面

19、EFD的法向量为 1 ( , , )nx y z ，则 1 1 13 0 0 44 0 0 n EF xy n FD xaz 9 分 不妨设1z ，则 1 3 ,1 3 naa 由题意知，平面ABCD的法向量 (0,0,1)n 10 分 1 1 2 21 13 cos, 3 1 3 n n n n nna a ，解得 6 2 a 11 分 PO 平面ABCD，PCO为PC与平面ABCD所成角， tan6 PO PCO OC ，PC与底面ABCD所成的角正切值为 612 分 19. (12 分) 解：（1） 5500.949599 ( ). 3805503304104004302500500 P

20、 A 3 分 （2） ( )0.80.30.20.70.38.P B 6 分 （3） 12 =0.60.4=0.24=0.90.1=0.09DD，8 分 3=0.8 0.2=0.16D， 4=0.7 0.3=0.21D10 分 1 10 2 10 P0.60.4P0.90.1 3 10 4 10 P0.80.2P0.70.3 理科数学答案第 4 页 共 7 页 56 =0.650.35=0.2275=0.60.4=0.24.DD， 则 234516. DDDDDD12 分 20.(12 分) 解：（1）由于 222 cba1 分 将)(cxcx或代入1 2 2 2 2 b y a x 中得:

21、a b y 2 即：1 2 2 a b 3 分 又由42 a，得：1, 4 22 ba，故所求方程：1 4 2 2 y x 5 分 （2）由题意，M点坐标为)0 ,( 1 x，此时)2,( 1 xAM， 设)0 ,(nN，则)2,( nAN，由于ANAM ,得：04 1 nx7 分 由0 11 yx，故 1 4 x n，而E是点N关于y轴的对称点，所以)0 , 4 ( 1 x E. 于是直线QE的方程) 4 ( 4 1 1 1 1 x x x x y y ，由),0)(,( 1111 yxyxQ在椭圆C上，所 以44 2 1 2 1 yx，于是整理得直线QE的方程为：) 4 ( 4 11 1

22、x x y x y10 分 联立) 4 ( 4 11 1 x x y x y与44 22 yx消去y得:4) 4 ( 4 22 1 2 1 2 1 x x x y x 由于44 2 1 2 1 yx，于是整理得：02 2 11 2 xxxx， 故只有一个解 1 xx 即：直线QE与椭圆C只有一个公共点， 位置关系为相切.12 分 5 10 6 10 P0.650.35P0.60.4 理科数学答案第 5 页 共 7 页 21.（12 分） 解：（1）当1a 时，( )sin2 x f xexxb， 存在 0 ,0x ，使得 0 ()0f x成立，即 max sin2,(sin2) xx bxxe

23、bxxe 令( )sin2,0 x g xxxex，则( )cos2 x g xxe2 分 00,1 ,cos21,3 x xex ， cos20,3 x xe，( )0( )g xg x，在,0上增函数， max ( )(0)1,1g xgb ，即实数b的取值范围为(, 1) 5 分 （2）要证( )+1(ln2) x f xbexx，只要证ln1sinxxax 即可 构造函数( )ln1(0)h xxxx x ，则( )lnh xx6 分 令( )0h x，则1x 令( )0h x，则01x， min ( )(1)0h xh，ln1xxx 8 分 所以要证：当11a时，对任意(0,)x，l

24、n1sinxxax 成立， 只要证：当11a时，对任意(0,)x，sinxax成立即可 9 分 构造函数( )sin (0)q xxax x，则( )1cosq xax 10 分 1,1 ,cos1,1 ,cos1,1( )0axaxq x ， ( )q x在区间(0,)上增函数，( )(0)0q xq，sinxax 综上所述，当11a时，对任意(0,)x，ln1sinxxax 成立， 即当11a时，对任意(0,)x，都有( )+1(ln2) x f xbexx成立 12 分 理科数学答案第 6 页 共 7 页 22.（10 分）选修选修 4 44 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 解：

25、（1）由 cos sin x y ，消去参数，得 22 1xy， 所以曲线C的普通方程为 22 1.xy2 分 由4 20xy，得 22 cossin4 22 ， 即cos4 4 ， 所以直线l的极坐标方程为cos4 4 5 分 （2）由已知1 AB ， 44 , 5 coscos 1212 CD 7 分 11 =sinsin 2323 OCDOABCDABABCD SSS 四边形 116313163363 3 5 2222244 coscossin 12126 10 分 23.（10 分）选修选修 4 45 5：不等式选讲：不等式选讲 解：（1）当2a 时， 2255f xxx， 1当2x 时， 2 2255 3 xxx 2x 2 分 2当 5 2 2 x 时，22552xxx22x 3当 5 2 x 时， 8 2+255 3 xxx 8 3 x 所以综合，不等式 5f x 的解集为 8 2 3 x xx 或 5 分 理科数学答案第 7 页 共 7 页 （2）0a 4f xx转化为254xaxx， 254xa 19 4254 22 40 4 aa axax a a 7 分 当 ,2 xaa时，不等式( ) |4|f xx恒成立，必有 1 2 9 19 2 5 2 4 a a aa a a 所以实数a的取值范围为 9 1 5 ，.10 分