上海市黄浦区2020届高三下学期阶段性调研(二模)测试数学试题(含答案解析)
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1、上海市黄浦区上海市黄浦区 2020 届高届高考考数学二模试卷数学二模试卷 一、填空题(本大题共有一、填空题(本大题共有 12 题,满分题,满分 54 分分.其中第其中第 16 题每题题每题 4 满分满分 54 分,第分,第 7-12 题每题每 题题 5 满分满分 54 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1若集合 A1,2,3,4,5,Bx|x2x60,则 AB 来源:学#科#网 2函数 y2cos2x+2 的最小正周期为 3某社区利用分层抽样的方法从 140 户高收入家庭、280 户中等收入家庭、80 户低收入家 庭中选出 100
2、户调查社会购买力的某项指标,则中等收入家庭应选 户 4若直线 l1:ax+3y50 与 l2:x+2y10 互相垂直,则实数 a 的值为 5如果 sin= 22 3 , 为第三象限角,则 sin(3 2 +) 6若一圆锥的主视图是边长为 6 的正三角形,则此圆锥的体积为 7已知双曲线 2 2 2 2 = 1(0,0)的一条渐近线平行于直线:l:y2x+10,双曲线 的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为 8 已知函数 f (x) ax+b (a0, a1) 的定义域和值域都是2, 0, 则 f (1) 9当 x,y 满足 + 2 7 0, 1 0, 1, 时,|2xy|a 恒成立,则实数
3、a 的取值范围是 10某班共有 4 个小组,每个小组有 2 人报名参加志愿者活动,现从这 8 人中随机选出 4 人作为正式志愿者,则选出的 4 人中至少有 2 人来自同一小组的概率为 11已知 aR,函数 f(x)= + 2 (0) 2+ 1( 0) ,若存在不相等的实数 x1,x2,x3,使得 (1) 1 = (2) 2 = (3) 3 = 2,则 a 的取值范围是 12点 A 是曲线 = 2+ 2( 2)上的任意一点,P(0,2) ,Q(0,2) ,射线 QA 交曲 线 = 1 8 2于 B 点,BC 垂直于直线 y3,垂足为点 C,则下列结论: (1)|AP|AQ|为定值22; (2)|
4、QB|+|BC|为定值 5; (3)|PA|+|AB|+|BC|为定值5 + 2 其中正确结论的序号是 二、选择题(本大题共有二、选择题(本大题共有 4 题,满分题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分)分,否则一律得零分) 13 “函数 f(x) (xR)存在反函数”是“函数 f(x)在 R 上为增函数”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 14设 z1,z2是复数
5、,则下列命题中的假命题是( ) A若|z1z2|0,则1= 2 B若 z1= 2,则1=z2 C若|z1|z2|,则 z11=z22 D若|z1|z2|,则 z12z22 15已知 , 是互相垂直的单位向量,向量 满足: = , = 2 + 1,是向 量 与 夹角的正切值,则数列bn是( ) A单调递增数列且 bn= 1 2 B单调递减数列且 bn= 1 2 C单调递增数列且 bn2 D单调递减数列且 bn2 16如图,直线 l平面 ,垂足为 O,正四面体 ABCD 的棱长为 2,A,D 分别是直线 l 和 平面 上的动点,且 BCl,则下列判断: 点 O 到棱 BC 中点 E 的距离的最大值
6、为2 + 1; 正四面体 ABCD 在平面 上的射影面积的最大值为3 其中正确的说法是( ) A都正确 B都错误 C正确,错误 D错误,正确 三、解答题(本大题共有三、解答题(本大题共有 5 题,满分题,满分 76 分分.)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤域内写出必要的步骤. 17如图,在三棱椎 PABC 中,PA平面 ABC,BAC90,D、E、F 分别是棱 AB、 BC、CP 的中点,ABBC1,PA2 (1)求异面直线 PB 与 DF 所成的角; (2)求点 P 到平面 DEF 的距离 18设 A(x1,y1) (x2
7、,y2)是函数,y= 1 2 + 2 1的图象上任意两点,点 M(x0,y0) 满足 = 1 2( + ) (1)若 x0= 1 2,求证:y0 为定值; (2)若 x22x1,且 y01,求 x1的取值范围,并比较 y1与 y2的大小 19某公园计划在矩形空地上建造一个扇形花园如图所示,矩形 ABCD 的 AB 边与 BC 边的长分别为 48 米与 40 米,扇形的圆心 O 为 AB 中点,扇形的圆弧端点 E,F 分别在 AD 与 BC 上,圆弧的中点 G 在 CD 上 (1)求扇形花园的面积(精确到 1 平方米) ; (2)若在扇形花园内开辟出一个矩形区域 A1B1C1D1为花卉展览区,如
8、图所示,矩形 A1B1C1D1的四条边与矩形 ABCD 的对应边平行,点 A1,B1分别在 OE,OF 上,点 C1, D1在扇形的弧上, 某同学猜想, 当矩形 A1B1C1D1面积最大时, 两矩形 A1B1C1D1与 ABCD 的形状恰好相同(即长与宽之比相同) ,试求花卉展区 A1B1C1D1面积的最大值,并判断 上述猜想是否正确(请说明理由) 20已知点 A,B 分别是椭圆 C: 2 2 + 2 2 = 1(0)的右顶点与上顶点,坐标原点 O 到 直线 AB 的距离为 6 3 ,且点 A 是圆 r:( 2)2+ 2= 2(0)的圆心,动直线 l:y kx 与椭圆交于 PQ 两点 (1)求
9、椭圆 C 的方程; (2)若点 S 在线段 AB 上, = ( +),且当 取最小值时直线 l 与圆相切,求 r 的值; (3)若直线 l 与圆分别交于 G,H 两点,点 G 在线段 PQ 上,且|QG|PH|,求 r 的取值 范围 21 (18 分)若数列an与函数 f(x)满足:an的任意两项均不相等,且 f(x)的定义 域为 R;数列an的前 n 项的和 Snfan,对任意的 nN*都成立,则称an与 f(x) 具有“共生关系” (1) 若= 2( )试写出一个与数列an具有 “共生关系” 的函数 f (x) 的解析式; (2)若 f(x)ax+b 与数列an具有“共生关系” ,求实数对
10、(a,b)所构成的集合, 并写出 an关于 a,b,n 的表达式: (3)若 f(x)x2+cx+h,求证: “存在每项都是正数的无穷等差数列an,使得an与 f (x)具有共生关系 ”的充要条件是“点(c,h)在射线 = 1 2 ( 1 16)上” 参考答案参考答案 一、填空题(本大题共有一、填空题(本大题共有 12 题,满分题,满分 54 分分.其中第其中第 16 题每题题每题 4 满分满分 54 分,第分,第 7-12 题每题每 题题 5 满分满分 54 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1若集合 A1,2,3,4,5,Bx|
11、x2x60,则 AB 1,2 由题直接求出集合 B,再利用交集的定义求得结果 由题知集合 B(2,3) ,再由交集定义可得 AB1,2, 故答案为:1,2 本题主要考查的是交集的运算,注意端点和点集,是道基础题 2函数 y2cos2x+2 的最小正周期为 先将函数降幂化简,然后套公式求周期 由已知得 = 2 1+2 2 + 2 = 2 + 3, 所以 T= 2 2 = 故答案为: 本题考查三角函数式的化简以及最小正周期的求法属于基础题 3某社区利用分层抽样的方法从 140 户高收入家庭、280 户中等收入家庭、80 户低收入家 庭中选出 100 户调查社会购买力的某项指标,则中等收入家庭应选
12、56 户 由分层抽样的定义直接利用比的关系得出结果 由题知共有 140+280+80500 户家庭,设应选中等收入家庭为 x 户,由分层抽样的定义 知 100 = 280 500,解得 x56 故答案为:56 本题主要考查的是分层抽样,是道基础题 4若直线 l1:ax+3y50 与 l2:x+2y10 互相垂直,则实数 a 的值为 6 由直线互相垂直,可得 a+60,解得 a 直线 l1:ax+3y50 与 l2:x+2y10 互相垂直, a+60,解得 a6 故答案为:6 本题考查了直线互相垂直与斜率之间的关系, 考查了推理能力与计算能力, 属于基础题 5如果 sin= 22 3 , 为第三
13、象限角,则 sin(3 2 +) 1 3 由 sin 的值及 为第三象限角,利用同角三角函数间的基本关系求出 cos 的值,原式 利用诱导公式化简,将 cos 的值代入计算即可求出值 sin= 22 3 , 为第三象限角, cos= 1 2 = 1 3, 则 sin(3 2 +)cos= 1 3 来源:学科网 故答案为:1 3 此题考查了运用诱导公式化简求值,以及同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握诱导 公式是解本题的关键 6若一圆锥的主视图是边长为 6 的正三角形,则此圆锥的体积为 93 根据三视图的性质,求出圆锥底面半径长和高的大小,由此结合圆锥的体积公式,则不 难得到本题的答案 一圆锥的
14、主视图是边长为 6 的正三角形,即圆锥的轴截面是正三角形 ABC,边长等于 6,如图: 圆锥的高 AO= 3 2 6 =33, 底面半径 r= 1 2 63, 因此, 该圆锥的体积 V= 1 3r 2AO= 1 33 23 3 =93 故答案为:93 本题给出圆锥轴截面的形状,求圆锥的体积,着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴 截面等知识,属于基础题 7已知双曲线 2 2 2 2 = 1(0,0)的一条渐近线平行于直线:l:y2x+10,双曲线 的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为 2 5 2 20 = 1 根据渐近线的方程和焦点坐标,利用 a、b、c 的关系和条件列出方程求出 a2、b
15、2,代入 双曲线的方程即可 由题意得, = 2 2 + 10 = 0 2= 2+ 2 , 解得 a25,b220, 双曲线的方程是 2 5 2 20 = 1, 故答案为: 2 5 2 20 = 1 本题考查双曲线的标准方程,以及简单几何性质的应用,属于基础题 8 已知函数 f (x) ax+b (a0, a1) 的定义域和值域都是2, 0, 则 f (1) 3 3 由题分别讨论 0a1, a1 两种情况, 得出关系式, 解方程组即可得出 a, 再代入 f ( 1)即可 当 0a1 时,由题得 2 + = 0 0+ = 2,解得 a= 3 3 ,b3,则 f(1)= 3 3; 当 a1 时,由题
16、意得 2 + = 2 0+ = 0 ,无解; 故答案为:3 3 本题主要考查的是函数的定义域与值域,及分类讨论,是道综合题 9当 x,y 满足 + 2 7 0, 1 0, 1, 时,|2xy|a 恒成立,则实数 a 的取值范围是 4,+ ) 画出约束条件的可行域,求解|2xy|的最大值,即可得到 a 的范围 x,y 满足 + 2 7 0, 1 0, 1, 的可行域如图:由 + 2 7 = 0 1 = 0 解得 A(3,2) , z2xy,经过可行域的 A 时,取得最大值,最大值为:4, 此时|2xy|取得最大值, 所以,|2xy|a 恒成立,则实数 a 的取值范围是4,+) 故答案为:4,+)
17、 本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,通过数形结合是解决本题的 关键 10某班共有 4 个小组,每个小组有 2 人报名参加志愿者活动,现从这 8 人中随机选出 4 人作为正式志愿者,则选出的 4 人中至少有 2 人来自同一小组的概率为 27 35 现从这 8 人中随机选出 4 人作为正式志愿者,基本事件总数 n= 8 4 =70,选出的 4 人中 至少有 2 人来自同一小组包含的基本事件个数 m= 8 4 2 1212121 =54, 由此能求出选出 的 4 人中至少有 2 人来自同一小组的概率 某班共有 4 个小组,每个小组有 2 人报名参加志愿者活动, 现从这 8 人中随机
18、选出 4 人作为正式志愿者, 基本事件总数 n= 8 4 =70, 选出的 4 人中至少有 2 人来自同一小组包含的基本事件个数 m= 8 4 2 1212121 =54, 选出的 4 人中至少有 2 人来自同一小组的概率为 p= = 54 70 = 27 35 故答案为:27 35 本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查推理论证能力与运算 求解能力,属于基础题 11已知 aR,函数 f(x)= + 2 (0) 2+ 1( 0) ,若存在不相等的实数 x1,x2,x3,使得 (1) 1 = (2) 2 = (3) 3 = 2,则 a 的取值范围是 (,4) 令 2+1 =
19、2(x0) ,解得 x1,所以问题转化为 +2 = 2在(0,+)上有两个 不等根即可, 分离参数得 = 2( + 1 )在 (0, +) 上有两个不等实根, 只需研究 g (x) = 2( + 1 )在(0,+)上的单调性,极值,端点值,结合图象即可解决问题 当 x0 时,令 2+1 = 2(x0) ,解得 x1; 所以只需方程 +2 = 2在(0,+)上有两个不等根即可, 整理得 = 2( + 1 ),x(0,+)有两个根 只需 ya 与 y= 2( + 1 )在(0,+)上有两个不同交点即可 令 g(x)= 2( + 1 ),x0,() = 2(1 1 2) = 2(+1)(1) 2 ,
20、 当 x(0,1)时,g(x)0,g(x)递增;x(1,+)时,g(x)0,g(x) 递减;所以 g(x)maxg(1)4, 且 x0,或 x+时,都有 g(x) 所以,要使 x0 时,结论成立,只需 a4 即可 故答案为: (,4) 本题考查利用数形结合思想研究函数零点的问题,要注意函数的零点、方程的根、两个 函数图象交点的横坐标之间的相互转化,互为工具的关系同时考查学生的逻辑推理能 力等属于中档题 12点 A 是曲线 = 2+ 2( 2)上的任意一点,P(0,2) ,Q(0,2) ,射线 QA 交曲 线 = 1 8 2于 B 点,BC 垂直于直线 y3,垂足为点 C,则下列结论: (1)|
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