高斯小学奥数五年级下册含答案第09讲_立体几何
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1、第九讲 立体几何 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 首先,我们来学习一下长方体、正方体的体积与表面积的计算方法 图形 体积 表面积 Vabc 长方体 2Sabbcca 表面 3 Va 正方体 2 6Sa 正方体 a b c a 练一练 1 一个正方体的棱长总和是 72 厘米,它的一个面是边长_厘米
2、的正方形,它的表 面积是_平方厘米,体积是_立方厘米 2 一个长方体的长是 5 分米,宽是 45 厘米,高是 24 厘米,它的表面积是_平方 厘米,体积是_立方厘米 3 做一个长 8 分米,宽 4 分米,高 6 分米的长方体玻璃鱼缸,至少需要_平方分 米的玻璃 4 有一块棱长是 10 厘米的正方体的铁块,现在要把它熔铸成一个横截面积是 20 平方厘 米的长方体,这个长方体的长是_厘米如果要求这个长方体每条棱的长度都 是整数厘米,它的表面积最小是_平方厘米 相信同学们对于这些公式都很熟悉, 但是对于较复杂的立体图形, 往往我们并不能直接 应用公式进行计算,这个时候又该怎么办呢? - - - -
3、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 1 有 30 个边长为 1 米的正方体,如图所示堆成一个四层的立体图形请问:该立体图形的表 面积等于多少平方米? 分析:所谓表面积,就是立体图形露在外面的总面积我们可以从上、下、左、右、前、后 6 个不同的方向去考虑这个立体图形,把每个方向露出的面积加在一起就行了 练习 1
4、 用 14 个棱长是 1 厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形,问该图形的表面积是多少平方 厘米? 在观察物体的时候,我们往往可以从不同的角度进行观察角度不同,看到的风景就会 不同比如:我们可以从正面看,上面看,左面看,看到的图形分别称为正视图,俯视图和 左视图并且容易发现:正面看和后面看,上面看和下面看,左面看和右面看得到的图形是 相同的对于较复杂的立体图形,通过三视图法往往可以很方便地计算出表面积 例题 2 一个正方体被切成 24 个大小形状相同的小长方体 (见下图) , 这些小长方体的表面积之和为 162 平方厘米,那么原正方体的体积是多少立方厘米? 分析: 我们先来分析一下切成小块的过
5、程中, 图形的表面积是如何变化的 同学们请看下图: 一刀下去,正方体被一分为二表面积和原来比,正好多出了 A,B 两个面不难看出,这 两个面的面积都等于原正方体 6 个面中 1 个面的面积按这种方法,每切一刀,增加的都是 两个面的面积同学们可以计算一下,按如图的方式切了 6 刀后,表面积究竟增加了多少? 练习 2 一个正方体被切成 36 个大小形状相同的小长方体 (见下图) , 这些小长方体的表面积之 和为 500 平方厘米,那么原正方体的体积是多少立方厘米? 例题 3 如图,有一个边长为 30 厘米的大正方体,分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大 小相同的小正方体后, 表面积变为 5496
6、 平方厘米, 那么挖掉的小正方体的棱长是多少厘米? 分析:挖去小正方体后,表面积会发生变化如果挖的位置,最终结果会有区别吗? 练习 3 一个正方体棱长 10 厘米,在它的表面上挖去一个棱长 3 厘米的小正方体请求出剩下立体 图形表面积的所有可能 除了长方体、正方体之外,圆柱和圆锥在我们的生活中也特别常见 如图,圆柱的两个圆面叫做底面底面;周围的面叫做侧面侧面;两个底面之间的距离叫做高高 圆锥的圆面叫做底面底面;尖点叫做顶点顶点;顶点到底面的距离叫做高高,顶点到底面圆周上任 意一点的连线叫做母线母线关于圆锥的内容,我们不作深入的学习,同学们只需要学会如何计 算它的体积即可 大家可以把圆柱想象成一
7、个底面是圆形的柱子, 那其他柱体也就是底面是其他图形的柱 子 如图, 所有“上下一般粗”的图形都称为柱体, 图中的两个图形分别叫做三棱柱和四棱柱, 它们的体积计算公式都是: V 底面积 高 高 底面 侧面 母线 高 顶点 底面 例题 4 (1)如下左图,是长为 8,宽为 4 的长方形,以长方形的长为轴旋转一周,求所形成的立 体图形的体积和表面积是多少 (2) 如下右图, 是直角边分别为 3 和 4 的直角三角形, 以边长为 4 的直角边为轴旋转一周, 求所形成的立体图形的体积 分析:圆柱体的底面半径和高与长方形的长和高有什么关系?圆锥体呢? 练习 4 有一个圆柱和一个圆锥, 它们的高和底面直径
8、如图所示 圆柱体积及表面积分别是多少?圆 锥的体积是多少?( 取 3.14) 立体图形 体积 侧面展开图 2 Vr h底面积 高= 圆柱的侧面展开图为 长方形,长为圆柱底面周 长,宽为圆柱的高 2 11 33 Vr h底面积 高= 圆锥的侧面展开图为 扇形,半径为母线(不是 圆锥的高! ) ,弧长为圆锥 底面周长 (注:圆锥侧面展开只需 了解,不需掌握) h r r h 6 6 3 3 例题 5 下图是一个棱长为 4 厘米的正方体,分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一 个棱长 1 厘米的正方体, 做成一种玩具 该玩具的表面积是多少平方厘米?如果把这些洞都 打穿,表面积又变成了多少平
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