2019-2020学年天津市南开中学高三下学期第四次月考数学试卷（含答案解析）

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1、2019-2020 学年高三第二学期第四次月考数学试卷学年高三第二学期第四次月考数学试卷一、选择题（共 9 小题） 1已知集合 Ax|x22x30，集合 BxZ|x24x，则RAB（） Ax|0x3 B1，0，1，2，3 C0，1，2，3 D1，2 2祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等设 A，B 为两个同高的几何体，p：A，B 的体积相等，q：A，B 在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知，p 是 q 的（） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件

2、 3已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）f（x），且函数 f（x）在（，0）上是减函数，若，，，则 a， b， c 的大小关系为（） Aacb Bcba Cbca Dcab 4函数的一个单调递增区间是（） A ， B ， C ， D ， 5数列an满足：an+1an1（nN*，R 且 0），若数列an1是等比数列，则的值等于（） A1 B1 C D2 6已知双曲线，的一个焦点与抛物线 y 28x 的焦点 F 重合，抛物线的准线与双曲线交于 A，B 两点，且OAB 的面积为 6（O 为原点），则双曲线的方程为（） A B C D 7设 e1e2分别为

3、具有公共焦点 F1与 F2的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 0，则的值为（） A B1 C2 D4 8已知函数，的图象过点，，且在，上单调，把f （x）的图象向右平移个单位之后与原来的图象重合，当，，且x 1 x2时，f（x1）f（x2），则 f（x1+x2）（） A B C1 D1 9已知函数 f（x）|x3+a|，aR 在1，1上的最大值为 M（a），若函数 g（x）M（x） |x2+t|有 4 个零点，则实数 t 的取值范围为（） A（1，） B（，1） C（，1）（1，） D（，1）（1，2）二、填空题（共 6 小题；共

4、 30 分） 10若 z 是复数，z ，则 z 11 二项式（） n 的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值则展开式中项的系数是 12一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为 13在平行四边形 ABCD 中，| |2，| |4，ABC60，E，F 分别是 BC，CD 的中点，DE 与 AF 交于 H，则的值是 14已知实数 x，y 满足 x2+y23，则的最小值为 15已知函数，，，函数 g（x）f（x）kx+1 有四个零点，则实数 k 的取值范围是三、解答题（共 5 小题；共 75 分） 16某校开展学生社会法治服务项目，共设置了文明交

5、通，社区服务，环保宣传和中国传统文化宣讲四个项目，现有该校的甲、乙、丙、丁 4 名学生，每名学生必须且只能选择 1 项（）求恰有 2 个项目没有被这 4 名学生选择的概率；（）求“环保宣传”被这 4 名学生选择的人数的分布列及其数学期望 17如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ABCD，ABAD，PAAB，AB 2，AD ，CD1 （1）证明：BDPC；（2）求二面角 APCD 的余弦值；（3）设 Q 为线段 PD 上的点，且直线 AQ 和平面 PAC 所成角的正弦值为，求的值 18已知椭圆 C： 1（ab0）的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构

6、成的三角形面积为（）求椭圆 C 的方程；（）设与圆 O： x2+y2 相切的直线 l 交椭圆 C 于 A， B 两点（O 为坐标原点），求|OA|cos OAB 的最大值 19已知数列an满足，（1）设，求数列bn的通项公式；（2）求数列an的前 n 项和 Sn；（3）记，求数列cn的前 n 项和 Tn 20已知函数 f（x）lnxmx，mR （）求 f（x）的极值；（）证明：m0 时，exf（x+2）（）若函数 g（x）（xe）f（x）有且只有三个不同的零点，分别记为 x1，x2，x3，设 x1x2x3且的最大值是 e 2，证明：x 1x3 参考答案一、选择

8、暅原理：“幂势既同，则积不容异”它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等设 A，B 为两个同高的几何体，p：A，B 的体积相等，q：A，B 在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知，p 是 q 的（） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】由 qp，反之不成立即可得出解：由 qp，反之不成立 p 是 q 的必要不充分条件故选：B 【点评】本题考查了祖暅原理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）f（x），且函

9、数 f（x）在（，0）上是减函数，若，，，则 a， b， c 的大小关系为（） Aacb Bcba Cbca Dcab 【分析】根据题意，由偶函数的定义可得函数 f（x）为偶函数，结合偶函数的性质可得 a f（2cos ）f（2cos ）f（1），bf（）f（log24.1），进而分析可得 f （x）在（0，+）上为增函数，又由 120.82log24.1，据此分析可得答案解：根据题意，函数 f（x）满足 f（x）f（x），则函数 f（x）为偶函数， af（2cos ）f（2cos ）f（1），bf（）f（log24.1）cf（20.8），又由函数 f（x）在（，0）上

10、是减函数，则 f（x）在（0，+）上为增函数，且 120.82log24.1，则 acb；故选：A 【点评】本题考查函数的奇偶性有单调性的综合应用，涉及对数大小的比较，属于基础题 4函数的一个单调递增区间是（） A ， B ， C ， D ，【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得 f（x）的一个增区间解：对于函数 3cos（ 2x）3cos（2x ），令2k2x 2k，求得k xk ，可得函数的增区间为k ， k ， kZ，令 k1，可得选项 A 正确，故选：A 【点评】本题主要考查诱导公式、余弦函数的单调性，属于基础题 5数列an满足：

11、an+1an1（nN*，R 且 0），若数列an1是等比数列，则的值等于（） A1 B1 C D2 【分析】把已知数列递推式变形，由数列an1是等比数列求得的值解：由 an+1an1，得由于数列an1是等比数列，，得 2，故选：D 【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比关系的确定，是基础题 6已知双曲线，的一个焦点与抛物线 y 28x 的焦点 F 重合，抛物线的准线与双曲线交于 A，B 两点，且OAB 的面积为 6（O 为原点），则双曲线的方程为（） A B C D 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，可得双曲线的 c，由三角形的面积公式可得 A 的坐标，由双曲

12、线的定义可得 a，进而得到 b，可得双曲线的方程解：抛物线 y28x 的焦点 F 为（2，0），可得双曲线的焦点分别为）2，0），（2，0），抛物线的准线为 x2，由OAB 的面积为 6，可得 2|AB|6，即|AB|6，可设 A（2，3），可得 A 到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值为 | 3|2，即 2a2，可得 a1，由 b ，可得双曲线的方程为 x2 1 故选：D 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题 7设 e1e2分别为具有公共焦点 F1与 F2的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 0，则的值为（）

13、 A B1 C2 D4 【分析】椭圆的长半轴是 a1，双曲线的实半轴是 a2，它们的半焦距是 c 并设 PF1m， PF2 n，mn，根据椭圆的和双曲线的定义可得 m+n2a1，mn2a2，写出两个曲线的离心率，代入要求的式子得到结果解：设椭圆的长半轴是 a1，双曲线的实半轴是 a2，它们的半焦距是 c 并设 PF1m，PF2n，mn，根据椭圆的和双曲线的定义可得 m+n2a1 mn2a2 解得 ma1+a2，na1a2 又，由勾股定理得 PF12+PF22F1F22 （a1+a2）2+（a1a2）2（2c）2 化简可得 a12+a222c2 2 故选：C 【点评】本题考查圆锥曲线

14、的共同特征，本题解题的关键是得到两个曲线的参数之间的关系，本题是一个基础题 8已知函数，的图象过点，，且在，上单调，把f （x）的图象向右平移个单位之后与原来的图象重合，当，，且x 1 x2时，f（x1）f（x2），则 f（x1+x2）（） A B C1 D1 【分析】利用正弦函数的周期性和单调性，函数 yAsin（x+）的图象变换规律，求得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得 x1+x2的值，可得 f （x1+x2）的值解：函数，的图象过点，，2sin ， f（x）在，上单调，，03 把 f（x）的图象向右平移个单位之后与原来

15、的图象重合， k ，kZ，2， f（x）2sin（2x ）当，，且 x 1x2时，2x （，3），若 f（x1）f（x2），则 x1+x2 2 5， f（x1+x2）2sin（10 ）2sin ，故选：B 【点评】本题主要考查正弦函数的周期性和单调性，函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题 9已知函数 f（x）|x3+a|，aR 在1，1上的最大值为 M（a），若函数 g（x）M（x） |x2+t|有 4 个零点，则实数 t 的取值范围为（） A（1，） B（，1） C（，1）（1，） D（，1）（1，2）【分析】根据条件求出函数 M（

16、a）的表达式，然后由 g（x）0 得 M（x）|x2+t|，利用函数 g（x）M（x）|x2+t|有 4 个零点，建立条件关系即可求出 t 的取值范围解：当 a0 时， f （x） |x3+a|x3|为偶函数，此时最大值为 M （a） M （1） M （1），当 a0 时，函数在1，1上的最大值为 M（a）f（1）|1+a|a+1，当 a0 时，函数在1，1上的最大值为 M（a）f（1）|1+a|1a，即 M（a），， M（x），，由 g（x）M（x）|x2+t|0 得 M（x）|x2+t|，设函数 M（x），m（x）|x2+t|，作出两个函数的图象如图：若 t

17、0，要使 g（x）M（x）|x2+t|有 4 个零点，则两个图象的交点个数有 4 个，此时满足 m（0）M（0），即|t|1，解得 t1 若 t0，则 m（x）|x2+t|x2+t，当抛物线过点（0，1）时，t1 当抛物线与直线相切时，当 x0 时，由，此时 x 2x+（t1）0，由判别式14（t1）54t0，解得 t 要使 g（x）M（x）|x2+t|有 4 个零点，则两个图象的交点个数有 4 个，此时满足 1 综上 t1 或 1 故选：C 【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，根据条件求出 M（a）的表达式是本题的难点注意对 t 要进行分类

18、讨论综合性较强，难点交大二、填空题（共 6 小题；共 30 分） 10若 z 是复数，z ，则 z 【分析】由商的模等于模的商，结合求解解：z ， z |z|2 故答案为：【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题 11 二项式（） n 的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值则展开式中项的系数是【分析】由二项式定理及展开式的通项公式得：Tr+1 （） 10r （） r（1）r22r 10 x ，令得： r3，即展开式中项的系数是（1） 324 ，得解解：因为二项式（） n 的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值所以展

19、开式共有 11 项，则 n+111，即 n10，则二项式（） 10 的展开式的通项为 Tr+1 （）10 r （） r（1）r22r 10 x ，令得：r3，即展开式中项的系数是（1）32 4 ，故答案为：【点评】本题考查了二项式定理及展开式的通项公式，属中档题 12一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为【分析】根据中位数的公式代入即可解：设中位数为 a，则 0.024+0.084+（a10）0.090.5，解之得 a ，故答案为为：【点评】本题考查中位数，熟悉掌握中位数的公式，属于基础题 13在平行四边形 ABCD 中，| |2，

20、| |4，ABC60，E，F 分别是 BC，CD 的中点，DE 与 AF 交于 H，则的值是【分析】过点 F 作 BC 的平行线交 DE 于 G，计算出 GF AD，求出和的向量，利用向量数量积的定义和公式计算即可解：过点 F 作 BC 的平行线交 DE 于 G，则 G 是 DE 的中点，且 GF EC BC GF AD，则AHDGHF 从而 FH AH，，，则，，则（）（） 16 2 4 4 ，故答案为：【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据条件求出和的表达式是解决本题的关键 14已知实数 x，y 满足 x2+y23，则的最小值为

21、【分析】设（2x+y）2m （x2y）2n，可知 n+m（2x+y）2+（x2y）25（x2+y2） 15 是定值，即可利用基本不等式的性质求解解：设（2x+y）2m，（x2y）2n，可知 n+m（2x+y）2+（x2y）25（x2+y2） 15，则（5 ）当且仅当，即 n2m，也即 n10，m5 时取等号故答案为：【点评】本题主要考查了基本不等式性质的构造，确定（2x+y） 2+（x2y）25（x2+y2） 15 是定值是解题的关键，属于中档题 15已知函数，，，函数 g（x）f（x）kx+1 有四个零点，则实数 k 的取值范围是，【分析】根据函数与方程的关系，利用

22、参数分离法转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可解：由 g（x）f（x）kx+10 得 kxf（x）+1，当 x0 时，0f（0）+10+1 不成立，即 x0，则 k ，若 g（x）有四个零点，则等价为 k 有四个不同的根，设 h（x），则当 x0 时，h（x） lnx 2， h（x），则当 x1 时，h（x）0，函数为增函数，当 0x1 时，h（x）0，函数为减函数，即此时当 x1 时，h（x）取得极小值，极小值为 h（1）1，当 x+，f（x）+，当 x0 时，h（x） x ， h（x）1 ，由 h（x）0 得 x1（舍）或 x1，此时函数为增函

23、数，由 h（x）0 得1x0，此时 h（x）为减函数，即当 x1 时，h（x）取得极大值，极大值为 h（1）11 ，作出函数 h（x）的图象如图：要使 k 有四个根，则满足1k ，即实数 k 的取值范围是（1，），故答案为：（1，）【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，转化为两个函数交点个数，求函数的导数，研究函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键三、解答题（共 5 小题；共 75 分） 16某校开展学生社会法治服务项目，共设置了文明交通，社区服务，环保宣传和中国传统文化宣讲四个项目，现有该校的甲、乙、丙、丁 4 名学生，每名学生必须且只能选

24、择 1 项（）求恰有 2 个项目没有被这 4 名学生选择的概率；（）求“环保宣传”被这 4 名学生选择的人数的分布列及其数学期望【分析】（）基本事件总数 n44256，恰有 2 个项目没有被这 4 名学生选择包含的基本事件个数 m 84，由此能求出恰有 2 个项目没有被这 4 名学生选择的概率（）“环保宣传”被这 4 名学生选择的人数的可能取值为 0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和 E（）解：（）某校开展学生社会法治服务项目，共设置了文明交通，社区服务，环保宣传和中国传统文化宣讲四个项目，现有该校的甲、乙、丙、丁 4 名学生，每名学生必须且

25、只能选择 1 项基本事件总数 n44256，恰有 2 个项目没有被这 4 名学生选择包含的基本事件个数 m 84，恰有 2 个项目没有被这 4 名学生选择的概率 p （）“环保宣传”被这 4 名学生选择的人数的可能取值为 0，1，2，3，4， P（0）， P（1）， P（2）， P（3）， P（4），的分布列为： 0 1 2 3 4 P E（） 4 1 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 17如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ABCD，ABAD，PAAB，A

26、B 2，AD ，CD1 （1）证明：BDPC；（2）求二面角 APCD 的余弦值；（3）设 Q 为线段 PD 上的点，且直线 AQ 和平面 PAC 所成角的正弦值为，求的值【分析】（1）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 BDPC （2）求出平面 APC 的法向量和平面 PCD 的法向量，利用向量法能求出二面角 APC D 的余弦值（3）设 Q 为线段 PD 上的点， Q （a， b， c），， 01，求出（0，，），由平面 PAC 的法向量（，1，0），且直线 AQ 和平面 P

27、AC 所成角的正弦值为，利用向量法能求出结果解：（1）证明：在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD， ABCD，ABAD，PAAB，AB2，AD ，CD1 以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 B（2，0，0），D（0，，0），P（0，0，2），C（1，，0），（2，，0），（1，，0）， 0，BDPC （2）解：A（0，0，0），（0，0，2），（1，，0），设平面 APC 的法向量（x，y，z），则，取 x ，得（，1，0），平面 PCD 的法向量（1，0，0），设二面角 APCD 的

28、平面角为，则 cos 二面角 APCD 的余弦值为（3）解：设 Q 为线段 PD 上的点，Q（a，b，c），，01，则（a，b，c2）（0，，2），解得，，c22， Q（0，，22），（0，，），平面 PAC 的法向量（， 1， 0），且直线 AQ 和平面 PAC 所成角的正弦值为，，解得或 2（舍），【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面角的正弦值的两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 18已知椭圆 C： 1（ab0）的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的

29、连线构成的三角形面积为（）求椭圆 C 的方程；（）设与圆 O： x2+y2 相切的直线 l 交椭圆 C 于 A， B 两点（O 为坐标原点），求|OA|cos OAB 的最大值【分析】（）由已知可得关于 a，b，c 的方程组，求解可得 a，b，c 的值，则椭圆方程可求；（）由题意可知，k 存在，设直线为 ykx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线 y kx+m 代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件得 m 与 k 的关系，结合基本不等式即可得到|OA|cosOAB 的最大值解：（）由题意可得，e ，a2b2c2，bc ，解得 a ，b

30、1，c ，即有椭圆的方程为 y 21；（）由题意可知，k 存在，设直线为 ykx+m（k0），A（x1，y1），B（x2，y2）， |OA|cosOAB |AT| 将直线 ykx+m 代入椭圆方程可得（1+3k2）x2+6kmx+3m230， x1+x2 ，x 1x2 ，由直线 l 与圆 O：x2+y2 相切，可得，即有 4m23（1+k2）， |AB| ，当且仅当 9k2 ，即 k 时等号成立 |OA|cosOAB 的最大值为 2 【点评】本题考查椭圆的方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，属于中档题 19已知数列an满足，（1）设，求数列

31、bn的通项公式；（2）求数列an的前 n 项和 Sn；（3）记，求数列cn的前 n 项和 Tn 【分析】（1）利用已知条件两边同除 2n+1，推出数列bn是等差数列，然后求解的通项公式（2）利用数列bn的通项公式，求解数列an的通项公式，然后通过错位相减法求和即可（3）化简通项公式，利用裂项求和求解即可解：（1）数列an满足，，可得：，设，数列 bn是等差数列，公差为 1，首项为 1，所以 bnn；（2）易得，其前 n 项和：Sn1 21+2 22+3 23+n 2n， 2Sn1 22+2 23+n 2n+1，可得：Sn122232n+n 2n+1 ；（

32、3），或写成【点评】本题考查数列通项公式的求法，数列求和的应用，考查计算能力 20已知函数 f（x）lnxmx，m一、选择题（）求 f（x）的极值；（）证明：m0 时，exf（x+2）（）若函数 g（x）（xe）f（x）有且只有三个不同的零点，分别记为 x1，x2，x3，设 x1x2x3且的最大值是 e 2，证明：x 1x3 【分析】（）求导，讨论得出函数的单调性情况，进而求得极值；（）将 m0 代入，构造函数 F（x），只需函数 F（x）的最小值大于 0 即可得证；（）显然，x2e，且分析可知 0x1e，x3e，通过换元，降元可得，，，进而构造函数得证解：（）函数

33、的定义域为（0，+）由已知可得，当 m0 时，f（x）0，故 f（x）在区间（0，+）上单调递增，f （x）无极值；当 m0 时，由 f（x）0，解得；由 f（x）0，解得，所以函数 f（x）在，上单调递增，在，上单调递减，f （x）的极大值为，无极小值；（）证明：令 F（x）exf（x+2）exln（x+2）（x2），故只需证明 F（x） 0，函数在（2，+）上为增函数，且 F（1）0，F（0）0，故 F（x）0 在（2，+）上有唯一实数根 x0，且 x0（1，0），，则 ln（x0+2）x0，当 x（2，x0）时，F（x）0，当 x（x0，+）时，F

34、（x）0，从而当 xx0时，F（x）取得最小值，故，综上，m0 时，exf（x+2）；（）证明：函数 g（x）（xe）（lnxmx）有且只有三个不同的零点，显然 xe 是其零点，函数 f（x）lnxmx 存在两个零点，即 lnxmx0 有两个不等的实数根，可转化为方程在区间（0，+）上有两个不等的实数根，即函数 ym 的图象与函数的图象有两个交点，，由 h（x0）0，解得 0xe，故 h（x）在（0，e）上单调递增；由 h（x0）0，解得 xe，故 h（x）在（e，+）上单调递减；故函数 ym 的图象与的图象的交点分别在（0，e），（e，+）上，即 lnxmx0 的两个根分别在区间（0，e），（e，+）上， g（x）的三个不同的零点分别是 x1，e，x3，且 0x1e，x3e，令，则 t（1，e 2，由，解得，故，，，令，，，则，令，则， q（t）在区间（1，e2上单调递增，即 q（t）q（1）0， p（t）0，即 p（t）在区间（1，e2上单调递增，即，，即 x1x3 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查极值点偏移问题，考查转化思想，降元换元思想，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档偏上题目