江苏省南通市基地学校2020届高三第三次大联考数学试题含附加题（有答案解析）

《江苏省南通市基地学校2020届高三第三次大联考数学试题含附加题（有答案解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省南通市基地学校2020届高三第三次大联考数学试题含附加题（有答案解析）（24页珍藏版）》请在七七文库上搜索。

1、1 江苏省南通市基地学校江苏省南通市基地学校20202020届高三第三次大联考届高三第三次大联考数学试题数学试题 第I卷（必做题，共160分） 一、 填空题 （本大题共14小题， 每小题5分， 共70分， 请将答案填写在答题卷相应的位置上 ） 1己知集合A0，2，B1，0，则集合AB 2若复数zi (a2i)的模为4，其中i是虚数单位，则正实数a的值为 3右图是一个算法流程图，则输出的n的值为 4某工厂有A，B，C三个车间，共270名工人，各车间男、女工人人数如 下表： 车间A 车间B 车间C 女工人 20 60 a 男工人 40 30 b 现用分层抽样的方法在全厂抽取54名工人，则应在车间C

2、抽取的工人人 数为 5一只口袋内装有形状、大小完全相同的4只小球，其中2只白球、2只红 球，从中一次随机摸出2只球，则摸出的2只球颜色不同的概率为 6设xR，则“ 2 4x ”是“24 x ”的 条件（选填“充分不必要”、“必要 不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”之一） 7在平面直角坐标系中，若双曲线 2 2 1 4 y x 的渐近线与圆x2y25相交于A，B，C，D 四点，则四边形ABCD的面积为 8已知直线yex1是曲线yex+a的一条切线，则实数a的值为 9如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，D为AA1的中点设四面体C1B1CD 的体积为V1，直三棱柱ABCA1B1C

3、1的体积为V2，则 1 2 V V 的值为 10在平面直角坐标系xOy中，己知A，B，F分别为椭圆C： 22 22 1 xy ab （ab0）左顶 2 点、上顶点和左焦点（如图），过点F作x轴的垂线与椭圆交于M，N两点，直线BN与x 轴交于点 D若OA2OD，则椭圆C的离心率为 11已知等差数列 n a的前n项和为 n S，若 2 2 n Sn，则 1 125 () n n aa 的最小值为 12已知函数 2 22 ( ) 1 12 2 xxx f x xx ， ， ，则关于x的不等式()(1)fxfx的解集为 13如图，在四边形ABCD中，AB BCAD DC0，AC BD4，AB BD2

4、， 则对角线BD的长为 14已知函数 24 ( )ln(e1) x f x ，( )2g xxa若存在an，n+l(nZ)，使得关 于x的方程( )( )f xg x有四个不相等的实数解，则n的最大值为 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤） 15（本小题满分14分） 如图，EA平面ABC，DCEA，EA2DC，F是EB的中点 （1）求证：DC平面ABC； （2）求证：DF平面ABC 16（本小题满分14分） 已知锐角三角形ABC中，sinC 3 5 ，sin(AB) 1 5 （1）求证：tanA2tanB； （2）若AB

5、边上的高为2，求边AB的长 17（本小题满分14分） 如图， 某地有一块半径为R的扇形AOB公园， 其中O为扇形所在圆的圆心，AOB120， 3 OA，OB，AB为公园原有道路为满足市民观赏和健身的需要，市政部门拟在AB上选取 一点M，新建道路OM及与OA平行的道路MN（点N在线段OB上），设AOM （1） 如何设计， 才能使市民从点O出发沿道路OM， MN行走至点N所经过的路径最长？ 请说明理由； （2） 如何设计， 才能使市民从点A出发沿道路AM， MN行走至点N所经过的路径最长？ 请说明理由 18（本小题满分16分） 在平面直角坐标系xOy中，己知圆C经过点(2，2)，(2，2)，且与直

6、线 2 20xy相切 （1）求圆C的方程； （2）设P是直线l：x4上的任意一点，过点P作圆C的切线，切点为M，N求证： 直线MN过定点 （记为Q） ； 设直线PQ与圆C交于点A， B， 与y轴交于点D 若D AQ A， DBQB，求 的值 19（本小题满分16分） 设函数 1 ( )lnf xaxbx x (a，b R) 4 （1）当b1时，函数( )f x有两个极值，求a的取值范围； （2）当ab1时，函数( )f x的最小值为2，求a的值； （3）对任意给定的正实数a，b，证明：存在实数 0 x，当 0 xx时，( )0f x 20（本小题满分16分） 己知 n a是各项都为正数的数列，

7、其前n项和为 n S，且 1 2 nn n Sa a （1）求证： 2 n S为等差数列； （2）设 ( 1)n n n b a ，求 n b的前n项和 n T； （3）求集合 2 2 1 ( , ),N 22 p m mp T T m pm p 第II卷（附加题，共40分） 21【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分， 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤 5 A选修42：矩阵与变换 已知矩阵A的逆矩阵 1 52 A 31 ，求点P(1，2)在矩阵A对应的变换作用下得到点Q 的坐标 B选修44：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知两条曲线的极坐标方

8、程分别为sin()1 3 与2，它们相 交于A，B两点，求线段AB的中点M的极坐标 C选修45：不等式选讲 已知a，b，cR，且abc3，a2b22c26，求a的取值范围 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演 算步骤 22（本小题满分10分） 6 如图，已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，且PAl，ABAC2，点D 满足ADAC，01 （1）当 1 2 ，求二面角PBDC的余弦值； （2）若直线PC与平面PBD所成角的正弦值为 2 5 15 ，求的值 23（本小题满分10分） 某高速公路全程设有2n(n4，Nn )个服务区为加强驾

9、驶人员的安全意识，现规划 在每个服务区的入口处设置醒目的宣传标语A或宣传标语B （1）若每个服务区入口处设置宣传标语A的概率为 2 3 ，入口处设置宣传标语B的服务区 有X个，求X的数学期望； （2）试探究全程两种宣传标语的设置比例，使得长途司机在走该高速全程中，随机选 取3个服务区休息，看到相同宣传标语的概率最小，并求出其最小值 江苏省南通市基地学校2020届高三第三次大联考 7 数学试题 第I卷（必做题，共160分） 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位 置上） 1己知集合A0，2，B1，0，则集合AB 答案：1，0，2 考点：集合并集运算 解析

10、：集合A0，2，B1，0， 集合AB1，0，2 2若复数zi (a2i)的模为4，其中i是虚数单位，则正实数a的值为 答案：2 3 考点：复数 解析：i (2i)2izaa ， 2 44a，2 3a 3右图是一个算法流程图，则输出的n的值为 答案：5 考点：程序框图 解析：241617，253217，故输出的n的值为5 4某工厂有A，B，C三个车间，共270名工人，各车间男、女工人人数如下表： 车间A 车间B 车间C 女工人 20 60 a 男工人 40 30 b 现用分层抽样的方法在全厂抽取54名工人，则应在车间C抽取的工人人数为 答案：24 考点：分层抽样 解析：2706090120， 1

11、20 5424 270 8 5一只口袋内装有形状、大小完全相同的4只小球，其中2只白球、2只红球，从中一次随机 摸出2只球，则摸出的2只球颜色不同的概率为 答案： 2 3 考点：随机事件的概率 解析： 11 22 2 4 2 3 C C P C 6设xR，则“ 2 4x ”是“24 x ”的 条件（选填“充分不必要”、“必要 不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”之一） 答案：必要不充分 考点：充要性 解析： 2 422xxx 或，242 x x， “ 2 4x ”是“24 x ”的必要不充分条件 7在平面直角坐标系中，若双曲线 2 2 1 4 y x 的渐近线与圆x2y25相交于A，B，C

12、，D 四点，则四边形ABCD的面积为 答案：8 考点：双曲线的简单性质 解析：双曲线 2 2 1 4 y x 的渐近线为2yx ，可知四边形ABCD是矩形， 求得四点坐标为(1，2)、(1，2)，(1，2)，(1，2)， 故该矩形长为4，宽为2，面积为8 8已知直线yex1是曲线yex+a的一条切线，则实数a的值为 答案：1 考点：利用导数研究函数的切线 解析：exy ，ee x ，1x ，切点坐标为(1，e1)，e1ea，a1 9如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，D为AA1的中点设四面体C1B1CD 的体积为V1，直三棱柱ABCA1B1C1的体积为V2，则 1 2 V V 的

13、值为 9 答案： 1 3 考点：棱柱棱锥的体积 解析： 11111111 1 1 1CBCDD BCCABCCC A BC VVVVV 1 1 11 1 1 12 111 333 A B CABC A B C SCCVV 1 2 1 3 V V 10在平面直角坐标系xOy中，己知A，B，F分别为椭圆C： 22 22 1 xy ab （ab0）左顶 点、上顶点和左焦点（如图），过点F作x轴的垂线与椭圆交于M，N两点，直线BN与x 轴交于点 D若OA2OD，则椭圆C的离心率为 答案： 4 5 考点：椭圆的性质 解析： 2 222 4 2 (2) 5 2 ba c DFNFc a caac a OD

14、OBba ， 4 e 5 11已知等差数列 n a的前n项和为 n S，若 2 2 n Sn，则 1 125 () n n aa 的最小值为 答案：9 10 考点：等差数列与基本不等式 解析：根据 2 2 n Sn，求得42 n an， 1 2a ， 1 22 (4) 12525125125 ()() 2222 2424 44 n nn nn n aan nnnn 25 (21)26 2 2526 21 9 44 n n ， 当且仅当n3时取“” 12已知函数 2 22 ( ) 1 12 2 xxx f x xx ， ， ，则关于x的不等式()(1)fxfx的解集为 答案：(， 1 2 ) 考

15、点：函数与不等式 解析：根据题意可得函数( )f x在(，1)单调递减，在(1，)单调递增， 且 13 ( )( ) 22 ff，要使()(1)fxfx，则 1 2 x ，即 1 2 x ， 故不等式()(1)fxfx的解集为(， 1 2 ) 13如图，在四边形ABCD中，AB BCAD DC0，AC BD4，AB BD2 ， 则对角线BD的长为 11 答案：2 2 考点：平面向量数量积 解析：由AB BCAD DC0，的ABCADC90， 四边形ABCD的外接圆是以AC为直径的圆， 设AC，BD的中点分别为O，E，则OEBD， 21 22()2() 2 AC BDAO BDABBEEOBDA

16、B BDBD 结合AC BD4AC BD=1， 3 AB BD2AB BD= 2 ， 得 21 42( 2) 2 BD ， 2 8BD ，即对角线BD2 2 14已知函数 24 ( )ln(e1) x f x ，( )2g xxa若存在an，n+l(nZ)，使得关 于x的方程( )( )f xg x有四个不相等的实数解，则n的最大值为 答案：2 考点：函数与方程 解析：方程 24242 ( )( )ln(e1)2e1 e0 xxxa f xg xxa 令 242 ( )e1 e xxa h x ，xR，则显然( )h x为偶函数， 所以方程( )( )f xg x有四个实根函数 242 ( )

17、e1 e xx a h x ， x0有两个零点， 令 2 ext ，x0，则关于t的方程 2 e10 a tt ， 即 1 eat t 在( 2 e，)内有两个不相等的实根， 结合函数 1 yt t ， 2 et 的图像，得 22 2eee a ， 即 4 ln2ln(e1)2a， 从而存在n，n+l，使得 4 ln2ln(e1)2a， 4 ln(e1)2 ln21 n n ，结合nZ，得nmax2 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字 12 说明、证明过程或演算步骤） 15（本小题满分14分） 如图，EA平面ABC，DCEA，EA2DC，F是EB

18、的中点 （1）求证：DC平面ABC； （2）求证：DF平面ABC 证明：（1）因为EA平面ABC，AB，AC平面ABC， 所以EAAB，EAAC 又DCEA，所以DCAB，DCAC 因为ABACA，AB，AC平面ABC， 所以DC平面ABC （2）取AB中点M，连结CM，FM 在ABE中，F，M分别为EB，AB中点， FMEA，且EA2FM 又DCEA且EA2DC， 于是DCFM，且DCFM 所以四边形DCMF为平行四边形 则DFCM，CM平面ABC，DF平面ABC， 所以DF平面ABC 16（本小题满分14分） 已知锐角三角形ABC中，sinC 3 5 ，sin(AB) 1 5 （1）求证：

19、tanA2tanB； （2）若AB边上的高为2，求边AB的长 解：（1）证明：在ABC中，ABC， 所以 3 sinsin() 5 CAB，即 3 sincoscossin 5 ABAB， 又 1 sin() 5 AB，即 1 sincoscossin 5 ABAB， 由得， 2 sincos 5 AB ， 1 cossin 5 AB 13 因为A，B 2 ，所以两式相除得， tan A2tan B （2）由题意， 22 tantan AB AB ，得 3 tan AB B ， 在ABC中， 2 4 cos1 sin 5 CC，所以 sin3 tan cos4 C C C 又 tantan t

20、antan()tan() 1 tantan AB CABAB AB 2 3tan3 1 2tan4 B B ， 即 2 2tan4tan10BB ，解得 6 tan1 2 B ， 所以AB3 66 17（本小题满分14分） 如图， 某地有一块半径为R的扇形AOB公园， 其中O为扇形所在圆的圆心，AOB120， OA，OB，AB为公园原有道路为满足市民观赏和健身的需要，市政部门拟在AB上选取 一点M，新建道路OM及与OA平行的道路MN（点N在线段OB上），设AOM （1） 如何设计， 才能使市民从点O出发沿道路OM， MN行走至点N所经过的路径最长？ 请说明理由； （2） 如何设计， 才能使市民

21、从点A出发沿道路AM， MN行走至点N所经过的路径最长？ 请说明理由 解：（1）由题意知OMOAR，且060 在OMN中，由正弦定理得 sin(120)sin60 MNOM ， 14 于是 2 sin(120) 3 R MN 从而市民从点O出发沿道路OM，MN行走所经过的路径长 2 ( )sin(120) 3 R fOMMNR，060 当12090，即30时，( )f取最大值 即当30时，市民从点O出发沿道路OM，MN行走所经过的路径最长 （2）市民从点A出发沿道路AM，MN行走所经过的路径长 2 ()s i n (1 2 0) 3 R gA MM NR 231 (c o ss i n) 22

22、3 R R，060 2312 ()(s i nc o s)s i n (3 0 ) 2233 RR gRR 当060时， 11 sin(30 ) 22 ，从而( )0g恒成立， 所以( )g在区间(0， 3 上单调递增，所以当60时，( )g取最大值 即当60时，市民从点A出发沿道路AM，MN行走所经过的路径最长 18（本小题满分16分） 在平面直角坐标系xOy中，己知圆C经过点(2，2)，(2，2)，且与直线 2 20xy相切 （1）求圆C的方程； （2）设P是直线l：x4上的任意一点，过点P作圆C的切线，切点为M，N求证： 直线MN过定点 （记为Q） ； 设直线PQ与圆C交于点A， B，

23、与y轴交于点D 若D AQ A， DBQB，求 的值 解：（1）设圆C的方程为 222 ()()xaybr， 15 由题设， 222 222 (2)( 2) ( 2)(2) 2 2 2 abr abr ab r 解得0a ，0b ，2r ， 所以圆C的方程为 22 4xy （2）（i）设P(4， 0 y)， 因为PM，PN是圆C的两条切线， 所以PMMC，PNNC， 所以，P，M，N，C在以PC为直径的圆上， 该圆方程为 22 0 40xyxy y 设M( 1 x， 1 y)，N( 2 x， 2 y)，则 22 11101 40xyxy y 因为M( 1 x， 1 y)在圆C上，所以 22 1

24、1 4xy 由，得 101 440xy y，同理 202 440xy y 由此得直线MN的方程为 0 440xy y， 所以直线MN过定点(1，0) （ii）由（i），Q(1，0)，设直线PQ的方程为(1)yk x，则D(0，k) 设A( 3 x， 3 y)， B( 4 x， 4 y)， 由 22 (1) 4 yk x xy ， 得 2222 ( 1)24 0k xk x k ， 2 34 2 2 34 2 2 1 4 1 k xx k k x x k ，由DAQA，DBQB， 得 33 44 (1) (1) xx xx ，即 3 3 4 4 1 1 x x x x ， 3344 343434

25、 2 2 11() 1 xxxx xxx xxx 16 2 2 22 22 2 2 28 1 22 4233 1 11 k k kk kk 19（本小题满分16分） 设函数 1 ( )lnf xaxbx x (a，b R) （1）当b1时，函数( )f x有两个极值，求a的取值范围； （2）当ab1时，函数( )f x的最小值为2，求a的值； （3）对任意给定的正实数a，b，证明：存在实数 0 x，当 0 xx时，( )0f x 解：（1）当1b时， 1 ( )lnf xaxx x ， 2 22 111 ( ) axx fxa xxx ， 若函数( )f x有两个极值，则 0 1 0 2 14

26、0 a a a ，解得 1 0 4 a， 故a的取值范围是( 1 4 ，0)， （2）当1ab时， 1 ( )(1)lnf xaxax x ， 22 11(1)(1) ( ) axax fxa xxx ， 当a0时，( )0fx，( )f x是(0，)上的减函数， 函数( )f x无最小值，舍去； 当a0时，由( )0fx得， 1 x a ， ( )f x在(0， 1 a )上单调递减，在( 1 a ，)上单调递增， 17 函数( )f x的最小值为 1 ( )1(1)lnfaaa a ， 由1(1)ln2aaa，得(1)(1 ln )0aa， 解得1a 或ea， （3）对任意给定的正实数a，

27、b，有 1 ( )lnlnf xaxbxaxbx x ， 设( )ln(ln )g xaxbxaxb xbxx， 设lnyxx，x0，则 112 22 x y xxx ， 易知当x4时， min 22ln20y，故ln0yxx， 又由0axb x，得 2 ( ) b x a ， 对于任意给定的正实数a，b，取 0 x为 2 ( ) b a 与4中的较大者， 则当 0 xx时，恒有( )0g x ，即当 0 xx时，( )0f x 20（本小题满分16分） 己知 n a是各项都为正数的数列，其前n项和为 n S，且 1 2 nn n Sa a （1）求证： 2 n S为等差数列； （2）设 (

28、1)n n n b a ，求 n b的前n项和 n T； （3）求集合 2 2 1 ( , ),N 22 p m mp T T m pm p 解：（1） 1 2 nn n Sa a ， 2 21 nnn S aa， 当n2，Nn 时， 2 11 2()()1 nnnnn SSSSS ， 即 22 1 1 nn SS (n2，Nn ) 18 又n1时， 11 1 1 2Sa a ，得 1 1a （舍负） 2 n S是以1为首项，1为公差的等差数列， （2）由（1）知， 2 11 n Snn ， 又 n a是各项都为正数，0 n S ， n Sn， 当n2，Nn 时， 1 1 nnn aSSnn

29、， 又 1 1a ，1 n ann(Nn )， 于是 ( 1) ( 1) (1) 1 n n n bnn nn ， 当n为奇数时， 123nn Tbbbb 1(21)(32 )(43 )(1 )nn n 当n为偶数时， 123nn Tbbbb 1(21)(32 )(43 )(1 )nn n ( 1)n n Tn ， （3）由 2 2 1 22 p m mp T T 得 1 22 mp mp ，即2 22 mp mp ， 设 2 n n n c ，则 1 11 11 222 nn nnn nnn cc ， 12345 ccccc， 由2 22 mp mp ，2 pmm ccc，mp，则+1mp，

30、 当+1mp时，2 22 mp mp 显然不成立； 19 当+1mp时，2 22 mp mp ，则 1 2m p m p ， 记1mpt ，则Nt ， 1 2t pt p ，得 1 21 t t p ， 记 1 21 n n n d ，则 1 11 2121 0 2121(21)(21) n nn nnnn nnn dd 恒成立， 故数列 n d单调递减， 又 1 2d ， 2 1d ， 3 4 1 7 d ，则n3时，1 n d 恒成立， 从而方程 1 21 t t p 的解为t1，p2或t2，p1， 满足条件的m，p存在，m4，p1或m4，p2， 2 2 1 ( , ),N(4,1),(4

31、,2) 22 p m mp T T m pm p 第II卷（附加题，共40分） 21【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤 A选修42：矩阵与变换 已知矩阵A的逆矩阵 1 52 A 31 ，求点P(1，2)在矩阵A对应的变换作用下得到点Q 的坐标 解：设A a b c d ，则 1 5 21 0 3 10 1 a b AA c d ， 20 所以 531 20 530 21 ab ab cd cd ，解得 1 2 3 5 a b c d ，A 1 2 3 5 因为 1 213 3 527 ， 所以点P(1，2)

32、在矩阵A对应的变换作用下得到点Q的坐标为(3，7) B选修44：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知两条曲线的极坐标方程分别为sin()1 3 与2，它们相 交于A，B两点，求线段AB的中点M的极坐标 解：将sin()1 3 化为普通方程为320xy， 将2化为普通方程为 22 4xy， 联立 22 320 4 xy xy ，消y得，所以x0或x3， 所以AB的中点M的直角坐标为( 3 2 ， 1 2 )， 所以点M的极坐标为(1， 6 ) C选修45：不等式选讲 已知a，b，cR，且abc3，a2b22c26，求a的取值范围 解：因为 22222 21 62(2)(1) 32 abcbc 2

33、2 22 ()(3) 33 bca， 即 2 5120aa，所以 12 0 5 a 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程 或演算步骤 21 22（本小题满分10分） 如图，已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，且PAl，ABAC2，点D 满足ADAC，01 （1）当 1 2 ，求二面角PBDC的余弦值； （2）若直线PC与平面PBD所成角的正弦值为 2 5 15 ，求的值 解：（1）三棱锥 PABC中，因为PA平面 ABC， 所以APAB，APAC， 又ABAC，所以，可以以 AB,AC,AP为正交基底，建立如图所示空间直角 坐标系Ax

34、yz 因为PA1，ABAC2， 所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，1) 所以(0,2 ,0)ADAC，即D(0,2 ,0)， 所以(2,0, 1)PB ，(0,2 , 1)PD， 设平面PBD的法向量为 1111 ( ,)nx y z， 则 111 111 20 20 n PBxz n PDyz ，取 1 ( ,1,2 )n， 当 1 2 时， 1 1 ( ,1,1) 2 n ，又可取 2 (0,0,1)n 为平面BDC的一个法向量， 22 所以 12 12 12 12 cos, 39 4 n n n n nn ， 由图可知二面角PBDC的余弦值为 2 3

35、， （2）(0,2, 1)PC ，平面PBD的一个法向量为 1 ( ,1,2 )n， 设直线PC与平面PBD所成角为， 则 1 1 2 1 22 sincos, 51 5 PC n PC n PCn ， 结合题设，得 2 222 5 15 51 5 ，即 2 2940， 解得 1 2 或4， 因为01，所以 1 2 23（本小题满分10分） 某高速公路全程设有2n(n4，Nn )个服务区为加强驾驶人员的安全意识，现规划 在每个服务区的入口处设置醒目的宣传标语A或宣传标语B （1）若每个服务区入口处设置宣传标语A的概率为 2 3 ，入口处设置宣传标语B的服务区 有X个，求X的数学期望； （2）试

36、探究全程两种宣传标语的设置比例，使得长途司机在走该高速全程中，随机选 取3个服务区休息，看到相同宣传标语的概率最小，并求出其最小值 解：（1）因为每个服务区入口处设置宣传标语A的概率为 2 3 ， 所以每个服务区入口处设置宣传标语B的概率为 1 3 ， 所以XB(2n， 1 3 )，所以 12 ()2 33 E Xnn （2）长途司机在走该高速全程中，随机的选取3个服务区，共有 3 2n C种选取方法 23 长途司机在走该高速全程中，随机的选取3个服务区， 记这3个服务区看到相同的宣传标语的事件数为M， 则其概率P 3 2n M C ， 设该高速公路全程2n(n4， nN)个服务区中， 入口处

37、设置醒目的宣传标语A 的有m(mN，m2n)个， 当323mn时， 33 2mn m MCC ， 令 33 2 ( ) mn m f mCC ，323mn， 则当324mn时， 33333333 12121221 (1)()()() mnmmnmmmnmnm fmfmCCCCCCCC 22 21 21 2(1)() 2 mn m n CCnm 所以当1mn时，(1)( )f mf m；当mn时，(1)( )f mf m， 所以当mn时， 3 min ( )( )2 n f mf nC 即 3 min ( )2 n Mf nC， 当3m，Nm时， 3 2n m MC ， 显然 333 22122

38、nnn CCC ，所以 33 222n mn MCC ， 因为4n，所以23nn ， 所以 3 22 (22)(23)(24)4(1)(2)(23) 66 n nnnnnn C ， 33 4(1)(2) 42 4 nn nnn CC 即 3 2 n MC， 当232nmn ，Nm时， 3 m MC 因为232nmn ，Nm时，22mn，或21mn，或2mn， 所以同， 3 2 n MC， 24 综上，mn时， 3 min ( )2 n Mf nC， 3 min min 33 22 22 42 n nn CMn P CCn ， 即两种宣传标语1：1设置时，符合题设的概率最小，其最小值为 2 42 n n