高斯小学奥数五年级下册含答案第02讲_圆与扇形进阶
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1、第二讲 圆与扇形进阶 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 自然界中,圆与方是最基本的两种图形古人认为“天圆地方”,宇宙就像一个圆形的大 锅盖在一个方形的棋盘上 中国古代的建筑也会经常采用圆形和正方形的图案 而在面积计 算中,圆与正方形也有很大的关系 关于正方形和圆,有以下的面积关系: 方中圆:正方形面积:内
2、切圆面积=4: 圆中方:圆面积:内接正方形面积=:2 由此我们可以进一步推断: 圆外切正方形面积是内接正方形面积的_倍; 正方形外接圆 面积是内切圆面积的_倍 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 1 (1)左图中正方形的面积是 8,那么圆的面积是多少?(取 3.14) (2)右图中正方形的面积
3、是 16,那么圆的面积是多少?(取 3.14) 分析:利用圆中方和方中圆的比例关系可以轻松求解 练习 1 如图,已知正方形的边长是 2,求大圆及小圆的面积 (取 3.14) 圆的外切正方形 与内接正方形 正方形的外接圆 与内切圆 方中圆 圆中方 例题 2 计算下面各图中阴影部分的面积,并比较大小 (取 3.14) 分析:利用方中圆的比例关系可以轻松求解 练习 2 如图,已知长方形的面积是 12,则图中阴影部分的面积是多少?(取 3.14) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
4、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 小故事 圆与方 有一天,圆形和方形碰到了一起,它们一见面就吵了个面红耳赤,不管谁劝都不听圆 形说: “我们圆形就是比你们方形用处大, 人们日常生活中用的锅呀、 碗呀, 体育中的蓝球、 排球,水果里的苹果、桔子,大到汽车轮胎、自行车轮胎,都是我的家族瞧,我们是不是 比你们用处大!”圆形得意洋洋地说完 方形“哼”了一声说:“我们方形家族才是无处不在呢,人们用的电器、冰箱、彩电、 电脑,就连学生用的课本都是我们方形的哟!”方形也自
5、豪地说 它们谁也无法说服谁, 都来到大街上 望着街上的车, 方形对着圆形的车轮喊了声: “变! ” 转眼间车轮变成了方形正当方形喜笑颜开时,人群出现了混乱,汽车开不了,自行车也只 能扛着了, 大家都在说: “这是谁干的呀! 真是害人呀! ”而圆形来到一座刚建好的大楼前, 望着由一块块方形红砖盖成的大楼,圆形生气地大声 喊了声“变!”呀,方形红砖变成圆 形了圆形还没来及高兴呢,就听“轰”一声大楼倒了下来 看到这个情景,圆形呆住了:“这是怎么回事?” 只见混乱的人群里走出了一位老人, 他来到方形和圆形面前对它们说: “其实你们都很 棒,只是你们分工不同而已,只要你们齐心协力,一定会为人类作更大的贡
6、献 在上一讲中, 我们主要使用割补的方法来计算不规则图形的面积 而对于一些比较特殊 8 2 4 4 的形状,我们可以把它看成是一些基本图形的重叠部分,利用容斥原理计算出它的面积 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 3 如图,求下面各图中阴影部分的面积( 取 3.14) 分析:阴影部分可以看成是哪些图形
7、的重叠部分? 练习 3 已知下图中正方形的面积是 16,那么阴影部分的面积是多少?( 取 3.14) 在生活当中,有很多旋转的物体,比如车轮、方向盘等这些物体在运动的过程中,扫 过的图形都是曲线形这些曲线形的周长和面积应该怎么计算呢? 例题 4图中正方形的边长是 4 厘米,圆形的半径是 1 厘米当圆形绕正方形滚动一周又回 到原来位置时,扫过的面积有多大?( 取 3.14) 分析:要求扫过的面积,关键在于弄清扫过的区域;而要弄清扫过的区域, 关键在于弄清区域的边界你能通过合理动态想象,画出边界来吗? 2 2 练习 4 如图,正方形的边长是 2 厘米,圆形的半径是 1 厘米当圆形绕正方形滚动一周又
8、回到 原来位置时,扫过的面积有多大?( 取 3.14) 例题 5 如图,求阴影部分的面积( 取 3.14) 分析:阴影部分可以看成是四个扇形的重叠部分,但是扇形的半径图中并没有给出,那么应 该怎么计算扇形的面积呢? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 6 (1) 如图, 一只小狗被拴在一个边长为 4
9、米的正方形的建筑物的顶点 A 处, 四周都是空地 绳 长 8 米小狗的活动范围是多少平方米? (2)如果小狗不是被拴在 A 处,而是在一边的中点 B 处,那么小狗的活动范围是多少平方 米? (建筑外墙不可逾越,小狗身长忽略不计, 取 3.14) 分析:如果没有建筑物的阻挡,小狗的活动范围应该是一个圆有建筑物的话,活动范围会 受到什么样的影响呢? 2 B A 含有“圆”字的成语 圆首方足圆首方足:出自淮南子精神训 :“头之圆也象天,足之方也象地”用来代指人 类 戴圆履方戴圆履方:出自淮南子本经训:“戴圆履方,抱表怀绳”履:踩着;圆、方: 古人以为天圆地方头顶着天,脚踩着地指生活在人间 方方枘枘圆
10、圆凿凿: 出自战国时楚国宋玉的 九辨 : “圆凿而方枘兮, 吾固知其龃龉而难入 ” 凿:榫眼;枘:榫头方枘装不进圆凿比喻格格不入,不能相合 这三个成语之外,还有很多成语中都含有“圆”和“方”这两个字,如圆孔方木、圆颅 方趾、外圆内方等这说明古人对于圆和方的认识非常深刻,已经将其应用到了生活中的很 多方面 而我们在圆与扇形的学习中, 也要注意圆形与正方形之间的联系 元方, 你怎么看? 破镜重圆破镜重圆:这个成语故事是由华阴人、隋越国公杨素的一段成人之美的佳话而来的 杨素,字处道,在辅佐隋文帝杨坚结束割据,统一天下,建立隋朝江山方面立下了汗马 功劳他不仅足智多谋,才华横溢,而且文武双全,风流倜傥在
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