湖南省邵阳市2020届高三二模数学试卷（文科）含答案

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1、高三数学试卷高三数学试卷（文科文科） 考生注意考生注意： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分考试时间 120 分钟 2请将各题答案填写在答题卡上 3本试卷主要考试内容：高考全部内容 第卷第卷 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题只有一项是符合题 目要求的目要求的 1已知集合30|Ax x，540|Bxxx，则AB A3,5 B4, 3 C3,4 D5, 3 2已知, x yR，31xi iyxi，则 A0xy B0xy C2xy D2xy 3

2、若双曲线 22 : 23 xy C m 的一条渐近线方程为230xy，则m A 3 2 B 2 3 C 8 27 D 27 8 4某地区城乡居民储蓄存款年底余额（单位：亿元）如图所示，下列判断一定不正确的是 A城乡居民储蓄存款年底余额逐年增长 B农村居民的存款年底余额所占比重逐年上升 C到 2019 年农村居民存款年底总余额已超过了城镇居民存款年底总余额 D城镇居民存款年底余额所占的比重逐年下降 5已知向量(2,1)a ，,3bm，且 3 | a b a ，则m A2 B2 C3 D3 6设 x，y 满足约束条件 1 2 2 yx x y x y ，则4zxy的最大值为 A2 B4 C0 D2

3、 7从集合4|AxxN中任意取出两个不同的元素，则取出的两元素之和为奇数的概率是 A 2 5 B 3 5 C 2 3 D 1 2 8在ABC中，A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且3b ，3 3c ，30B ，ab，则 AC 边上的 高线的长为 A 3 3 2 B 3 2 C 9 2 D3 3 9如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，M，N，P 分别是 11 C D，BC， 11 AD的中点，有下列四个结论： AP 与 CM 是异面直线； AP，CM， 1 DD相交于一点； 1 / /MNBD； / /MN平面 11 BB D D 其中所有正确结论的编号是 A B C D 10

4、“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子 而 提 出 ， 故 又 称 该 数 列 为 “ 兔 子 数 列 ” ， 斐 波 那 契 数 列 n a满 足 1 1a ， 2 1a ， * 12 3, nnn aaann N下图是输出斐波那契数列的一个算法流程图，现要输出斐波那契数列 的前 50 项，则图中的空白输出框应填入 AAB，BC BBA，CB CCA，BC DAC，CB 11 过抛物线 2 :16C yx的焦点F作直线l， 且直线l与C及其准线分别相交于A， B， D三点， 若3ADBD， 则 A直线 l 的斜率为 3 3 B直线 l 的斜率

5、为3 C 64 | 3 AB D16AB 12已知函 2 13 ( )3sinsin(0) 222 f x x x ，若 f x在 3 (,) 22 上无零点，则的取值范围 是 A 22 8 (0, 3 9 9 B 28 (0,) 99 C 28 (0,1 99 D 2 8 ( ,1,) 9 9 第卷第卷 二、填空题二、填空题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上 13已知函数 3 ,1 ( ) 2 (1),1 x x f x f xx ，则1f _ 14已知直线4yxb是曲线4ln3yx的一条切线，则b_

6、 15设为锐角，若 4 cos() 85 ，则cos2a _ 16一个圆锥恰有三条母线两两夹角为60，若该圆锥的侧面积为3 3，则该圆锥的体积为_ 三、解答题三、解答题：本大题共本大题共 6 小题小题，共共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （一一）必考题必考题：共共 60 分分 17 （12 分） 在公比大于 0 的等比数列 n a中，已知 354 a aa，且 2 a， 4 3a， 3 a成等差数列 （1）求 n a的通项公式； （2）已知 12nn Sa aa，试问当 n 为何值时， n S取得最大值，并求 n S的最大值 18 （1

7、2 分） 在三棱锥DABC中，2 2ABBC，4DADCAC，平面ADC 平面 ABC，点 M 在 棱 BC 上 （1）若 M 为 BC 的中点，证明：BCDM （2）若三棱锥 A-CDM 的体积为2 3，求 M 到平面 ABD 的距离 19 （12 分） 某水果批发商经销某种水果（以下简称 A 水果） ，购入价为 300 元/袋，并以 360 元/袋的价格售出，若 前 8 小时内所购进的 A 水果没有售完，则批发商将没售完的 A 水果以 220 元/袋的价格低价处理完毕（根据 经验，2 小时内完全能够把 A 水果低价处理完，且当天不再购入） 该水果批发商根据往年的销量，统计了 100 天 A

8、 水果在每天的前 8 小时内的销售量，制成如下频数分布条形图 记 x 表示 A 水果一天前 8 小时内的销售量，y 表示水果批发商一天经营 A 水果的利润，n 表示水果批发 商一天批发 A 水果的袋数 （1）若16n ，求 y 与 x 的函数解析式； （2）假设这 100 天中水果批发商每天购入 A 水果 15 袋或者 16 袋，分别计算该水果批发商这 100 天经 营 A 水果的利润的平均数，以此作为决策依据，每天应购入 A 水果 15 袋还是 16 袋？ 20 （12 分） 已知函数 3 ( )(2)f xxa x （1）若3a ，求 f x的单调区间； （2）若 f x存在唯一的零点 0

9、 x，且 0 0x ，求 a 的取值范围、 21 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上的点 P 到左、 右焦点 1 F， 2 F的距离之和为2 2， 且离心率为 2 2 （1）求椭圆的标准方程； （2）过 2 F的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，点 C 与点 B 关于 x 轴对称，求 2 AFC面积的最大值 （二二）选考题选考题：共共 10 分分请考生在第请考生在第 22，23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答，如果多做如果多做，则按所做的第一题计则按所做的第一题计 分分 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在极坐标系中，极点为 O，一条封闭的曲线 C 由四段

10、曲线组成： 7 4cos (0,),2) 44 n ， 3 4sin (,) 4 4 ， ， 57 4sin (,) 44 ) （1）求该封闭曲线所围成的图形面积； （2）若直线:sin() 4 lk 与曲线 C 恰有 3 个公共点，求 k 的值 23选修 4 一 54 不等式选讲（10 分） 已知函数 21f xxx （1）求不等式 3f x 的解集； （2）若存在,()0，使得关于 x 的方程 sinf xm恰有一个实数根，求 m 的取值范围 高三数学试卷参考答案高三数学试卷参考答案（文科文科） 1A 【解析】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力 因为3,()A ，,()4 5B，所以

11、, )3 5(AB 2B 【解析】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力 由31xi iyxi，得31xiyxi ， 则xy ，31x ，即2x ，2y ， 所以0xy，4xy 3C 【解析】本题考查双曲线的渐近线，考查运算求解能力 由题意知双曲线的渐近线方程为 3 (0) 2 m yx m ，230xy 可化为 2 3 yx ，则 32 23 m ，解得 8 27 m 4C 【解析】本题考查统计图表的应用，考查数据分析能力以及运算求解能力 到 2019 年，在城乡居民储蓄存款年底总余额中，农村居民储蓄存款所占的比例仍然小于城镇居民储蓄 存款所占的比例，因此农村居民的存款年底总余额仍然少于城

12、镇居民的存款总额，选项 C 说农村居民的 存款年底总余额已经超过了城镇居民的存款总额显然是错误的 5A 【解析】本题考查平面向量数量积公式，考查运算求解能力 由 3 | ab a ，得 3 23 21 m ， 所以122m ，则2m 6D 【解析】本题考查线性规划问题，考查数形结合的思想以及运算求解能力 由题可知，再画出可行域知（图略） ， 当:40l xy平移到过点( 2, 1)时，取得最大值，最大值为 2 7B 【解析】本题考查古典概型概率计算公式，考查逻辑推理能力 由题可知0,1,2,3,4A，从集合 A 的元素中取出两个不同的元素共有 10 种情况，取出的两元素之和 为奇数的有 6 种

13、情况，故所求的概率为 3 5 8D 【解析】本题考查余弦定理以及三角形面积公式，考查运算求解能力 因为3b ，3 3c ，30B ， 所以由余弦定理 222 2cosbacacB， 可得 2 3 92723 3 2 aa， 整理可得 2 9180aa， 又ab，所以6a 19 3 2 sin 2 ABC SacB， 所以 AC 边上的高线的长为 2 3 3 ABC S b 9B 【解析】本题考查了空间中点、线、面的位置关系，考查空间想象能力 因为/ /MPAC，MPAC，所以 AP 与 CM 是相交直线， 又 11111 AADDCCDDDD， 所以 AP，CM， 1 DD相交于一点，则不正确

14、，正确 令ACBDO，因为 M，N 分别是 11 C D，BC 的中点， 所以 1 / / /OND MCD， 1 1 2 OND MCD， 则 1 MNOD为平行四边形，所以 1 / /MNOD， 因为MN 平面 1 BD D， 1 OD 平面 1 BD D， 所以/ /MN平面 1 BD D，不正确，正确 综上所述，正确，故选 B 10A 【解析】本题考查数学文化在算法中的应用，考查逻辑推理能力 执行第 1 次，1A，1B ，2C ，4i ，循环， 因为第二次应该计算1 2C ，15ii ，循环，执行第 3 次， 因为第三次应该计算23C ，由此可得图中的空白框应填入AB，BC 11C 【

15、解析】本题考查抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，考查了数形结合的思想和运算求解能 力 当直线 l 的斜率为正数时，准线与 x 轴交于点 M， 过 A，B 两点分别作 1 AA， 1 BB垂直于准线，如图所示， 则 1 1 |1 |3 BDBB ADAA ，即 11 3AABB， 设 1 BBm，所以 1 | | 3AAAFm，|BFm，2BDm， 22 1 1 1 (2 )| tan3 | mmB D BD BBm B 所以直线 l 的斜率为3， 1 | 8| BBBD DF ， 解得 16 3 m ，即 64 | 3 AB 由对称性可知直线 l 的斜率为3， 64 | 3 AB 12A

16、【解析】本题考查三角函数的图象及其性质，考查数形结合的思想及逻辑推理能力 313 ( )(1cos)sin 222 f xxx 13 sincossin 223 xxx ， 若 3 22 x ，则 3 23323 x ， 3 23232 T ， 则 2 1，又0，解得01 又 23 3 (1) 23 k k ，解得 341 2323 k 当0k 时， 28 39 ； 当1k 时，01，可得 2 0 9 22 8 (0, 99 3 1312 【解析】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力 1204112fff 141 【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力 设

17、4ln3f xx，且与4yxb相切于点 00 ,4ln3xx ， 4 ( )fx x ，所以 0 4 4 x ， 00 4ln34bxx ，则1b 15 31 2 50 【解析】本题主要考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式，考查运算求解能力 因为为锐角，所以 3 sin() 85 ， 则 2 47 cos(2)2( )1 4525 ， 2 sin(2) 425 ， 所以 272431 5 cos2cos(2)() 442252550 a 166 【解析】本题考查圆锥以及球的结构特征，考查空间想象能力和运算求解能力 如图，设60ASBBSCCSA， 则SASBSCABACBC， 设ABx，则底面

18、圆的直径为 2 2 sin603 xx R 该圆锥的侧面积为 12 3 3 23 x x 解得3x ，高 22 3( 3)6OS 所以该圆锥的体积为 2 1 ( 3)66 3 17解： （1）设 n a的公比为 q，由 354 a aa，得 4 1a 因为 2 a， 4 3a， 3 a成等差数列， 所以 234 6aaa，则 2 610qq ， 解得 1 2 q ， 1 8a 所以 14 1 8( )2 2 nn n a （2） (7) 3 2 1(4) 2 12 22 n n n nn Saaa ， 当3n 或 4 时， n S取得最大值，max64 n S 评分细则： （1）第一问中若利用

19、等比数列的通项公式列出关系式得 3 分，解出 1 a，q 各得 1 分，求出通项公式得 1 分； （2）第二问未说明当3n 或 4 时， n S取得最大值，扣 2 分 18 （1）证明：取 AC 的中点 O，连接 OB，OD， 因为DADC，所以ODAC 又因为平面ADC 平面 ABC，且相交于 AC， 所以OD 平面 ABC，所以ODOB 因为 222 ABBCAC，所以ABBC， 所以OBOC，所以OBDOCD， 所以DBDC，且 M 为 BC 的中点，所以BCDM （2）解： 18 3 63 D ABC VDO BC AB ， 所以 8 32 3 2 3 33 D ABM V 在ABD中

20、， 22 1 2 24( 2)2 7 2 ABD S， 设 M 到平面 ABD 的距离为 h， 则 1 3 ADBBDA M hSV ，解得 21 7 h 所以 M 到平面 ABD 的距离为 21 7 评分细则： （1）第一问中，证出“ODBC”可得 2 分，证出“DB=DC” ，累积得 4 分，不管用哪种方法，完 整证出结论得 5 分； （2）第二问中，直接作出 M 到平面 ABD 的投影得 2 分，并能严格证明，得 2 分，计算出点 M 到平面 ABD 的距离为 21 7 ，得 3 分 19解： （1）当16x 时，6080161401280yxxx， 当16x 时，60 16960y ，

21、 综上， 1401280,16,( ) 960,16. xx yx x N （2）若水果批发商每天购人 A 水果 15 袋， 则这 100 天中有 80 天的利润为 900 元，有 20 天的利润为 760 元， 因此该水果批发商这 100 天经营 A 水果的利润的平均数为 1 (76020900 80)872 100 若水果批发商每天购入 A 水果 16 袋， 则这 100 天中有 50 天的利润为 960 元，有 30 天的利润为 820 元，有 20 天的利润为 680 元， 因此该水果批发商这 100 天经营 A 水果的利润的平均数为 1 (6802082030960 50)862 1

22、00 比较两个平均数可知，每天应购入 A 水果 15 袋 评分细则： 第二问中，两种分类讨论情形各得 3 分，结论正确得 1 分 20解： （1）因为3a ，则( )36 x f xxx， 2 ( )33fxx， 令 0fx，解得1x 当(),1,(1x 时， 0fx； 当1,1x 时， 0fx 故 f x在(), 1 ，(1,)上单调递增， f x在( )1,1上单调递减 （2）当0a 时， 3 ( )f xx， f x的零点是0x ，不符合题意 当0a 时， 2 ( )3fxxa， 当0a 时， f x在 R 上单调递增， 所以 020fa ，不符合题意， 当0a 时，令 0fx，解得 3

23、 a x f x在(,) 3 a ，(,) 3 a 单调递增，在() 33 aa 上单调递减 若 f x存在唯一的零点 0 x，且 0 0x ， 则()0 3 a f ，解得027a 综上，a 的取值范围为0,27 评分细则： （1）求导正确得 1 分，未写出“ 0fx，解得1x ” ，不扣分； （2）第二问中，三种分类讨论情形各得 2 分，也可以将0a 和0a 归为一类讨论，正确解得得 4 分； （3）若采用其他方法解题，参照本评分标准按步骤给分 21解： （l） 12 | 22 2PFPFa，所以2a ， 2 2 c e a ，所以 2 21 2 c ， 所以 222 211cba ， 椭

24、圆的标准方程为 2 2 1 2 x y （2）由题可知直线 l 的斜率必存在，又 2 1,0F， 设直线 l 的方程为1 (0)yk xk， 112222 ,A x yB xyC xy 联立直线与椭圆的方程 2 2 (1) 1 2 yk x x y ， 化简得 2222 (12)4220kxk xk， 所以 2 12 2 4 12 k xx k ， 2 12 2 22 12 k x x k 22 2122 1 |2|()(1)| 2 AFACBCBCF SSSyxxx， 2112 |1)| | (1)(1 |()y xk xx 1212 2 | (1)| | 12 k k x xxx k 12

25、 | 1 4 2k k ， 当且仅当 2 2 k 时，取得最大值 所以 2 AFC面积的最大值为 2 4 评分细则： （1）第一问得出2a ，1b 各得 2 分，写出椭圆的标准方程得 1 分； （2）第二问未说明直线 l 的斜率存在扣 1 分； （3）若采用其他方法解题，参照本评分标准按步骤给分 22解： （1）以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系， 则曲线 C 的直角坐标方程为 22 (2)4(24)xyx， 22 (2)4(24)xyy， 22 (2)4( 42)xyx， 22 (2)4( 42)xyy 曲线 C 由弧ABC，弧CDE，弧EFG，弧GHA四段圆弧组成，

26、每段圆弧均在半径为 2 的圆上， 则该封闭曲线所围成的图形面积4 222()816S （2）直线 l 的直角坐标方程为 22 22 xyk，即20xyk 当直线 l 经过点 H，A，B 时，2 2k 当直线 l 经过点 E，F，D 时，2 2k ， 故 k 的值为2 2 评分细则： （1）第一问求出曲线 C 的直角坐标方程共得 4 分，每一段曲线分别得 1 分，求出封闭曲线所围成的图 形面积得 2 分； （2）第一间分情况讨论，每种情况得 2 分； （3）若采用其他方法解题，参照本评分标准按步骤给分 23解： （1）当0x 时，得123xx ， 解得 2 3 x ，所以 2 0 3 x； 当

27、1 0 2 x时，得1 23xx， 解得2x ，所以 1 0 2 x； 当 1 2 x 时，得1 23xx， 解得 4 3 x ，所以 14 23 x 综上，不等式的解集为 2 4 (, ) 3 3 （2） 31,0 1 ( )1,0 2 1 31, 2 xx f xxx xx 若关于 x 的方程 sinf xm恰有一个实数根， 则 1 sin 2 m有解， 又,()0a， in 1 2s m ，所以 1 ,) 2 m 评分细则： （1）第一问中，分类讨论不分先后顺序，每答对一个得 1 分最终答案来写成解集形式不扣分； （2）第二问求出)(f x的解析式得 1 分，说明 f x的值域可得 1 分，得出关系 1 sin 2 m有解得 1 分