高斯小学奥数五年级上册含答案_物不知数与同余
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1、第二十二讲 物不知数与同余 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 故事中的余数问题就是我们今天要研究的 “物不知数” 问题, 也称为中国古余数问题 简 单来说,这类问题就是先知道了除数和余数,反求被除数的问题通常在不同的题目中,余 数限制条件的数量也是不同的,但都是从一个条件入手,逐个条件的去满足 - - -
2、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 1 (1)一个数除以 21 余 17,除以 20 也余 17这个数最小是多少?第二小是多少? (2)一个数除以 11 余 7,除以 10 余 6这个数最小是多少?第二小是多少? 分析分析 (1)这个数除以 21 和 20 都余 17,那么减去 17 以后得到的差跟 2
3、1 和 20 有什么关 系呢: (2)除以 11 和 10 的余数不一样,所以不能同时减去一个数了反方向考虑一下? 练习 1 (1)一个自然数除以 4 余 3,除以 5 也余 3,这个自然数最小是多少? (2)一个自然数除以 5 余 1,除以 7 余 3,这个自然数最小是多少? 例题 2 (1)一个三位数除以 8 余 3,除以 12 也余 3这个三位数最小是多少? (2)一个三位数除以 6 余 1,除以 10 余 5这个三位数最小是多少? 分析分析看起来和例题 1 没有太多区别不过要小心哦,8 和 12 的最小公倍数是8 1296 吗? 练习 2 一个三位数除以 4 余 3,除以 6 也余 3
4、这个三位数最大是多少? 例题 3 (1)一个数除以 7 余 2,除以 11 余 1这个数最小是多少? (2)有一队解放军战士,人数在 150 人到 200 人之间,从第一个开始依次按 1,2,3, 9 的顺序报数,最后一名战士报的数是 3;如果按 1,2,3,7 的顺序报数,最后一名 战士报的数是 4请问:一共有多少名战士? 分析分析所求自然数要满足两个余数条件,直接处理并不容易,但我们可以先让它满足其中 一个余数条件,在此前提下满足另一个余数条件 练习 3 一个三位数除以 5 余 2,除以 7 余 3这个三位数最小是多少? 如果两个数除以同一个数,所得的余数相同,我们称这两个数同余例如 19
5、5 除以 9 余 6,15 除以 9 也余 6,我们就说“195 和 15 除以 9 同余” 我们之前总结的余数性质以及余数的可替代性都是在同余的前提下进行的,例如 195 与 它的数字和除以 9 是同余的,1135 与它的末两位数字除以 4 是同余的而处理余数问题的 方法,除了用余数性质、余数可替代性以及分解求余几种方法以外,我们还有一个极其有用 的手段:转化成整除问题!195 与 15 除以 9 的时候同余,19515180则是 9 的倍数;1135 与 35 除以 4 的时候同余,则1135351100是 4 的倍数也就是说: 如果两个数除以第三个数余数相同,则这两个数的差能被第三个数整
6、除反之亦然 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 4 (1)1024 除以一个两位数,余数为 23,那么这个两位数可能是多少? (2)100 和 84 除以同一个数,得到的余数相同,但余数不为 0这个除数可能是多少? 分析分析 (1)由被除数 除数商余数,被除数是 1024,余数是
7、23,说明除数和商要满 足什么条件?(2)利用同余的定义就可以解决这个问题 练习 4 (1)用 150 除以一个整数,所得余数是 15,请问:这个除数可能是多少? (2)80 和 56 除以同一个数,得到的余数相同,但余数不为 0这个除数可能是多少? 例题 5 刘叔叔养了 400 多只兔子如果每 3 只兔子关在一个笼子里,那么最后一个笼子里有 2 只; 如果每 5 只兔子关在一个笼子里, 那么最后一个笼子里也有 2 只; 如果每 7 只兔子关在一个 笼子里,那么最后一个笼子里有 5 只请问:刘叔叔一共养了多少只兔子? 分析分析兔子数量要满足哪些余数条件? 例题 6 把63个苹果, 90个桔子,
8、 130个梨平均分给一些同学, 最后一共剩下25个水果没有分出去 请 问:剩下个数最多的水果剩下多少个? 分析分析这些同学一共分了多少个水果?人数和分掉的水果数有什么关系? 未来的数学家 节选自怎样解题乔治波利亚 未来的数学家应该是一个聪明的解题者, 但仅仅做一个聪明的解题者是不够的 在适当 的时候, 他应该去解答重大的数学题目, 而首先他应该搞清楚他的天资特别适合于哪种类型 的题目 对他来说, 工作中最重要的那部分就是回去再看一下完整的解答 通过考察他的工作过 程和最后的解答形式,他会发现要认识的东西真是千变万化,层出不穷他可以深思题目的 困难之处及决定性的观念,他可以尝试去了解是什么阻碍了
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