广西南宁市2020届高三第二次适应性测试数学试题（理科）含答案解析

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1、南宁市南宁市 20202020 届高中毕业班第二次适应性测试数学届高中毕业班第二次适应性测试数学试卷（理科）试卷（理科） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合|30,Ax xx N，1,0,1,2,3B ，则AB A.0,1,2 B.0,1,2,3 C.1,0,1,2 D.1,0,1,2,3 2.设复数 z 满足1 i2iz，则 z A. 13 i 22 B. 13 i 22 C.1 3i D.1 3i 3. 5 1 2x的展开式中 3 x的系数为 A.80 B.20 C.20. D.80 4.某学校

2、为了解高三年级学生在线学习情况，统计了 2020 年 2 月 18 日-27 日（共 10 天）他们在线学习人数 及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图. 根据组合图判断，下列结论正确的是 A.前 5 天在线学习人数的方差大于后 5 天在线学习人数的方差 B.前 5 天在线学习人数的增长比例的极差大于后 5 天的在线学习人数的增长比例的极差 C.这 10 天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大 D.这 10 天学生在线学习人数在逐日增加 5.已知各项不为 0 的等差数列 n a的前 n 项和为 n S，若 52 2aa，则 2 6 S a A.4 B.162 C.9 D.12

3、 6.若函数 | | x ya（0a ，且1a ）的值域为0,1，则函数log | a yx的图象大致是 A B C D 7.已知椭圆 2 2 2 1 x y a （1a ）的左，右焦点分别为 1 F， 2 F，过点 1 F的动直线 l 交椭圆于 A，B 两点.若 2 ABF的周长为 8，则a A.4 B.2 2 C.2 D.2 8.某同学在课外阅读中国古代数学名著孙子算经时，为解决“物不知数”问题，设计了如图所示的程序 框图.执行此程序框图，则输出的 a 的值为 A.13 B.18 C.23 D.28 9.如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，M，N 分别为AC， 1 AB的中点，

4、则下列说法错误 的是 A./MN平面 11 ADD A B.MNAB C.直线MN与平面ABCD所成角为 45 D.异面直线MN与 1 DD所成角为 60 10.已知双曲线 E： 22 22 1 xy ab （0a ，0b ）的右焦点为 F，以OF（O 为原点）为直径的圆与双曲线 E 的两条渐近线分别交于点 M，N（M，N 异于点 O）.若120MFN，则双曲线 E 的离心率为 A.4 B.2 C. 4 3 D. 2 3 3 11.已知函数 sinf xx（0） 的图象经过点,0 24 ， 一条对称轴方程为 6 x .则函数 f x 的周期可以是 A. 3 4 B. 2 C. 4 D. 12

5、12.已知函数 ln ,0 1,0 x x f x kxx ，则当0k 时，函数 1yffx 的零点个数为 A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.已知向量 3,1a ，向量 1,3b ，则a与b的夹角大小为_. 14.某部门从已参与报名的甲、乙、丙、丁四人中选派 1 人去参加志愿者服务，结果出来前，甲、乙、丙、 丁四人对选派人选做了如下预测： 甲说：丙或丁被选上； 乙说：甲和丁均未被选上； 丙说：丁被选上； 丁说：丙被选上. 若这四人中有且只有 2 人说的话正确，则被选派参加志愿者服务的是_. 15.已知数列 n a中， 1 2a

6、，且对于任意正整数 m，n 都有 m nmn aa a ，则数列 n a的通项公式是 _. 16.如图，正方形ABCD中，E，F 分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF把这个正方形折成一个四 面体， 使 B， C， D 三点重合， 重合后的点记为 G.若四面体AEFG外接球的表面积为 4 ， 则正方形ABCD 的边长为_. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.（本小题满分 12 分） 如图，在平面四边形ABCD中，120B ，

7、2AB .BAC的平分线与BC交于点 E，且6AE . （1）求BEA及AC； （2）若60ADC，求四边形ABCD周长的最大值. 18.（本小题满分 12 分） 红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关.现收集到一只红铃虫的产 卵数 y（个）和温度 x（）的 8 组观测数据，制成图 1 所示的散点图. 现用两种模型ebx ay ， 2 ycxd分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一 步得到图 2 所示的残差图. 根据收集到的数据，计算得到如下值： x z t 8 2 1 i i xx 8 2 1 i i tt 8 1

8、 ii i zzxx 8 1 ii i yytt 25 2.89 646 168 422688 48.48 70308 表中ln ii zy； 8 1 1 8 i i zz ； 2 ii tx； 8 1 1 8 i i tt ； （1）根据残差图，比较模型、的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由； （2）根据（1）中所选择的模型，求出 y 关于 x 的回归方程（系数精确到 0.01） ，并求温度为 34时，产卵 数 y 的预报值. （参考数据： 5.18 e178， 5.46 e235， 5.52 e250， 5.83 e340） 附：对于一组数据 11 ,v， 22 ,v，, nn v，其回

9、归直线 v 的斜率和截距的最小二乘估 计分别为 1 2 1 n ii i n i i vv ， v. 19.（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥SABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，/AD BC，ADDC，120ADC，三 角形SAB是等边三角形，平面SABABCD 平面，E，F 分别为AB，AD的中点. （1）求证：平面SCDSEF平面； （2）若2AB ，求直线SF与平面SCD所成角的正弦值 20.（本小题满分 12 分） 已知函数 exf xa x ，其中 e 是自然对数的底数. （1）若ea，证明： 0f x ； （2）若0,x时，都有 f xfx，求实数 a 的取值范围. 21

10、.（本小题满分 12 分） 已知抛物线 C： 2 2xy，过点1,1A且互相垂直的两条动直线 1 l， 2 l与抛物线 C 分别交于 P，Q 和 M， N. （1）求四边形MPNQ面积的取值范围； （2）记线段PQ和MN的中点分别为 E，F，求证：直线EF恒过定点. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，已知曲线 1 C： 11 11 2cos sin xt yt （ 1 t为参数） ，曲线 2 C： 22 22 2cos sin xt yt （

11、 2 t为 参数） ，且 12 tantan1 ，点 P 为曲线 1 C与 2 C的公共点. （1）求动点的轨迹方程； （2）在以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 2 cossin100，求动点 P 到直线 l 的距离的取值范围. 23.（本题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知 a，b，c 都为正实数，且3abc .证明： （1）2121213 3abc ； （2） 1111118 33327abc . 参考答案参考答案 一、选择题（60 分） 1.命题意图： 本小题主要考查一元一次不等式的自然数解和集合的交集运算等基础知识； 考查运算

12、求解能力. 解析：选择 A.由集合 |30,0,1,2Ax xx N，所以0,1,2AB . 2.命题意图：本小题主要考查复数的除法、乘法运算，共轭复数的概念等基础知识；考查运算求解能力. 解析：选择 B.因为 2i1 i2i13 i 1 i222 z ，则 13 i 22 z . 3.命题意图：本小题主要考查二项式定理，展开式指定项的系数等基础知识；考查运算求解能力，应用意识. 解析：选择 A.由 15 2 r r r TCx 知3r 时，展开式中 3 x的系数为 3 3 5 280C . 4.命题意图：本小题考查统计图表等基础知识，考查统计思想以及学生数据处理等能力和应用意识. 解析：选择

13、 D.根据统计图表可知，A，B，C 项错误，D 项正确. 5.命题意图：本小题主要考查等差数列通项公式和前 n 项和公式等基础知识，考查运算求解等数学能力. 解析：选择 C.由题 162522 66 22222 3332 9 aaaaaaSS aaaaa . 6.命题意图：本小题主要考查含绝对值的指数函数和对数函数的图象及其性质等基础知识；考查逻辑推理能 力，应用意识. 解析： 选择 B.由函数 | | x ya（0a ， 且1a ） 的值域为0,1得01a， 则0x 时，loglog aa yxx 单调递减，排除 A，C，D. 7.命题意图：本小题主要考查椭圆的定义及其性质、直线与椭圆的位置

14、关系等基础知识；考查运算求解；考 查数形结合等数学思想. 解析：选 C.根据椭圆的定义， 2 ABF的周长为 4a，所以2a . 8.命题意图：本小题主要考查程序框图的应用等基础知识；考查阅读理解能力，运算求解能力，数据处理能 力，应用意识. 解析： 选择 C.输入1n ， 得8a ， 不满足 2 21 a Z； 输入2n， 得13a ， 不满足 2 21 a Z； 输入3n ， 得18a ，不满足 2 21 a Z；输入4n，得23a .满足 2 21 a Z.即输出 a 的值为 23. 9.命题意图：本小题主要考查直线与平面平行，垂直的判定与性质、直线与平面所成角、异面直线所成角等 基础知

15、识；考查空间想象能力、论证推理能力. 解析：选择 D.如图，连结BD， 1 AD，由 M，N 分别为AC， 1 AB的中点知 1 /MN AD，选项 A、B、C 均 正确；而 11 ADD为异面直线MN与 1 DD所成角，应为 45 . 10.命题意图：本小题主要考查双曲线及其性质等基础知识；考查运算求解、推理论证能力和创新意识；考 查数形结合等数学思想. 解析：选择 D.因为OF为直径，点 M 在圆上，所以OMMF.又120MFN，由圆的对称性，有 60MFO， 所 以30MOF. 由 渐 近 线 斜 率 3 t a n 3 b M O F a ， 所 以 离 心 率 为 2 2 3 1 3

16、 b e a . 11.命题意图：本小题主要考查三角函数的图象和性质、正弦型函数 sinf xx图象和性质等基本 知识；考查推理论证等数学能力，化归与转化等数学思想. 解析：选择 B.由 21 6244 k T ，则 42 T k ，kZ，当0k 时， 2 T . 12.命题意图：本小题主要考查分段函数的图象，函数的零点等基础知识；考查逻辑推理能力，分类讨论思 想，数形结合思想，方程思想，应用与创新意识. 解析：选择 B.在平面直角坐标系中作出函数 yf x（0k ）的图象如图所示.令 10ff x ，得 1ff x ，则 0f x 或 f xt（1t ）.当 0f x 时，显然存在 2 个零

17、点 1 1 x k ， 2 1x ； 当 f xt（1t ）时，存在 1 个零点 3 x.故函数 1yff x 的零点个数为 3. 二、填空题（20 分） 13.命题意图：本小题主要考查平面向量的数量积、两个向量的夹角等基础知识；考查运算求解能力. 解析：填 150 （或5 /6） ，由 22 2 2 3,11,3 2 33 cos, 42 3113 a b ， 所以夹角为 150 . 14.命题意图：本小题主要考查学生逻辑推理等基础知识；考查逻辑推理等能力. 解答：填丁.若甲被选上，甲、乙、丙、丁错误，不满足条件；乙被选上，甲、丙、丁错误，乙正确，不满 足条件；丙被选上，甲、乙、丁正确，丙错

18、误，不满足条件；丁被选上，甲、丙正确，乙、丁错误，满足 条件. 15.命题意图：本小题主要考查数列以及前 n 项和等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、 运算求解等数学能力. 解析： 填2n n a .数列 n a中， 令1m， 得 1 2 nn aa ， 则 n a是首项和公比均为 2 的等比数列， 则2n n a . 16.命题意图：本小题主要考查直线与平面垂直的判定、球体表面积公式、几何体切割等基础知识；考查空 间想象能力、论证推理能力、运算求解能力及创新意识；考查化归与转化等数学思想. 解析： 填 2.依题意， 折叠后的四面体如图 1.设正方形边长为 a， 内切球半径为 r

19、， 则A G a ， 2 a EGFG. 记四面体内切球球心为 O，如图 2，有 A EFGO EFGO AEFO AEGO AFG VVVVV . 即 1 3 A EFGEFGAEFABGAFG VSSSSr ， 即 2 111 32223 aa aar，所以8ar.又 2 4 4 r ，即 1 4 r ，所以2a . 三、解答题（共 70 分） 17.命题意图： 本小题主要考查正弦定理、 余弦定理等基本知识， 考查化归与转化等数学思想以及推理论证、 运算求解等数学能力. 解析： （1）在ABE中， 由正弦定理得 sin2 sin1202 sin 26 ABB AEB AE . 又AEBB

20、，则45AEB，于是1801204515BAE. 3 分 所以30BAC，1801203030ACB. 所以2BCAB. 在ABC中，根据余弦定理得 222 222 2 2 cos12012AC ， 所以2 3AC . 6 分 （2）令ADm，CDn， 在ACD中，根据余弦定理得 2 2 22 2 32cos603mnmnmnmn， 即有 2 2 123123 2 mn mnmn ，即 2 12 4 mn ， 所以4 3mn，当且仅当2 3mn时， “”成立. 所以，四边形ABCD周长的最大值为44 3. 12 分 18.命题意图：本小题主要考查回归方程、统计案例等基本知识，考查统计基本思想以

21、及抽象概括、数据处 理等能力和应用意识. 解析： （1）应该选择模型. 2 分 由于模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型带状宽度窄，所以模型 的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型比较合适. 4 分 （2）令lnzy，z 与温度 x 可以用线性回归方程来拟合，则 z abx. 8 1 8 2 1 48.48 0.289 168 ii i i i zzxx b xx ， 6 分 所以 2.890.289 254.34azbx， 则 z 关于 x 的线性回归方程为0.294.34zx. 8 分 于是有ln0.294.34yx， 所以产卵数 y 关于温度

22、 x 的回归方程为 0.294.34 e x y 10 分 当34x 时， 0.29 34 4.345.52 ee250y （个）. 所以，在气温在 34时，一个红铃虫的产卵数的预报值为 250 个. 12 分 19.命题意图：本小题主要考查平面与平面垂直的判定、平面与平面垂直的性质、直线与平面所成角、空间 向量处理立体几何问题等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识；考查 化归与转化等数学思想. 解析： （1）因为平面SABABCD 平面，平面SABABCDAB平面， SESAB 平面，SEAB，所以SEABCD 平面. 1 分 又因为CDABCD 平面，所以SEC

23、D. 2 分 连接BD，因为 E，F 分别为AB，AD的中点，所以/BD EF. 因为ADDCAB，所以ABDADB . 又因为120BADADC，所以30ADB， 所以90BDC，所以BDCD. 3 分 又因为/BD EF，所以CDEF. 4 分 又SEEFE，所以CDSEF 平面. 5 分 又因为CDSCD 平面，所以平面SCDSEF平面. 6 分 （2）过 E 作/EN CD，则ES，EF，EN两两垂直， 故可如图建立空间直角坐标系. 7 分 在BDC中，易求得2 3BD ，2CD ，4BC . 则0,0,0E， 0, 3,0F， 0,0, 3S， 5 3 3 ,0 22 C ， 1 3

24、 3 ,0 22 D . 故 1 3 3 ,3 22 SD ， 5 3 3 ,3 22 SC ， 0, 3,3SF . 8 分 设平面SCD的法向量为, ,nx y z，由 0 0 n SD n SC ，可取0,2,3n . 10 分 则 326 cos, 26| |613 n SF n SF nSF . 故SF与平面SCD所成角的正弦值为 26 26 . 12 分 20.命题意图：本小题主要考查指数函数，导数及其性质，不等式恒成立问题等基础知识；考查运算求解能 力，推理论证能力，分类讨论思想，化归与转化思想，应用与创新意识. 解析： （1）由题意ea时， ee x f xx ， 所以 ee

25、x fx，当1x 时， 0fx； 2 分 当,1x 时， 0fx， f x单调递减； 当1,x时， 0fx， f x单调递增； 所以 f x在1x 时取得极小值，也是最小值. 所以 10f xf. 4 分 （2）令 ee2 xx g xf xfxax ，0,x， 由0,x时，都有 f xfx，所以 0g x 在0,上恒成立. 5 分 由 ee2 xx g xa ，令 h xg x ，则 2 e1 0 e x x h x 在0,上恒成立. 所以 g x在0,上单调递增，又 022ga， 所以当1a 时， 00g xg ， 所以 g x在0,上单调递增， 所以 00g xg，即 f xfx，满足题

26、意. 8 分 当1a 时，因为 g x在0,上单调递增， 所以 min 0220g xga ， 存在0,t，使得当0,xt时， 0g x， g x在0,t上单调递减， 所以当0,xt时， 00g xg，这与 0g x 在0,上恒成立矛盾. 综上所述，1a ，即实数 a 的取值范围,1. 12 分 21.命题意图：本小题主要考查抛物线及其性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解、推 理论证能力和创新意识；考查化归与转化、数形结合等数学思想. 解析： （1）由题意可知两直线 1 l， 2 l的斜率一定存在，且不等于 0. 设 1 l：11yk x（0k ） ， 11 ,P x y， 2

27、2 ,Q x y，则 2 l： 1 11yx k （0k ）. 因为联立直线 1 l与抛物线的方程，有 2 2 11 2220 2 yk x xkxk xy ， 其中 2 480k ，由韦达定理，有 12 12 2 22 xxk x xk . 2 分 由上可得 222 12 1184PQkxxkk，同理 22 14 18MN kk ， 则四边形MPNQ面积 22 22 11132 28032 22 SPQ MNkk kk . 令 2 2 1 2kt k .则 2 1 2803283640 2 Stttt. 5 分 所以，当且仅当2t ，即1k 时，S 取得最小值 12，且当t 时，S . 故四

28、边形MPNQ面积的范围是12,. 7 分 （2）由（1）有 12 2xxk， 2 12 22yyk， 所以PQ中点 E 的坐标为 2 ,1k k ，同理点 F 的坐标为 2 11 ,1 k k . 于是，直线EF的斜率为 2 2 2 2 1 1 11 1 11 EF k k k k kk k kk kk ， 10 分 则直线EF的方程为： 2 11 12ykkxkykx kk ， 所以直线EF恒过定点0,2. 12 分 选考题（10 分） 22.命题意图：本小题主要考查直线的参数方程、极坐标方程，圆的方程及轨迹方程的求法、不同方程形式 的互化等基础知识；考查运算求解、推理论证能力和创新意识；考

29、查化归与转化、数形结合等数学思想. 解析： （1）设点 P 的坐标为, x y. 因为点 P 为曲线 1 C与 2 C的公共点，所以点 P 同时满足曲线 1 C与 2 C的方程. 曲线 1 C消去参数可得 1 tan 2 y x ，曲线 2 C消去参数可得 2 tan 2 y x . 由 12 tantan1 ，所以1 22 yy xx . 所以点 P 的轨迹方程为 22 4xy（2x ）. 5 分 （2）由已知，直线 l 的极坐标方程2 cossin100， 根据cosx，siny可化为直角坐标方程：2100xy. 因为 P 的轨迹为圆 22 4xy（去掉两点2,0） ， 圆心 O 到直线

30、l 的距离为 10 2 5 5 d ， 所以点 P 到直线 l 的距离的取值范围为2 52,2 52 . 10 分 23.命题意图：本小题主要考查基本不等式、不等式的证明方法、含绝对值的不等式等基本知识，考查学生 化归与转化等数学思想和推理论证等数学能力. 证明： （1） 2 212121abc 23221 21221 21221 21abcabbcca 2321 2121 2121 21abcabbcca 6927abc （当且仅当1abc取“=” ）. 所以2121213 3abc . 5 分 （2） 111111111 333333333 abcabcabc abcabc 333 bc ac ab abc 12228 2727 bcacab abc （当且仅当1abc取“=” ）. 10 分