高斯小学奥数五年级下册含答案第15讲_数字谜中的计数
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1、第十五讲 数字谜中的计数 上一讲我们讲解了一些与数论相关的计数问题, 这一讲我们来研究一下数字谜中的计数 问题,首先我们来看竖式问题 例1 如图,请在方框中填入 04 中的数字,使竖式成立小高的填法如下中图,卡莉娅的 填法如下右图,墨莫说,还有很多种填法同学们你能判断出一共有多少种不同的填法 吗? 分析分析观察可知竖式中没有进位,个位、十位、百位上的数字和均为 4,本题难度一 般,但是同学做题时要注意准确性 练习 1、如图,方框中都是 03 中的数字,使竖式成立,一共有多少种填法? 例2 如图, 方框中都是36中的数字, 求出所填九个数字之和为多少?一共有多少种填法? 分析分析注意题目要求只能
2、填入 3 至 6 中的数字,能不能确定每一位的数字和? 练习 2、如图,方框中都是 47 中的数字,一共有多少种填法? + 4 4 4 4 1 3 + 3 1 4 4 4 4 2 1 + 2 3 4 4 4 + 3 3 3 + 4 9 9 5 + 5 3 7 数字谜中的计数问题, 不仅要求填出的方案能满足数字谜的要求, 还要把所有情况考虑 周全,这也是此类问题比较难的原因在解决此类问题时,往往分成两步:首先找到所有不 同类的填法, 然后再考虑每一类填法有多少种即可 但要注意在做这两步时都要做到不重不 漏 例3 将 1 到 6 填入下图,使得每两个相邻的空格中都有 1 个奇数 1 个偶数,那么有
3、多少种 填法? 分析分析抛开 16 这六个数字的具体数值,只按奇、偶性分析题目是解题关 键 练习 3、 将 14 填入方框中, 使得每相邻的 2 格都既有奇数又有偶数, 那么共有多少种填法? 例4 在图 1 的空格内各填入一个一位数,使同一行内左面的数比右面的数大,同一列内上 面的数比下面的数小,并且方格内的 6 个数字互不相同,例如图 2 为一种填法那么一 共有多少种不同的填法? 分析分析对于这类表格填数问题,我们常常用分步的思想分析:先考虑某几个方格中所 填的数会是哪些,再考虑这些数在这些方格中的位置有几种可能 练习 4、在 17 中选出 6 个互不相同的数字填入下图的的表中,使得相邻的两
4、个方框内,下 面的数字比上面大,右边的数字比左边大一共有多少种填法? 2 6 4 2 3 7 5 3 图 1 图 2 以前在填写数阵图时,一般都需要先找到突破口,再顺藤摸瓜填满所有空格现在对 于数阵图中的计数问题,同样也要先找到数阵图的突破口 例5 在 19 中选出 6 个互不相同的数字填入下图的表中,使得相邻的两个方框内, 下面的数字比上面大,右边的数字比左边大一共有多少种填法? 分析分析首先填出可能性比较少的位置或数字, 例6 将数字 1 至 6 分别填入图中各个圆圈,使得每条线段两个端点处所填的数,上面的比 下面的大,那么符合上述要求的不同填数方法一共有多少种? 分析分析这个数阵图中,我
5、们首先应该考虑的位置是哪个? 节日问候 特里格教授在洛杉矶城市学院时提出了如下的问题(美国数学月刊问题El241,1956 年): 节日问候“MERRY XMAS TO ALL”是一个数字谜,每个字母代表惟一的数字,而每个 词是一个平方数求所有解 结果只有两个解: 27556 3249 81 400和34225 7396 81 900 罗森菲尔德(Azriel Rosenfeld)发现,如果加一个条件,要求每个词的数字之和是一个完 全平方数,则解是惟一的 卡斯特(Edgar Karst)发现,同一句问候的方程 MERRY+XMAS= TOALL 也是一个数字 谜 其中每个字母代表惟一的数字,
6、而每个词能被 3 整除 这时有惟一解: 84771+5862=90633 作业 1. 在右边的竖式中,相同的字母表示相同的数字,不同的字母表示不同的数字这个竖式 有多少种不同的填法? 2. 如图,方框中都是 69 内的数字,为使竖式成立,一共有多少种填法? 3. 将 1 到 9 填入图中, 使得每两个相邻的空格中都有 1 个奇数和 1 个偶数, 有多少种填法? 4. 从数字 16 种选 5 个填入图中,使每相邻两格中,下边的数字比上边的大,右边的数字 比左边的大,有多少种填法? 5. 如图,在 110 中选 6 个数字填入图中,使得上面的数比下面的数大,那么有种填法? + 7 6 5 A B
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