江苏省南京市2020年5月高三年级模拟考试数学含附加题(含答案解析)
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1、江苏省南京市江苏省南京市 2020 届高三年级届高三年级 5 月份模拟考试数学月份模拟考试数学试卷试卷 一、填空题(本大题共一、填空题(本大题共 14 小题,每小题小题,每小题 5 分,计分,计 70 分分.不需写出解答过程,请把答案写在不需写出解答过程,请把答案写在 答题纸的指定位置上)答题纸的指定位置上) 1设集合 Mm|3m2,mZ,NR,则 MN 2复数 z= 1+复平面上对应的点位于第 象限 3某次测验,将 20 名学生平均分为两组,测验结果两组学生成绩的平均分和标准差分别为 90,6;80,4则这 20 名学生成绩的方差为 4执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 5抛掷甲、乙两
2、枚质地均匀且四面上分别标有 1,2,3,4 的正四面体,其底面落于桌面, 记所得的数字分别为 x,y,则 为整数的概率是 6函数 f(x)(x3)ex的单调递增区间是 7已知双曲线 2 ;3 + 2 :5 = 1的离心率为4 3,那么此双曲线的准线方程为 8已知正四棱锥 PABCD 的体积为4 3,底面边长为 2,则侧棱 PA 的长为 9已知函数 f(x)sin( + 6) (02) ,若 f( 2 3 )1,则函数 yf(x)的最小 正周期为 10已知等差数列an满足:a18,a26若将 a1,a4,a5都加上同一个数 m,所得 的三个数依次成等比数列,则 m 的值为 11设函数 f(x)=
3、 3sin(x+ 3)和 g(x)sin( 6 x)的图象在 y 轴左、右两侧靠近 y 轴的交点分别为 M,N,已知 O 为原点,则 = 12 设 f (x) asin2x+bcos2x (a, bR) , 若 f (x) 的最大值为5, 则 a+b 的取值范围为 13在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 b2,且 cos2B+cosB+cos(A C)1,则 a+2c 的最小值为 14已知正实数 x,y 满足 + 2 + 3 + 4 = 10,则 xy 的取值范围为 二、 解答题 (本大题共二、 解答题 (本大题共 6 小题, 计小题, 计 90 分分.解答应写出必要
4、的文字说明, 证明过程或演算步骤,解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内)请把答案写在答题纸的指定区域内) 15 (14 分)已知ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 = (,), = (1,) (1)当 = 2时,求 b 的值; (2)当 时,且 =1 2,求 tanAtanB 的值 16 (14 分) 如图, 四棱锥 ABCDE 中, AB、 BC、 BE 两两垂直且 ABBCBE, DEBC, DE2BC,F 是 AE 的中点 (1)求证:BF面 ACD; (2)求证:面 ADE面 ACD 17 (14 分)为解决城市的拥堵
5、问题,某城市准备对现有的一条穿城公路 MON 进行分流, 已知穿城公路 MON 自西向东到达城市中心点 O 后转向东北方向(即AOB= 3 4 ) 现准 备修建一条城市高架道路 L,L 在 MO 上设一出入口 A,在 ON 上设一出入口 B假设高 架道路 L 在 AB 部分为直线段,且要求市中心 O 与 AB 的距离为 10km (1)求两站点 A,B 之间距离的最小值; (2)公路 MO 段上距离市中心 O30km 处有一古建筑群 C,为保护古建筑群,设立一个 以 C 为圆心,5km 为半径的圆形保护区则如何在古建筑群 C 和市中心 O 之间设计出入 口 A,才能使高架道路 L 及其延伸段不
6、经过保护区(不包括临界状态)? 18 (16 分)已知点 M 是圆 C: (x+1)2+y28 上的动点,定点 D(1,0) ,点 P 在直线 DM 上,点 N 在直线 CM 上,且满足 =2 , =0,动点 N 的轨迹为曲线 E ()求曲线 E 的方程; ()若 AB 是曲线 E 的长为 2 的动弦,O 为坐标原点,求AOB 面积 S 的最大值 19 (16 分)设首项为 a1的正项数列an的前 n 项和为 Sn,q 为非零常数,已知对任意正整 数 n,m,Sn+mSm+qmSn总成立 ()求证:数列an是等比数列; ()若不等的正整数 m,k,h 成等差数列,试比较 ammahh与 ak2
7、k的大小; ()若不等的正整数 m,k,h 成等比数列,试比较 1 1 与 2 的大小 20 (16 分)已知函数 f(x)ex+ax,g(x)exlnx(e 是自然对数的底数) (1)若曲线 yf(x)在 x1 处的切线也是抛物线 y24(x1)切线,求 a 的值; (2)若对于任意 xR,f(x)0 恒成立,试确定实数 a 的取值范围; (3)当 a1 时,是否存在 x0(0,+) ,使曲线 C:yg(x)f(x)在点 xx0 处的切线斜率与 f(x)在 R 上的最小值相等?若存在,求符合条件的 x0的个数;若不存 在,请说明理由 选做题选做题(本题包括(本题包括 A、B、C 三小题,请选
8、定其中两小题,并在答题相应的区域内作答若三小题,请选定其中两小题,并在答题相应的区域内作答若 多做,则按作答的前两小题评分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)多做,则按作答的前两小题评分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)选修选修 4-2: 矩阵与变换矩阵与变换(10 分)分) 21 (10 分)设矩阵 A= 1 2 21,求矩阵 A 的逆矩阵的特征值及对应的特征向量 选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程(10 分)分) 22 (10 分)在极坐标系中,求曲线 2cos 关于直线 = 4(R)对称的曲线的极坐标 方程 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲(本小题满分
9、(本小题满分 0 分)分) 23若关于 x 的不等式 x2ax+b0 的解集为(1,2) ,求函数 f(x)(a1) 3 +(b 1)4 的最大值 必做题必做题(第(第 22、23 题,每小题题,每小题 10 分,计分,计 20 分请把答案写在答题纸的指定区域内)分请把答案写在答题纸的指定区域内) 24 (10 分)某高校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从 6 道备选题中一次性随机 抽取 3 题,按照题目要求独立完成全部实验操作规定:至少正确完成其中 2 题的便可 提交通过已知 6 道备选题中考生甲有 4 道题能正确完成,2 道题不能完成 (1)求出甲考生正确完成题数的概率分布列,并计算
10、数学期望; (2)若考生乙每题正确完成的概率都是2 3,且每题正确完成与否互不影响试从至少正 确完成 2 题的概率分析比较两位考生的实验操作能力 25 (10 分)已知(x+1)na0+a1(x1)+a2(x1)+a3(x1)3+an(x1)n, (其 中 nN*) (1)求 a0及= 1 ; (2)试比较 Sn与(n2)2n+2n2的大小,并说明理由 参考答案参考答案 一、填空题(本大题共一、填空题(本大题共 14 小题,每小题小题,每小题 5 分,计分,计 70 分分.不需写出解答过程,请把答案写在不需写出解答过程,请把答案写在 答题纸的指定位置上)答题纸的指定位置上) 1设集合 Mm|3
11、m2,mZ,NR,则 MN 2,1,0,1 【分析】可以求出集合 M,然后进行交集的运算即可 【解答】解:M2,1,0,1,NR, MN2,1,0,1 故答案为:2,1,0,1 【点评】本题考查了描述法、列举法的定义,交集的定义及运算,考查了计算能力,属 于基础题 2复数 z= 1+复平面上对应的点位于第 一 象限 【分析】首先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,分母变成一个 实数,分子进行复数的乘法运算,整理成复数的标准形式,写出对应点的坐标,看出所 在的象限 【解答】解:复数 1: = (1;) (1:)(1;) = 1: 2 = 1 2 + 1 2 , 复数对应的点的坐标
12、是(1 2, 1 2) 复数 1:在复平面内对应的点位于第一象限, 故答案为:一 【点评】本题考查复数的实部和虚部的符号,是一个概念题,在解题时用到复数的加减 乘除运算,是一个比较好的选择或填空题,可以出现在高考题的前几个题目中 3某次测验,将 20 名学生平均分为两组,测验结果两组学生成绩的平均分和标准差分别为 90,6;80,4则这 20 名学生成绩的方差为 51 【分析】 由方差定义可得n个数与其平均数, 方差间关系x 1 2 +x 2 2 + +x 2 =nS2+n2, 利用此关系可结合条件吧 20 个数据中的前 10 个数, 后 10 个数分别找出其平方和, 及平 均数,进而求出 2
13、0 名学生成绩的方差 【解答】解:设 x1,x2xn的方差 S2= 1 (x1) 2+(x2)2+(xn) 2=1 x 1 2 +x 2 2 + +x 2 2(x1+x2+xn)+n2= 1 x1 2+x 2 2 + +x 2 n2 x 1 2 +x 2 2 + +x 2 =nS2+n2, 则 x 1 2 +x 2 2 + +x 10 2 =1036+1090281360,x 11 2 +x 12 2 + +x 20 2 =10 16+1080264160, 1:2:20 20 = 1090:1080 20 =85 S2= 1 20x 1 2 +x 2 2 + +x 20 2 202= 1 2
14、081360+641602085 251, 故答案是:51 【点评】本题依托平均数,方差,标准差的定义关系,考查学生的数据处理能力和计算 能力,属于中低档题 4执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 8 【分析】根据程序框图进行模拟运算即可 【解答】解:第 1 次循环:k0,S1; 第 2 次循环:S1212,k2; 第 3 次循环:S2228,k3; 此时不满足循环条件 k3,输出 S8 故答案为:8 【点评】 本题主要考查了程序框图的识别和判断问题, 根据条件模拟运算是解题的关键 5抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1,2,3,4 的正四面体,其底面落于桌面, 记所得的数字分别为
15、x,y,则 为整数的概率是 1 2 【分析】本题是一个古典概型,试验发生包含的事件是抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四 面体,共有 44 种结果,满足条件的事件是 为整数,包括当 y1 时,有 4 种结果,以 此类推,列举出所有结果,根据古典概型概率公式得到结果 【解答】解:由题意知本题是一个古典概型, 试验发生包含的事件是抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体, 记所得的数字分别为 x,y,共有 4416 种结果, 满足条件的事件是 为整数,包括当 y1 时,有 4 种结果, 当 y2 时,有 2 种结果, 当 y3 时,有 1 种结果, 当 y4 时,有 1 种结果, 共有 4+2+1+18 种结果,
16、 根据古典概型概率公式得到 P= 8 16 = 1 2, 故答案为:1 2 【点评】本题考查古典概型,是一个与数字结合的古典概型问题,数字问题是经常出现 的概率问题,并且常考常新,是一个基础题 6函数 f(x)(x3)ex的单调递增区间是 (2,+) 【分析】先求出函数的导数,令导函数大于 0,解不等式求出即可 【解答】解:f(x)(x2)ex, 令 f(x)0,解得:x2, f(x)在(2,+)递增, 故答案为: (2,+) 【点评】本题考查了函数的单调性,导数的应用,是一道基础题 7 已知双曲线 2 ;3 + 2 :5 = 1的离心率为4 3, 那么此双曲线的准线方程为 = 92 8 【分
17、析】利用双曲线 2 ;3 + 2 :5 = 1的离心率为4 3,求出 a,c,再求出双曲线的准线方 程 【解答】解:双曲线 2 ;3 + 2 :5 = 1的离心率为4 3, (m3) (m+5)0, = 4 3, 5m3,:5:3; :5 = 16 9 , m= 1 2, a= 32 2 ,c22, 双曲线的准线方程为 = 92 8 故答案为: = 92 8 【点评】本题考查双曲线的准线方程,考查离心率,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题 8已知正四棱锥 PABCD 的体积为4 3,底面边长为 2,则侧棱 PA 的长为 3 【分析】设正方形 ABCD 的中心为点 O,则由题意可得 OA=
18、 2,再根据 1 32 2PO=4 3, 求得棱锥的高 PO 的值,可得 PA= 2+2 的值 【解答】解:设正方形 ABCD 的中心为点 O,则由底面边长为 2 可得 OA= 2 再根据正四棱锥 PABCD 的体积为 1 32 2PO=4 3,求得棱锥的高 PO1, 故 PA= 2+2= 1 + 2 = 3, 故答案为:3 【点评】本题主要考查棱锥的结构特征,勾股定理的应用,属于基础题 9已知函数 f(x)sin( + 6) (02) ,若 f( 2 3 )1,则函数 yf(x)的最小 正周期为 4 【分析】由条件求得 = 1 2,f(x)sin( 1 2x+ 6) ,再根据函数 yAsin
19、(x+)的周期 为 ,得出结论 【解答】解:由于 f(x)sin(x+ 6) (02) ,f( 2 3 )sin(2 3 + 6)1, 2 3 + 6 =2k+ 2 kz,即 3k+ 1 2,= 1 2,f(x)sin( 1 2x+ 6) , 故函数 f(x)的最小正周期为 2 1 2 =4, 故答案为:4 【点评】本题主要考查根据三角函数的值求角,函数 yAsin(x+)的周期性,利用 了函数 yAsin(x+)的周期为 ,属于基础题 10已知等差数列an满足:a18,a26若将 a1,a4,a5都加上同一个数 m,所得 的三个数依次成等比数列,则 m 的值为 1 【分析】由题意可得公差 d
20、a2a12,从而 ana1+(n1)d2n10,设所加的这 个数为 x,根据 (4+ )2=(a1+x) (a5+x) ,解出 x 的值 【解答】解:已知等差数列an中,a18,a26, 公差 da2a12, ana1+(n1)d2n10 将 a1,a4,a5都加上同一个数,所得的三个数依次成等比数列,设所加的这个数为 x, 则有 (4+ )2=(a1+x) (a5+x) ,即 (2+x)2(8+x) (0+x) ,解得 x1 故答案为1 【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质,求等差数列的通项公式,求得 an2n 10,是解题的关键,属于中档题 11设函数 f(x)= 3sin(x+ 3)
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