2020年5月江苏省新海高中、昆山中学、梁丰高中高考数学模拟试卷（含答案解析）

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1、2020 年年 5 月月高考数学模拟试卷高考数学模拟试卷 一填空题（共 12 小题） 1已知集合 A1，0，2，B1，1，2，则 AB 2已知复数 z 满足（1+i）z2i，其中 i 是虚数单位，则 z 的模为 3为了解学生课外阅读的情况，随机统计了 n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在50， 150中，其频率分布直方图如图所示，已知在50，100）中的频数为 160，则 n 的值 为 4如图是一个算法的流程图，若输入 n 的值是 10，则输出 S 的值是 5已知 m1，0，1，n2，2，若随机选取 m，n，则直线 mx+ny+10 的斜率为正 值的概率是 6已知直四棱柱底面是边长为 2 的

2、菱形，侧面对角线的长为 ，则该直四棱柱的侧面积 为 7设 Sn是等差数列an的前 n 项和，S73（a1+a9），则 的值为 8将函数 ysin（2x ）的图象向左平移 （0）个单位后，恰好得到函数的 ysin2x 的图象，则 的最小值为 9在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 为双曲线 x2y24 的左顶点，点 B 和点 C 在双曲 线的右支上，ABC 为等边三角形，则ABC 的面积为 10 在平行四边形 ABCD 中， A ， 边 AB、 AD 的长分别为 2、 1， 若 M、 N 分别是边 BC、 CD 上的点，且满足 ，则 的取值范围是 11 在ABC中， AB+BC4， ABco

3、sA+BCcosC1， 则当角B最大时， ABC的面积为 12在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O：x2+y21，圆 M：（x+a+3）2+（y2a）21（a 为 实数） 若圆O和圆M上分别存在点P， Q， 使得OQP30， 则a的取值范围为 13已知 x0，y0，z0，且 x y+z6，则 x3+y2+3z 的最小值为 14已知函数 f（x）|xa| a2 有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数 a 的取值集合为 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步驟 15如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC90，AB

4、AA1，M，N 分别是 AC，B1C1 的中点求证： （1）MN平面 ABB1A1； （2）ANA1B 16已知在ABC 中，AB6，BC5，且ABC 的面积为 9 （1）求 AC； （2）当ABC 为锐角三角形时，求 的值 17如图，河的两岸，分别有生活小区 ABC 和 DEF，其中 ABBC，EFDF，DFAB， C， E， F 三点共线， FD 与 BA 的延长线交于点 O， 测得 AB3km， BC4km， DF km， FE3km，EC km若以 OA，OD 所在直线为 x，y 轴建立平面直角坐标系 xoy，则河 岸 DE 可看成是曲线 y （其中 a，b 为常数）的一部分，河岸 A

5、C 可看成是直线 y kx+m（其中 k，m 为常数）的一部分 （1）求 a，b，k，m 的值； （2）现准备建一座桥 MN，其中 M，N 分别在 DE，AC 上，且 MNAC，设点 M 的横坐 标为 t 请写出桥 MN 的长 l 关于 t 的函数关系式 lf（t），并注明定义域； 当 t 为何值时，l 取得最小值？最小值是多少？ 18（16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 B2，B1，分别是椭圆 1（ab 0）的上、下顶点，线段 B1B2长为 2，椭圆的离心率为 （1）求该椭圆的方程； （2）已知过点 E （0， ）的直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，直线 MB 2与直线 NB

6、1交于 点 T 若直线 l 的斜率为 ，求点 T 的坐标； 求证点 T 在一条定直线上，并写出该直线方程 19 （16 分） 已知数列an的前 n 项和为 Sn， 设数列bn满足 bn2 （Sn+1Sn） Snn （Sn+1+Sn） （nN*） （1）若数列an为等差数列，且 bn0，求数列an的通项公式； （2）若 a11，a23，且数列a2n1的，a2n都是以 2 为公比的等比数列，求满足不等 式 b2nb2n1的所有正整数的 n 集合 20（16 分）已知函数 f（x）（x+l）lnx+ax（aR） （1）若 yf（x）在（1，f （1）处的切线方程为 x+y+b0，求实数 a，b 的值

7、； （2）证明：当 a2 时，yf（x）在（0，+）上有两个极值点； （3）设 g（x）|f（x）| ，若 g（x）在1，e上是单调减函数（e 为自然对数的底数）， 求实数 a 的取值 参考答案 一填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位置 上 1已知集合 A1，0，2，B1，1，2，则 AB 1，0，1，2 【分析】利用集合的并集的运算即可算出结果 解：集合 A1，0，2，B1，1，2， AB1，0，1，2， 故答案为：1，0，1，2 2已知复数 z 满足（1+i）z2i，其中 i 是虚数单位，则 z 的模为 【分析】把已知等式变形，然后利用复

8、数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式 计算得答案 解：由（1+i）z2i， 得 则复数 z 的模为： 故答案为： 3为了解学生课外阅读的情况，随机统计了 n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在50， 150中，其频率分布直方图如图所示，已知在50，100）中的频数为 160，则 n 的值为 400 【分析】由频率分布直方图求出50，100）中的频率，再由在50，100）中的频数，能求 出 n 解：由频率分布直方图得： 50，100）中的频率为：（0.004+0.012）250.4， 在50，100）中的频数为 160， n 400 故答案为：400 4如图是一个算法的流程图，若输入 n

9、的值是 10，则输出 S 的值是 54 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序 的作用是输出满足条件 n2 时，S10+9+8+2 的值 解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序， 可知：该程序的作用是输出满足条件 n2 时，S10+9+8+2 的值 S10+9+8+254 的值， 故输出 54 故答案为：54 5已知 m1，0，1，n2，2，若随机选取 m，n，则直线 mx+ny+10 的斜率为正 值的概率是 【分析】 基本事件总数 N326， 由直线 mx+ny+10 的斜率为正值， 得 k ， 利 用列举法求出直线 mx+ny+1

10、0 的斜率为正值包含的基本事件有 2 个，由此能求出直线 mx+ny+10 的斜率为正值的概率 解：m1，0，1，n2，2，随机选取 m，n， 基本事件总数 N326， 直线 mx+ny+10 的斜率为正值， k ， 直线 mx+ny+10 的斜率为正值包含的基本事件有： 1，2，1，2，共 2 个， 直线 mx+ny+10 的斜率为正值的概率是 P 故答案为： 6已知直四棱柱底面是边长为 2 的菱形，侧面对角线的长为 ，则该直四棱柱的侧面积 为 16 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出侧棱长，再计算四棱柱的侧面积 解：如图所示， 直四棱柱底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， 侧面对角线

11、的长为 ， 侧棱长为 CC1 2 ； 该直四棱柱的侧面积为 S422 16 故答案为：16 7设 Sn是等差数列an的前 n 项和，S73（a1+a9），则 的值为 【分析】由等差数列的通项公式、前 n 项和公式得到 a13d，由此能求出 的值 解：Sn是等差数列an的前 n 项和，S73（a1+a9）， ， 解得 a13d， 故答案为： 8将函数 ysin（2x ）的图象向左平移 （0）个单位后，恰好得到函数的 ysin2x 的图象，则 的最小值为 【分析】利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，求得 的最小值 解：将函数 ysin（2x ）的图象向左平移 （0）个单位后， 恰好得到函数

12、的 ysin（2x+2 ）sin2x 的图象， 2 2k，kZ，则 的最小值满足 2 2， ， 故答案为： 9在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 为双曲线 x2y24 的左顶点，点 B 和点 C 在双曲 线的右支上，ABC 为等边三角形，则ABC 的面积为 12 【分析】先求出双曲线 x2y24 的左顶点为 A（4，0），根据双曲线的对称性，设出 B（x1，y1），C（x1，y1）的坐标，根据，ABC 是等边三角形得（x1+2）2+y12（ y1y1）2，求出 x1和 y1的值，由此得 BC4 ，从而可以算出面积 解：双曲线 x2y24 的左顶点为 A（2，0），根据双曲线的对称性， 可

13、设 B（x1，y1），C（x1，y1） 由ABC 是等边三角形ABBC，得： （x1 +2）2+y12（y1 y1）2， 又 x12y124， x122x180，x12 或 x14 右支的范围是 x0， 所以 x14，从而 y12 ， 由此 BC4 可以算出面积：S 12 故答案为：12 10 在平行四边形 ABCD 中， A ， 边 AB、 AD 的长分别为 2、 1， 若 M、 N 分别是边 BC、 CD 上的点，且满足 ，则 的取值范围是 2，5 【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出 M，N 的坐标，然后通过二 次函数求出数量积的范围 解：建立如图所示的直角坐标系，则 B

14、（2，0），A（0，0）， D（ ， ），设 ，0，1， M（2 ， ），N（ ， ）， 所以 （2 ， ） （ ， ） 22+5，因为 0，1，二次函数的对称轴为：1， 所以 0，1时，22+52，5 故答案为：2，5 11 在ABC 中， AB+BC4， ABcosA+BCcosC1， 则当角 B 最大时， ABC 的面积为 【分析】 先利用余弦定理， 将 ABcosA+BCcosC1 化边， 求出 b 的值， 然后根据 a+c4， 再利用余弦定理，求出 B 最大时的值，最后代入面积公式求解 解：设 ABc，BCa，ACb 则已知条件为：a+c4，ccosA+acosC1 由余弦定理得 ，

15、化简得 b1结合 a+c4 所以 ， 因为 ，当且仅当 ac 时取等号 根据余弦函数在（0，）上递减，可知 ，即 sinB 时，B 最大 将 代入式得：ac4 故答案为： 12在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O：x2+y21，圆 M：（x+a+3）2+（y2a）21（a 为 实数） 若圆O和圆M上分别存在点P， Q， 使得OQP30， 则a的取值范围为 a 0 【分析】 从圆 M上的点向圆上的点连线成角， 当且仅当两条线均为切线时才是最大的角， OP1，利用圆 O 和圆 M 上分别存在点 P，Q，使得OQP30，可得|OM|2，进而 得出答案 解：由题意，圆 M：（x+a+3）2+（y2a）

16、21（a 为实数），圆心为 M（a3，2a） 圆 M 上任意一点 Q 向圆 O 作切线，切点为 P，PQO30， 所以 x2+y24 与圆 M 有交点 1 3， 解得 a0， 故答案为： a0， 13已知 x0，y0，z0，且 x y+z6，则 x3+y2+3z 的最小值为 【分析】利用换元法以及函数的导数判断函数的单调性，求解函数的最小值，然后利用 二次函数的性质求解即可 解： 设 Tx3+y2+3z， 因为 x y+z6， 所以 z6x y， Tx3+y2+183x3 y， 可得 Ty2+3 yx3+183x，设 f（x）x3+183x，f（x）3x23， 令 f（x）0，可得 x1，f（

17、x）6x，f（1）0，f（1）16， 0x1 时，f（x）是单调减函数，f（x）16， 当 x1 时，f（x）单调增函数，f（x）16， 即 Ty2+3 y16，Ty23 y+16，当 y 时，函数取得最小值 此时 3z0 故答案为： 14已知函数 f（x）|xa| a2 有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数 a 的取值集合为 a|a 或 【分析】令 g（x）0，化简函数 g（x） ， ， ，从而不妨设 f（x）0 的 3 个根为 x1，x2，x3，且 x1x2x3，讨论当 xa 时，求得两根，xa 时，a1， 1a3，a3，运用等差数列的中项的性质，进而确定 a 的值 解：设 f（x）

18、0，可得|xa| a2， 设 g（x）|xa| a，h（x）2， 函数 g（x） ， ， ， 不妨设 f（x）0 的 3 个根为 x1，x2，x3，且 x1x2x3， 当 xa 时，f（x）0，解得 x1，x3； a1，x21，x33，由等差数列的性质可得 x15， 由 f（5）0，解得 a ，满足 f（x）0 在（，a上有一解 1a3，f（x）0 在（，a上有两个不同的解，不妨设 x1，x2，其中 x33， 所以有 x1，x2是 2ax 2 的两个解， 即 x1，x2是 x2（2a2）x+30 的两个解 得到 x1+x22a2，x1x23， 又由设 f（x）0 的 3 个根为 x1，x2，x

19、3成差数列，且 x1x2x3，得到 2x2x1+3， 解得：a 或 （舍去）； a3，f（x）0 最多只有两个解，不满足题意； 综上所述，a 或 故答案为：a|a 或 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步驟 15如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC90，ABAA1，M，N 分别是 AC，B1C1 的中点求证： （1）MN平面 ABB1A1； （2）ANA1B 【分析】（1）取 AB 的中点 P，连结 PM、PB1推导出四边形 PMNB1是平行四边形，从 而 MNPB1，由此能证明 MN平面 ABB1A1 （2

20、）推导出 BB1面 A1B1C1，从而面 ABB1A1面 A1B1C1推导出 B1C1B1A1，从而 B1C1 面 ABB1A1，进而 B1C1A1B，即 NB1A1B，连结 AB1，推导出 AB1A1B，从而 A1B 面 AB1N，由此能证明 A1BAN 【解答】证明：（1）取 AB 的中点 P，连结 PM、PB1， 因为 M、P 分别是 AB，AC 的中点，所以 PMBC 且 PM BC， 在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BCB1C1，BCB1C1， 又因为 N 是 B1C1的中点， 所以 PMB1N，且 PMB1N 所以四边形 PMNB1是平行四边形， 所以 MNPB1， 而 MN平面

21、 ABB1A1，PB1平面 ABB1A1， 所以 MN平面 ABB1A1 （2）因为三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱，所以 BB1面 A1B1C1， 又因为 BB1面 ABB1A1，所以面 ABB1A1面 A1B1C1， 又因为ABC90，所以 B1C1B1A1， 面 ABB1A1面 A1B1C1B1A1，B1C1平面 A1B1C1， 所以 B1C1面 ABB1A1， 又因为 A1B面 ABB1A1，所以 B1C1A1B，即 NB1A1B， 连结 AB1，因为在平行四边形 ABB1A1中，ABAA1， 所以 AB1A1B， 又因为 NB1AB1B1，且 AB1，NB1面 AB1N， 所以

22、A1B面 AB1N， 而 AN面 AB1N，所以 A1BAN 16已知在ABC 中，AB6，BC5，且ABC 的面积为 9 （1）求 AC； （2）当ABC 为锐角三角形时，求 的值 【分析】（1）有 SABC ，又 AB6，BC5，可得 sinB，又 B （0，），可得 cosB ，再利用余弦定理即可得出 （2）由ABC 为锐角三角形得 B 为锐角，可得 AB6，AC ，BC5， 可得 ，又 A（0，），可得 sinA ，可得 sin2A， cos2A，再利用和差公式即可得出 解： （1）因为 SABC ，又 AB6，BC5，所以 ， 又 B（0，），所以 ， 当cosB 时 ， 当 cos

23、B 时， 所以 或 注：少一解的扣 （2）由ABC 为锐角三角形得 B 为锐角，所以 AB6，AC ，BC5， 所以 ， 又 A（0，），所以 ， 所以 ， ， 所以 17如图，河的两岸，分别有生活小区 ABC 和 DEF，其中 ABBC，EFDF，DFAB， C， E， F 三点共线， FD 与 BA 的延长线交于点 O， 测得 AB3km， BC4km， DF km， FE3km，EC km若以 OA，OD 所在直线为 x，y 轴建立平面直角坐标系 xoy，则河 岸 DE 可看成是曲线 y （其中 a，b 为常数）的一部分，河岸 AC 可看成是直线 y kx+m（其中 k，m 为常数）的一

24、部分 （1）求 a，b，k，m 的值； （2）现准备建一座桥 MN，其中 M，N 分别在 DE，AC 上，且 MNAC，设点 M 的横坐 标为 t 请写出桥 MN 的长 l 关于 t 的函数关系式 lf（t），并注明定义域； 当 t 为何值时，l 取得最小值？最小值是多少？ 【分析】（1）先求出 D、E、A、C 点的坐标，代入函数的解析式，从而求出 a，b，k， m 的值即可； （2）先表示出 M 点的坐标，问题转化为求 M 到直线 AC 的距离即可；由基本不等 式的性质求出最小值即可 解：（1）由题意得：ODBC4，OBFC， D（0， ），E（3，4），A（ ，0），C（ ，4）， 把 D

25、（0， ），E（3，4）代入 y 得： ，解得：a4，b7， 把 A（ ，0），C（ ，4）代入 ykx+m 得： ，解得：k ，m2； （2）由（1）得：M 点在 y 上， M（t， ），t0，3， 桥 MN 的长 l 为 MN 到直线 y x2 的距离， 故 lf（x） |4t 9|，t0，3； 由得：f（t） |4t 9| |4（t4） 7|， 而 t40， 0， 4（t4） 2 12， 当且仅当 4（t4） 时即 t “”成立， f（t）min |12+7|1 18（16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 B2，B1，分别是椭圆 1（ab 0）的上、下顶点，线段 B1B2长为

26、 2，椭圆的离心率为 （1）求该椭圆的方程； （2）已知过点 E （0， ）的直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，直线 MB 2与直线 NB1交于 点 T 若直线 l 的斜率为 ，求点 T 的坐标； 求证点 T 在一条定直线上，并写出该直线方程 【分析】（1）由短轴长及离心率和 a，b，c 之间的关系求出 a，b 的值，进而求出椭圆 的方程； （2）由（1）可得 B1，B2的坐标，设直线 MN 的方程，与椭圆联立求出 M，N 的坐标， 求出直线 MB2，NB1，再求两条直线的交点 T 的坐标； 设直线 MN 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出直线 MB2，NB1，再 求两条直线的交

27、点 T 的坐标（x，y）与 M，N 的坐标的关系，由两根之和及两根之积代 入可得， ，解得 y2即 T 在直线 y2 上 解：（1）由题意可得：2b2，e ，a2b2+c2， 解得：a24，b21， 所以椭圆的方程为： y 21； （2）由（1）可得 B2（0，1），B1（0，1），设 M（x1，y1），N（x2，y2）， 由题意可得直线 l 的方程为：y （x+1）， 联立直线与椭圆的方程 ，整理可得：2x2+2x30，解得 x1 ， x2 ，x1x2 ， 直线 MB2：y x1， 直线 NB1：y x1， 所以 解得 x 2 4，y2， 所以 T 的坐标为（2 4，2）， 设 M（x1，y

28、1），N（x2，y2）， 由 整理可得（1+4k2）x2+4kx30，x1+x2 ，x 1x2 ， 直线 B2M：y x+1，B1N：y x1， 所以 可得 ， 而 y2 21，（1+y 2）（1y2） ， ， 所以 4 4 ， 所以 ，解得 y2 所以 T 在定直线 y2 19 （16 分） 已知数列an的前 n 项和为 Sn， 设数列bn满足 bn2 （Sn+1Sn） Snn （Sn+1+Sn） （n一、选择题*） （1）若数列an为等差数列，且 bn0，求数列an的通项公式； （2）若 a11，a23，且数列a2n1的，a2n都是以 2 为公比的等比数列，求满足不等 式 b2nb2n1的

29、所有正整数的 n 集合 【分析】 （1） 由 bn2 （Sn+1Sn） Snn （Sn+1+Sn） （nN*） ， 得 bn2an+1Snn （2Sn+an+1） ， 由 bn0，得 a1da10 对一切 nN*都成立， 由此能求出 an0 或 ann （2）由题意得 ， ， 42n4，从而 推导出 b2nb2n1 ，设 f（n）2 n +8，记 g （n） ，则 g（n+1）g（n） ，由此能求出满足条件的 正整数 n 的集合 解：（1）设等差数列an的公差为 d，则 an+1a1 +nd， ， 由 bn2（Sn+1Sn）Snn（Sn+1+Sn）（nN*）， 得 bn2an+1Snn（2Sn

30、+an+1）， bn 0， 对一切 nN*都成立， 即 a1da10 对一切 nN*都成立， 令 n1，n2，解得 a1d0 或 a1d1， 经检验，符合题意， an0 或 ann （2）由题意得 1， ， 42n4， S2n+1S2n+a2n+142n4+2n52n4， b2n2a2n+1S2n2n（2S2n+a2n+1） 22n（42n4）2n（82n8+2n） 2 n+1 （2 n+29n4）+16n， b2n12a2nS2n1（2n1）（2S2n1+a2n） 62n1（52n14）（2n1）（102n18+32n1） 2n1（302n126n11）+16n8， b2nb2n12n+1（

31、2n+29n4）+16n2n1（302n126n11）+16n8 ， 设 f（n） ，即 f（n）2 n +8， 记 g（n） ， 则 g（n+1）g（n） ， 当 n1，2，3 时，g（n+1）g（n）0， 当 nN*时，n4，g（n+1）g（n）0， n1 时，g（1） 0，g（4）0，且 g（6） 0，g（7） 0， f（n） 在 n7（nN *）时，是单调递增函数， f（1）50，f（2）340，f（3）1000，f（4）2240， f（5）3600，f（6）240，f（7）34000， 满足条件的正整数 n 的集合为1，2，3，4，5，6 20（16 分）已知函数 f（x）（x+l）

32、lnx+ax（aR） （1）若 yf（x）在（1，f （1）处的切线方程为 x+y+b0，求实数 a，b 的值； （2）证明：当 a2 时，yf（x）在（0，+）上有两个极值点； （3）设 g（x）|f（x）| ，若 g（x）在1，e上是单调减函数（e 为自然对数的底数）， 求实数 a 的取值 【分析】（1）对函数 f（x）求导，通过切线的斜率 kf（1）1 可求出 a 的值，把 切点（1，a）代入切线方程可求出 b 的值； （2）令 g（x）f（x），则原问题转化为 g（x）在（0，+）上有两个变号零点，再 对 g（x）求导，判断其在（0，+）上的单调性，然后结合零点存在定理证明，难点是 找

33、到端点值 g（ea1）和 g（ea1）； （3） 先将函数 g （x） 整理成 ， x1， e，令 ，通过求导、换元和构造函数可证明函数 h（x）在1，e上 单调递增 然后分h （1） a0， 和 三类情况， 分别讨论在满足 g（x）在1，e上是单调减函数的情形下，a 的取值范围，在每一步讨论 的过程中用到了构造函数、参变分离、零点存在定理等方法 解：（1） ，kf（1）2+a1，a3， 切点（1，a）在直线 x+y+b0 上，1+a+b0，b2 故 a3，b2 （2） ， 令 ，问题等价于 g（x）在（0，+）上有两个变号零点， ， 当 0x1 时，g（x）0，g（x）单调递减；当 x1 时

34、，g（x）0，g（x）单调递增 g（x）ming（1）2+a0， 而 g（ea1）ea+10，g（ea1）2a+e1a2a+（1a）21+a20， g（x）在（ea1，1）和（1，ea1）上各有一个变号零点，即 yf（x）在（0，+） 上有两个极值点 （3） ，x1，e， 令 ，则 令 ， ， ，H（t）1+lnt+12+lnt1 0， H（t）在 ， 上单调递增，H（t） ，h（x）0，即 h（x）在1，e上单调递增 当 h（1）a0 时， ， g（x）在1，e上是单调减函数， ， 令 u（x）（1+x+x2）lnxax2+x+1，则 恒成 立， u（x）在1，e上单调递减，u（x）maxu（1）a+20，解得 a2 当 即 时， ， 由知 ， 函数 g（x）在1，e上是单调减函数， u （x） （1+x+x2） lnxax2+x+10 对x1， e恒成立， 即 对x1，e恒成立， 令 （x） ，x1，e， （ x ） ， （x）在1，e上单调递减， 故 （x）min（e） ，a（x）min1， 又 ， 1 若 ， ，由前知 h（x）在1，e上单调递增， ，存在唯一的 x0（1，e）使 h（x0）0，此时 g（x0） 0， 而 g（1）0，g（e）0，g（x）在1，e上不单调，舍去， 综上所述，实数 a 的取值范围为 ， ，