2020年5月四川省高考数学诊断试卷(理科)含答案解析
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1、2020 年年 5 月高考数学诊断试卷(理科)月高考数学诊断试卷(理科) 一、选择题(共 12 小题) 1设 i 是虚数单位,若 为纯虚数,则实数 a( ) A2 B C D2 2设全集 UR,集合 Ax|log2x1,Bx|x21,则将韦恩图(Venn)图中的阴影部 分表示成区间是( ) A.(0,1) B(1,1) C.(1,2) D.(1,2) 3在 的展开式中,x2项的系数为( ) A20 B15 C15 D20 4某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A21 B24 C27 D30 5设 asin24,btan38,ccos52,则( ) Aabc Bbac Ccab
2、Dacb 6已知 f(x)是奇函数,且当 x0 时,f(x)ex1,则曲线 yf(x)在 x1 处的切 线方程为( ) Aexy+10 Bex+y10 Cexy10 Dex+y+10 7 设 O、 F 分别是抛物线 y24x 的顶点和焦点, 点 P 在抛物线上, 若 , 则 ( ) A2 B3 C4 D5 8已知 ab0,则 c0 是 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9北魏大数学家张邱建对等差数列问题的研究精深,在其著述算经中有如下问题: “今 有十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之,上三人先入得金四斤,持出:下四人后入 得三斤,持出:中间三人
3、未到者,亦依等次更给,问未到三人复应得金几何?”则该问 题的答案约为(结果精确到 0.1 斤)( ) A3.0 B3.2 C3.4 D3.6 10设向量 , 满足 ,且(3 )( ),则(2 ) ( ) A1 B1 C3 D3 11已知函数 f(x)cos(2x+)(0x)关于直线 x 对称,函数 g(x)sin(2x ),则 下列四个命题中,真命题有( ) yg(x)的图象关于点 , 成中心对称; 若对xR,都有 g(x1)g(x)g(x2),则|x1x2|的最小值为 ; 将 yg(x)的图象向左平移 个单位,可以得到 yf(x)的图象; x0R使 A B C D 12已知三条射线 OA、O
4、B、OC 两两所成的角都是 60,点 M 在 OA 上,点 N 在BOC 内运动,且 MNOM ,则点 N 的轨迹长度为( ) A2 B3 C4 D5 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13双曲线 的焦点到渐近线的距离为 14 已知数列an的前n项和Sn3an2n (nN*) , 若an+成等比数列, 则实数 15已知函數 , , ,若 f(x)0 恒成立,则实数 a 的取值范围 是 16为弘扬新时代的中国女排精神甲、乙两个女排校队举行一场友谊比赛,采用五局三胜 制(即某队先赢三局即获胜,比賽随即结束)若两队的竞技水平和比赛状态相当且 每局比赛相互独立,则比赛结束时已
5、经进行的比赛局数的数学期望是 三、解答题:共 70 分解答应写文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题, 每个试题考生都必须们答第 2223 题为选考题,考生根据要求作答 17在ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c已知 btanA、ctanB、btanB 成等 差数列 (1)求 A 的大小; (2)设 a2,求ABC 面积的最大值 18如图所示,菱形 ABCD 与正方形 CDEF 所在平面相交于 CD (1)求作平面 ACE 与平面 BCF 的交线 l并说明理由; (2)若 BD 与 CF 垂直且相等,求二面角 DAEC 的余弦值 19已知椭圆 E: 经过点 A(
6、0,1),且离心率为 (1)求椭圆 E 的方程; (2)过点 P(2,1)的直线与椭圆 E 交于不同两点 B、C 求证:直线 AB 和 AC 的斜率之 和为定值 20随着经济的快速增长、规模的迅速扩张以及人民生活水平的逐渐提高,日益剧增的垃圾 给城市的绿色发展带来了巨大的压力,相关部门在有 5 万居民的光明社区采用分层抽样 方法得到年内家庭人均 GDP 与人均垃圾清运量的统计数据如表: 人均 GDPx(万 元/人) 3 6 9 12 15 人均垃圾清运 量 y(吨/人) 0.13 0.23 0.31 0.41 0.52 (1)已知变量 y 与 x 之间存在线性相关关系,求出其回归直线方程; (
7、2)随着垃圾分类的推进,燃烧垃圾发电的热值大幅上升,平均每吨垃圾可折算成上网 电量 200 干瓦时,右图是光明社区年内家庭人均 GDP 的频率分布直方图,请补全15, 18的缺失部分,并利用(1)的结果,估计整个光明社区年内垃圾可折算成的总上网量 参考公式回归方程 x 中, 21已知函数 ,其中 a0 (1)求 f(x)的单调区间; (2)设 x1,x2是 f(x)的两个极值点,求证: (二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的第 一题计分选修 4-4:坐标系与参数方程 22 在平面直角坐标系xOy中, 已知C1: (其中t为参数) , C2: (其
8、中 为为参数)以 O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(两种坐标系的单位长 度相同) (1)求 C1和 C2的极坐标方程; (2)设以 O 为端点,倾斜角为 的射线 l 与 C1和 C2分别交于 A、B 两点,求 的最 小值 选修 4-5:不等式选讲 23设函数 f(x)|x2|2|x+1|的最大值为 m (1)求 m 的值; (2)若 a+bm,求 的最大值 参考答案参考答案 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 1设 i 是虚数单位,若 为纯虚数,则实数 a( ) A2 B C D2 【分析】利用复数的运
9、算法则、纯虚数的定义即可得出 解: i 为纯虚数, 0, 0, 解得 a 故选:C 【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义,考查了推理能力与计算能力,属 于基础题 2设全集 UR,集合 Ax|log2x1,Bx|x21,则将韦恩图(Venn)图中的阴影部 分表示成区间是( ) A.(0,1) B(1,1) C.(1,2) D.(1,2) 【分析】根据所给的韦恩图,看出阴影部分所表达的是要求 B 集合的补集与 A 集合的交 集,整理两个集合,求出 B 的补集,再求出交集 解:由题意可知集合 A 中 x 必须满足 log2x1log22; 即 0x2, 集合 B 中 x21x1 或 x1;
10、 所以集合 B 的补集(1,1), 图中阴影部分表示 A(UB)(0,1), 故选:A 【点评】本题考查韦恩图表达集合的关系及运算,本题解题的关键是正确读出韦恩图, 在计算出两个集合之间的交集 3在 的展开式中,x2项的系数为( ) A20 B15 C15 D20 【分析】在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 2,求得 r 的值,可得展开式中 x2项的系数 解:在 的展开式中,通项公式为 Tr+1 (1)r , 令 6 2,求得 r3,可得含 x2项的系数为 20, 故选:D 【点评】本题主要考查二项式定理,二项展开式的通项公式,属于基础题 4某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体
11、积为( ) A21 B24 C27 D30 【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图,进一步求出几何体的体积 解:根据几何体的三视图可得直观图为:下面为半径为 3 半球体和底面半径为 3,高为 2 的圆锥组成 如图所示: 故:V , 故选:B 【点评】本题考查的知识要点:三视图和直观图的转换,几何体的体积和表面积公式的 应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型 5设 asin24,btan38,ccos52,则( ) Aabc Bbac Ccab Dacb 【分析】直接利用单位元的三角函数线和诱导公式的应用求出结果 解:asin24,btan38,ccos52sin28,
12、 根据单位圆的三角函数线: ABb,EFc,CDa, 即:tan38sin28sin24, 即 acb, 故选:D 【点评】本题考查的知识要点:三角函数线的应用,三角函数诱导公式的应用,主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型 6已知 f(x)是奇函数,且当 x0 时,f(x)ex1,则曲线 yf(x)在 x1 处的切 线方程为( ) Aexy+10 Bex+y10 Cexy10 Dex+y+10 【分析】根据奇函数的性质可知,f(1)f(1),求出切点坐标,再根据 f(1) f(1)求出切线斜率,则切线可求 解:f(x)是奇函数,且当 x0 时,f(x)ex1, f(1)f
13、(1)1e;又 x0 时,f(x)ex,f(1)f(1)e 故切线为:y(1e)e(x+1),即 exy+10 故选:A 【点评】本题考查利用导数求切线的基本思路,奇函数的性质,以及学生利用转化思想 解决问题的能力及运算能力属于中档题 7 设 O、 F 分别是抛物线 y24x 的顶点和焦点, 点 P 在抛物线上, 若 , 则 ( ) A2 B3 C4 D5 【分析】设出 p 的坐标,根据数量积求出点 p 的横坐标,即可求解出结论 解:O、F 分别是抛物线 y24x 的顶点和焦点, O(0,0),F(1,0); 设 P(x,y); 则 (x,y) (x1,y)x(x1)+y 2; 又因为 y24
14、x; x(x1)+4x10x2 (5 舍); 故 x 2+13; 故选:B 【点评】 本题主要考查向量的数量积以及抛物线的定义, 考查计算能力, 属于基础题目 8已知 ab0,则 c0 是 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 化为: 0,根据 ab0,不等式化为:(b+c)c0,进而 判断出结论 解: 化为: 0, ab0,不等式化为:(b+c)c0, 则 c0 ,反之不成立,例如 b1,c2 ab0,则 c0 是 的充分不必要条件 故选:A 【点评】本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算 能力,属于基础题
15、9北魏大数学家张邱建对等差数列问题的研究精深,在其著述算经中有如下问题: “今 有十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之,上三人先入得金四斤,持出:下四人后入 得三斤,持出:中间三人未到者,亦依等次更给,问未到三人复应得金几何?”则该问 题的答案约为(结果精确到 0.1 斤)( ) A3.0 B3.2 C3.4 D3.6 【分析】根据题意,设题目中十等人得金依次为 a1、a2、,a10,由等差数列的通项 公式可得 ,解可得 a1、d,即可得等差数列an的通项公式,又由 中间三人共得金 Sa5+a6+a73a6,计算可得答案 解:根据题意,设第十等人得金 a1斤,第九等人得金 a2斤,以此类推,第
16、一等人得金 a10 斤,则数列an构成等差数列, 设数列an的公差为 d, ,即有 ,解可得 a1 ,d , 则中间三人共得金 Sa5+a6+a73a63(a1+5d) 3.2(斤); 故选:B 【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式的应用,关键求出等差数列的 首项与公差,属于基础题 10设向量 , 满足 ,且(3 )( ),则(2 ) ( ) A1 B1 C3 D3 【分析】 先根据已知条件得到 2 4 与 3 2 0; 二者联立即可 求解结论 解:因为向量 , 满足 ,且(3 )( ), 2 4 ; (3 ) ( )03 2 0 ; 由+可得: 1; 2 3 3; 即(2
17、) 2 3 3; 故选:D 【点评】本题主要考查数量积的应用以及整体代入的数学思想,属于基础题目 11已知函数 f(x)cos(2x+)(0x)关于直线 x 对称,函数 g(x)sin(2x ),则 下列四个命题中,真命题有( ) yg(x)的图象关于点 , 成中心对称; 若对xR,都有 g(x1)g(x)g(x2),则|x1x2|的最小值为 ; 将 yg(x)的图象向左平移 个单位,可以得到 yf(x)的图象; x0R使 A B C D 【分析】 首先利用函数的对称性的应用求出 的值, 进一步求出函数 gf (x) 和函数 g (x) 的解析式,再利用函数的性质的应用求出函数的对称性和函数周
18、期及最值及利用和角公 式的运用和差角公式的应用求出存在具体的角,最后求出结果 解: 函数 f (x) cos (2x+) (0x) 关于直线 x 对称, 所以 k (kZ) , 解得 k ,当 k1 时 所以 f(x)cos(2x ) 所以函数 g (x) sin (2x) sin (2x ) , 令 , 解得 (kZ) , 当 k0 时,x , 所以:yg(x)的图象关于点 , 成中心对称;故正确 若对xR,都有 g(x1)g(x)g(x2),即 g(x)ming(x)g(x)max,即|x1 x2|的最小值为 ,故错误 将 yg(x)的图象向左平移 个单位,得到 k(x)sin(2x )c
19、os2x, 故错误 由于 f(x)g(x)cos(2x )sin(2x ) ,当 sin(2x ) 时, ,故正确 故选:C 【点评】 本题考查的知识要点: 三角函数关系式的恒等变换, 正弦型函数的性质的应用, 函数的图象的平移变换的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于 中档题型 12已知三条射线 OA、OB、OC 两两所成的角都是 60,点 M 在 OA 上,点 N 在BOC 内运动,且 MNOM ,则点 N 的轨迹长度为( ) A2 B3 C4 D5 【分析】先作 MO1平面 AOB 于点 O1,作 MKOB 于点 K,连 OO1,KO1,利用直角 三角形知识依次求出 M
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