2020年湖北省荆州市沙市区高考数学理科三模试卷(含答案解析)
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1、2020 年高考数学三模试卷(理科)年高考数学三模试卷(理科) 一、选择题 1已知集合 ,集合 Bx|2x4,则 AB( ) A(2,3) B(1,+) C(1,2) D(3,+) 2设复数 z ,则复数 z 的虚部为( ) A2i B2 C2i D2 3等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 a23,S525,则 a6等于( ) A7 B9 C11 D13 4已知: ,则 cos4( ) A B C D 5孔子日“三人行,必有我师焉”从数学角度来看,这句话有深刻的哲理,古语说三百 六十行,行行出状元,假设有甲、乙、丙三人中每一人,在每一行业中胜过孔圣人的概 率为 1%,那么甲、乙、丙三人中至
2、少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为( ) (参考数据:0.993600.03,0.013600,0.9730.912673 A0.0027% B99.9973% C0 D91.2673% 6已知直线 l 过点(2,1),则“直线 l 的斜率为 ”是“直线 l 被圆 C: (x1) 2+(y+3) 24 所截弦长为 ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7公元 5 世纪,我国古代著名数学家祖冲之给出了圆周率 的两个近似分数值: (称之 为“约率”)和 (称之为“密率”)一几何体的三视图如图所示(每个小方格的边 长为 1),如果取圆周率为“约率”,
3、则该几何体的体积为( ) A B C D 8如图为函数 yf(x)部分图象,则 yf(x)的解析式可能为( ) A B Cf(x) Df(x) 9菱形 ABCD 中,AC2,BD4,E 点在线段 CD 上,则 的取值范围是( ) A2,3 B0,1 C0,2 D0,3 10已知双曲线 C: , 的左右焦点分别为 F1,F2,过 F1且斜率为 的直 线与双曲线C的渐近线在第一象限交于点P, 若PF1PF2, 则双曲线C的离心率为 ( ) A B C D 11 已知函数 有两个极值点 x1, x2, 且|x1|+|x2|2, 则实数 b 的取值范围为( ) A(,0) B(0,1) C , D1,
4、1 12已知平面四边形 ABCD 中, ,BAD120,BCD 是等边三角形, 现将BCD 沿 BD 折起到BPD,使得 P 点在平面 ABD 上的射影恰为ABD 的外心, 则三棱锥 PABD 外接球的表面积为( ) A B C9 D 二、填空题(共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分) 13(1x2)(1+x)4的展开式中含,x2的项的系数为 14设 x,y 满足约束条件 ,则 zx+2y 的最小值是 15抛物线 C:y28x 的焦点为 F,过 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点,A,B 两点在 x 2 上的射影分别为 M,N,0 为坐标原点,当 梯形 时,直线 l 的斜率
5、 为 16数列an满足 , ,实数 k 为常数,数列an有可能为常数列;k 1 时,数列 为等差数列;若 a3a1,则 k(1,0);k0 时,数列an递 减;则以上判断正确的有 (填写序号即可) 三、解答题 17在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,设向量 , , , ,且 (1)求角 A; (2)若 a2 ,ABC 的面积为 3 ,求ABC 的周长 18已知如图一 RtABC,ACBC4,ACB90,D,E 分别为 AC,AB 的中点,F 在 BC 上,且 BF3FC,G 为 DC 中点,将ADE 沿 DE 折起,BEF 沿 EF 折起,使得 A,B 重合于一点(如图二)
6、,设为 P, (1)求证:EG平面 PDF; (2)求二面角 CPFE 的大小 19为进一步深化“平安校园”创建活动,加强校园安全教育宣传,某高中对该校学生进行 了安全教育知识测试(满分 100 分),并从中随机抽取了 200 名学生的成绩,经过数据 分析得到如表所示的频数分布表,并绘制了得分在30,40)以及90,100的茎叶图,分 别如图 1、2 所示 成绩 30, 40) 40, 50) 50, 60) 60, 70) 70, 80) 80, 90) 90, 100 频数 5 30 40 50 45 20 10 (1)求这 200 名同学得分的平均数;(同组数据用区间中点值作代表) (2
7、)如果变量 X 满足 P(2X+2)0.9544 且 P(3X+3) 0.9974,则称变量 X“近似满足正态分布 N(,2)的概率分布”经计算知样本方差 为 210,现在取 和2分别为样本平均数和方差,以样本估计总体,将频率视为概率, 如果该校学生的得分“近似满足正态分布 N(,2)的概率分布”,则认为该校的校 园安全教育是成功的, 否则视为不成功 试判断该校的安全教育是否成功, 并说明理由 (3) 学校决定对 90 分及以上的同学进行奖励, 为了体现趣味性, 采用抽奖的方式进行, 其中得分不低于 94 的同学有两次抽奖机会,低于 94 的同学只有一次抽奖机会,每次抽 奖的奖金及对应的概率分
8、别为: 奖金 50 100 概率 现在从不低于 90 同学中随机选一名同学,记其获奖金额为 ,以样本估计总体,将频率 视为概率,求 的分布列和数学期望(参考数据: 20设 F(1,0)是椭圆 E: 的右焦点,过点 F 的直线 l 交椭圆 E 于 P,Q 两点,当 lx 轴时,|PQ|3 (1)求椭圆 E 的方程; (2)记椭圆 E 的左顶点为 A,当直线 l 斜率存在且不等于 0 时,设直线 l,直线 AP,直 线 AQ 的斜率分别为 k,k1,k2,求证:k(k1+k2)为定值 21函数 f(x)(x+1)lnxax+a1,aR (1)设 yf(x)是函数 yf(x)的导函数,求 yf(x)
9、的单调区间; (2)证明:当 ae21 时,yf(x)在区间(0,1)上有极大值点 x0,且 f(x0)0 (二)选考题:共 10 分.请考生在(22)、(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做 的第一题记分. 22在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 , , ( 为参数),以原 点 O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系 (1)写出曲线 C 的直角坐标方程和极坐标方程; (2)若将曲线 C 绕点 O 逆时针旋转 得到曲线 D,曲线 D 与曲线 C 交于 O,A,与 y 轴 分别交于 O,B,求三角形 OAB 的面积 23已知 f(x)|xa|+|2xa| (1)当
10、a2 时,解不等式 f(x)a; (2)若关于 x 的不等式 f(x)3|a|有解,求实数 a 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题 1已知集合 ,集合 Bx|2x4,则 AB( ) A(2,3) B(1,+) C(1,2) D(3,+) 【分析】可以求出集合 A,B,然后进行交集的运算即可 解:集合 (1,3),集合 Bx|2x4(2,+), 则 AB(2,3), 故选:A 2设复数 z ,则复数 z 的虚部为( ) A2i B2 C2i D2 【分析】根据复数的除法和乘法运算化简 z 即可 解:z , z 的虚部为2 故选:B 3等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 a23,S525
11、,则 a6等于( ) A7 B9 C11 D13 【分析】根据等差数列的通项公式和前 n 项和公式求出首项和公差即可 解:a23,S525, , 即 , 解得 a11,d2, 则 a6a1+5d1+5211, 故选:C 4已知: ,则 cos4( ) A B C D 【分析】将已知等式两边平方,利用同角三角函数基本关系式,二倍角公式 sin2 的值, 进而利用二倍角的余弦函数公式化简所求即可求解 解: , 两边平方可得 1sin2 ,可得 sin2 , cos412sin2212( ) 2 故选:B 5孔子日“三人行,必有我师焉”从数学角度来看,这句话有深刻的哲理,古语说三百 六十行,行行出状
12、元,假设有甲、乙、丙三人中每一人,在每一行业中胜过孔圣人的概 率为 1%,那么甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为( ) (参考数据:0.993600.03,0.013600,0.9730.912673 A0.0027% B99.9973% C0 D91.2673% 【分析】先求出甲、乙、丙在每一行业中都不能胜过孔圣人的概率,可得他们在每一行 业中都不能胜过孔圣人的概率,再用 1 减去此概率,即为所求 解:由题意可得,甲在每一行业中都不能胜过孔圣人的概率为 0.993600.03, 同理,乙 在每一行业中都不能胜过孔圣人的概率为 0.993600.03, 丙在每一行业中都不
13、能胜过孔圣人的概率为 0.993600.03, 故甲、乙、丙三人在每一行业中都不能胜过孔圣人的概率为 0.0330.000027, 故甲、 乙、 丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为 10.0000270.999973, 故选:B 6已知直线 l 过点(2,1),则“直线 l 的斜率为 ”是“直线 l 被圆 C: (x1) 2+(y+3) 24 所截弦长为 ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】直线 l 的斜率分类讨论,利用弦长公式即可得出 解:直线 l 的斜率存在时设为 k,可得方程为:y+1k(x2),即 kxy12k0,
14、直线 l 被圆 C:(x1)2+(y+3)24 所截弦长为 ,则 , 化为:k , 直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x2,也满足题意 “直线 l 的斜率为 ”是“直线 l 被圆 C:(x1) 2+(y+3)24 所截弦长为 ”的 充分不必要条件 故选:A 7公元 5 世纪,我国古代著名数学家祖冲之给出了圆周率 的两个近似分数值: (称之 为“约率”)和 (称之为“密率”)一几何体的三视图如图所示(每个小方格的边 长为 1),如果取圆周率为“约率”,则该几何体的体积为( ) A B C D 【分析】首先把三视图转换为几何体,进一步求出几何体的体积 解:根据几何体的三视图转换为几何体
15、为:该几何体为三棱锥和半圆锥组成的组合体 如图所示: 所以:V 故选:A 8如图为函数 yf(x)部分图象,则 yf(x)的解析式可能为( ) A B Cf(x) Df(x) 【分析】结合题干图象,逐项判断即可得出正确选项 解:对于选项 A, ,故 f(x)为偶函数,不合题意; 对于选项 B,当 x+时,f(x)+,不合题意; 对于选项 C, ,故 f(x)为奇函数,不合题意 对于选项 D,当 x+时,f(x)0,当 x时,f(x)+,当 x0 时,f(x) ,符合题意 故选:D 9菱形 ABCD 中,AC2,BD4,E 点在线段 CD 上,则 的取值范围是( ) A2,3 B0,1 C0,2
16、 D0,3 【分析】建立坐标系,求出各点的坐标,结合点 E 的坐标满足的条件和范围,再代入数 量积即可求解 解:菱形 ABCD 中,AC2,BD4, 所以 AC 与 BD 垂直平分,以其交点为原点; 建立如图所示的坐标系; 则 A(0,1),B(2,0),C(0,1),D(2,0); 设 E(x,y) 则 1x2y2 且1y0; (2,1), (x,y1); 2x(y1)5y3; 1y0; 2x(y1)5y33,2; 的取值范围是0,3 故选:D 10已知双曲线 C: , 的左右焦点分别为 F1,F2,过 F1且斜率为 的直 线与双曲线C的渐近线在第一象限交于点P, 若PF1PF2, 则双曲线
17、C的离心率为 ( ) A B C D 【分析】先写出双曲线的焦点坐标和渐近线方程,再设过 F1且斜率为 的直线方程为 ,并与 联立解得点 P 的坐标,然后利用 PF1PF2,得两条直线的斜 率之积为1, 从而列出关于a、 b、 c的等量关系, 化简整理后可得 , 最后结合 和 c2a2+b2得解 解: 由题可知, F1, F2的坐标分别为 (c, 0) , (c, 0) , 双曲线的渐近线方程为 , 设过 F1且斜率为 的直线方程为 , 联立 ,解得 ,点 P 为( , ), PF1PF2, ,即 ,化简整理,得 , 离心率 故选:D 11 已知函数 有两个极值点 x1, x2, 且|x1|+
18、|x2|2, 则实数 b 的取值范围为( ) A(,0) B(0,1) C , D1,1 【分析】依题意,f(x)0 的两根为 x1,x2,且 ,由|x1|+|x2|2 可得, ,进而得到 b24a24a3,设 g(a)4a24a3,a0,利用导数 求其单调性,由此求得最值,进而得到 b 的取值范围 解: (ax2+bxa2)eax, 依题意,f(x)0 的两根为 x1,x2,且 , |x1|+|x2|2|x1x2|,平方整理得 , , b24a24a3, 设 g (a) 4a24a3, a0, 则 g (a) 8a12a2, 令 g (a) 0, 解得 a0 或 , g(a)在 , 上单调递
19、增,在 , 上单调递减,其 g(1)0, ,即 , 故选:C 12已知平面四边形 ABCD 中, ,BAD120,BCD 是等边三角形, 现将BCD 沿 BD 折起到BPD,使得 P 点在平面 ABD 上的射影恰为ABD 的外心, 则三棱锥 PABD 外接球的表面积为( ) A B C9 D 【分析】先找到球心的位置上,易知在由 P 点与底面外心 M 连线 PM 上,然后算出 PM 的长度,再设球心为 O,利用直角三角形 OMD 列出球半径 R 的方程即可 解:由题意做出图形如下: 因为 ,BAD120, , , 设 M 为底面ABD 的外心, 且BAD120, AMBAMD, , 又 P 点
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