专题18 直方图-简单数学之七年级下册同步讲练(解析版)
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1、 专题专题 18 直方图直方图 一、知识点 1、频率分布的意义、频率分布的意义 在许多问题中,只知道平均数和方差还不够,还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小,这在许多问题中,只知道平均数和方差还不够,还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小,这 就需要研究如何对一组数据进行整理,以便得到它的频率分布。就需要研究如何对一组数据进行整理,以便得到它的频率分布。 2、研究频率分布的一般步骤及有关概念、研究频率分布的一般步骤及有关概念 (1)研究样本的频率分布的一般步骤是:)研究样本的频率分布的一般步骤是: 计算极差(最大值与最小值的差)计算极差(最大值与最小值的差) 决定组距与组
2、数决定组距与组数 决定分点决定分点 列频率分布表列频率分布表 画频率分布直方图画频率分布直方图 (2)频率分布的有关概念)频率分布的有关概念 极差:最大值与最小值的差极差:最大值与最小值的差 频数:落在各个小组内的数据的个数频数:落在各个小组内的数据的个数 频率:每一小组的频数与数据总数(样本容量频率:每一小组的频数与数据总数(样本容量 n)的比值叫做这一小组的频率。)的比值叫做这一小组的频率。 二、标准例题 (1)基本概念)基本概念 例 1: (1)已知数据 10,9,8,7,6,6,9,10,7,9,6,7,10,9,6,8,9,10,6,9 那么频率为 0.5 的范围是( ) A5.57
3、.5 B6.58.5 C7.59.5 D8.510.5 【答案】D 【解析】 对于 A 选项,5.5-7.5 的频数为 8,频率=8 20=0.40.5,故 A 选项错误; 对于 B 选项,6.5-8.5 的频数为 5,频率=5 20=0.250.5,故 B 选项错误; 对于 C 选项,7.5-9.5 的频数为 8,频率=8 20=0.40.5,故 C 选项错误; 对于 D 选项,8.5-10.5 的频数为 10,频率=10 20=0.5,故 D 选项正确. 故选:D. 总结:考查了频率、频数、数据总数的关系,解题关键是熟练掌握三者关系总结:考查了频率、频数、数据总数的关系,解题关键是熟练掌握
4、三者关系. (2)一个有 80 个样本的数据组中,样本的最大值是 143,最小值是 50,取组距为 10,那么可以分成( ) A7 组 B8 组 C9 组 D10 组 【答案】D 【解析】 解:143-50=93, 93 10=9.3, 所以应该分成 10 组 故选:D 总结:本题考查频率分布表中组数的确定,关键是求出最大值和最小值的差,然后除以组距,用进一法取总结:本题考查频率分布表中组数的确定,关键是求出最大值和最小值的差,然后除以组距,用进一法取 整数值就是组数整数值就是组数 (3)一次跳远比赛中,成绩在 4.05 米以上的有 8 人,频率为 0.4,则参加比赛的共有( ) A40 人
5、B30 人 C20 人 D10 人 【答案】C 【解析】 成绩在 4.05 米以上的频数是 8,频率是 0.4, 参加比赛的运动员=8 0.4=20. 故选:C. 总结:考查总结:考查频数与频率,掌握数据总和频数与频率,掌握数据总和=频数频数 频率是解题的关键频率是解题的关键. (2)概念应用)概念应用 例 2:4 月 22 日是世界地球日,为了增强学生环保意识,某中学八年级举行了“环保知识竞赛”活动,为了了 解本次竞赛情况,只抽取了部分学生的成绩(满分 100 分,得分均为正整数)进行统计,请你根据下面还 未完成的频数分布表和频数分布直方图,解答下列问题: 分组 频数 频率 50.560.5
6、 4 0.08 60.570.5 8 0.16 70.580.5 10 0.20 80.590.5 16 0.32 90.5100.5 a b (1)a b ; (2)补全频数分布直方图; (3)该校八年级有 500 名学生,估计八年级学生中竞赛成绩高于 80 分的有多少人? 【答案】 (1)12,0.24; (2)见解析; (3)八年级学生中竞赛成绩高于 80 分的有 280 人 【解析】解: (1)由统计图可得, a12, b12 (4 0.08)0.24, 故答案为:12,0.24; (2)补全的频数分布直方图如右图所示 (3)500 (0.32+0.24)500 0.56280(人)
7、, 答:八年级学生中竞赛成绩高于 80 分的有 280 人 总结:本题考查频数分布直方图,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答总结:本题考查频数分布直方图,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答 例 3:在创客教育理念的指引下,国内很多学校都纷纷建立创客实践室及创客空间,致力于从小培养孩子的 创新精神和创造能力,某校开设了“3D”打印、数学编程、智能机器人、陶艺制作“四门创客课程记为 A、B、 C、D,为了解学生对这四门创客课程的喜爱情况,数学兴趣小组对全校学生进行了随机问卷调查,将调查 结果整理后绘制成两幅均不完整的统计图表: 创客课程 频数 频率 “3D”打印 36
8、0.45 数学编程 0.25 智能机器人 16 b 陶艺制作 8 合计 a 1 请根据图表中提供的信息回答下列问题: (1)统计表中的 a=_,b=_; (2)“陶艺制作”对应扇形的圆心角为_; (3)根据调查结果,请你估计该校 300 名学生中最喜欢“智能机器人”创客课程的人数; (4)学校为开设这四门课程,预计每生 A、B、C、D 四科投资比为 4:3:6:7,若“3D 打印课程每人投资 200 元,求学校为开设创客课程,需为学生人均投入多少钱? 【答案】(1)80,0.2;(2)36 ;(3)该校 300 名学生中最喜欢“智能机器人”创客课程的有 60 人;(4)学校为开设 创客课程,需
9、为学生人均投入 222.5 元 【解析】(1)a=36 0.45=80, b=16 80=0.2, 故答案为:80,0.2; (2)“陶艺制作”对应扇形的圆心角为:360 8 80=36 , 故答案为:36 ; (3)300 0.2=60(人), 即该校 300 名学生中最喜欢“智能机器人”创客课程的有 60 人; (4)每生 A、B、C、D 四科投资比为 4:3:6:7,“3D 打印课程每人投资 200 元, 每生 A、B、C、D 四科投资分别为:200 元、150 元、300 元、350 元, 20036:150(800.25):30016:3508 80 =222.5(元), 即学校为开
10、设创客课程,需为学生人均投入 222.5 元 总结:本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体,解答本题的关键是明确题意,熟练掌握各知总结:本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体,解答本题的关键是明确题意,熟练掌握各知 识点识点 例 4:某路段上有 A、B 两处相距近 200m 且未设红绿灯的斑马线,为使交通高峰期该路段车辆与行人的通 行更有序,交通部门打算在汽车平均停留时间较长的一处斑马线上放置移动红绿灯.图 1,图 2 分别是交通 高峰期来往车辆在 A、B 斑马线前停留时间的抽样统计图. 根据统计图解决下列问题: (1)若某日交通高峰期共有 350 辆车经过 A 斑马线,请估计
11、其中停留时间为 10s12s 的车辆数,以及这 些停留时间为 10s12s 的车辆数的平均停留时间; (直接写出答案) (2)移动红绿灯放置在哪一处斑马线上较为合适?请说明理由. 【答案】 (1)7 辆,11; (2)选 B. 理由见解析. 【解析】 解: (1) 1 10:12:12:8:7:1 350 =7 辆,停留时间为 10s12s 的车辆的平均停留时间为: (10+12) 2=11. (2)车辆在 A 斑马线前停留时间约为: 1 50 (1 10 + 3 12 + 5 10 + 7 8 + 9 7 + 11 1) = 4.72, 车辆在 B 斑马线前停留时间为: 1 40 (1 3
12、+ 3 2 + 5 10 + 7 13 + 1 12) = 6.45, 4.72 6.45, 因此移动红绿灯放置 B 处斑马线上较为合适 总结:本题考查的是条形统计图、用样本估计总体,读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题总结:本题考查的是条形统计图、用样本估计总体,读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题 三、练习题 1在数字 69669966699966669999 中,数字“6”出现的频数、频率分别是( ) A10,10 B0.5,10 C10,0.5 D0.5,0.5 【答案】C 【解析】 69669966699966669999,数字“6”出现了 10 次, 数字“6”
13、出现的频数为 10 频率=10 20 = 0.5 故选 C 2某校准备组建七年级男生篮球队,有 60 名男生报名,体育老师对 60 名男生的身高进行了测量,获得 60 个数据,数学老师将这些数据分成 5 组绘制成绩分布直方图,已知从左至右的 5 个小长方形的高度比为 1: 3:5:4:2,则第五个小组的频数为( ) A12 B16 C20 D8 【答案】D 【解析】 解:由题意可得, 第五个小组的频数为:60 2 1:3:5:4:28, 故选:D 3 某单位有职工100名,按他们的年龄分成8组,在4042(岁)组内有职工32名,那么这个小组的频率是_ 【答案】0.32 【解析】 32 100=
14、0.32. 故答案为:0.32. 4 在样本容量为 200 的频数直方图中,共有 3 个小长方形,若第一个长方形对应的频率为10%, 则第一个长方 形对应的频数是_ 【答案】20 【解析】 解:第一个长方形对应的频数是:200 10%=20; 故答案是:20, 5在一次数学测试中,将某班 50 名学生的成绩分为六组,第一组到第五组的频数分别为 6,8,9,12,10, 则第六组的频率是_ 【答案】0.1 【解析】 一个容量为 50 的样本, 把它分成 6 组, 第一组到第五组的频数分别为 6,8,9,12,10, 第六组的频数是 506891210=5. 第六组的频率是: 5 50 = 0.1
15、. 故答案为:0.1. 6一次数学测试后,某班 50 名学生的成绩被分为 5 组,第 14 组的频数分别为 12、10、6、8,则第 5 组 的频率是_ 【答案】0.28 【解析】 根据题意得:50(12+10+6+8)=5036=14, 则第 5 组的频率为 14 50=0.28, 故答案为:0.28. 7光明中学七年级甲、乙、丙三个班中,每班的学生人数都为40名,某次数学考试的成绩统计如下: (如 图,每组分数含最小值,不含最大值) 根据图、表提供的信息,则8090分这一组人数最多的班是_ 甲班数学成绩频数分布直方图 乙班数学成绩各分数段人数统计图 丙班数学成绩频数统计表 分数 5060
16、6070 7080 8090 90100 人数 1 4 15 11 9 【答案】甲班 【解析】 由甲班的数学成绩频数分布直方图可知,则8090分这一组人数是大于12人,由乙班数学成绩的扇形统计 图可知,8090分这一组人数是40 (1 10% 5% 35% 20%) = 12人,由丙班的成绩频数统计表可 知,8090分这一组人数是11人,所以甲班在8090分这一组人数最多 故答案为:甲班 8 某中学初二年级共有 400 名学生,为了了解这些学生的视力情况,从中随机抽取了 50 名学生进行测试,若视 力为 1.0 的一组有 10 人,则该组的频率为 _ ;若视力为 0.8 的一组频率为 0.3,
17、则该组有_人;根 据上述抽样调查可估计该中学初二年级视力为 1.0 的学生有 _ 人. 【答案】0.2; 15; 80 【解析】 视力为 1.0 的频率为 10 50=0.2; 视力为 0.8 的共有 50 0.3=15(人); 该中学初二年级视力为 1.0 的学生共有 400 0.2=80(人). 故答案为:0.2;15;80 9某校为了做好全校 800 名学生的眼睛保健工作,对学生的视力情况进行一次抽样调查,如图是利用所得 数据绘制的频数分布直方图(视力精确到 0.1)请你根据此图提供的信息,回答下列问题: (1)本次调查共抽测了 名学生; (2)视力在 4.9 及 4.9 以上的同学约占
18、全校学生比例为多少? (3)如果视力在第 1,2,3 组范围内(4.9 以下)均属视力不良,应给予治疗矫正请计算该校视力不良 学生约有多少名? 【答案】 (1)160; (2)3 8; (3)500. 【解析】 (1)10+30+60+40+20160; (2)视力在 4.9 及 4.9 以上的同学人数为 40+2060(人) , 所占比例为: 60 160 = 3 8; (3)视力在第 1,2,3 组的人数在样本中所占的比例为100 160 = 5 8, 该校视力不良学生约有800 5 8 = 500(人) 10为了解学生身高,某校随机抽取了 25 位同学的身高,按照身高分为:A,B,C,D
19、,E 五个小组,并 绘制了如下的统计图,其中每组数据均包含最小值,不包含最大值 请结合统计图,解决下列问题: (1)这组数据的中位数落在_组; (2)根据各小组的组中值,估计该校同学的平均身高; (3)小明认为在题(2)的计算中, 将 D, E 两组的组中值分别用 1.70m 和 1.90m 进行替换, 并不影响计算结果 他 的想法正确吗?请说明理由 【答案】(1)D;(2)该校同学的平均身高为 1.69 米;(3)不正确 【解析】 解:(1)从直方图可得出这组数据的中位数位于 D 组; 故答案为:D; (2)(1.45 2+1.55 3+1.65 7+1.75 9+1.85 4) 251.6
20、9(米); 答:该校同学的平均身高为 1.69 米; (3)不正确,理由:组中值是这一小组的最小值和最大值的平均数, 如果将 D,E 两组的组中值分别用 1.70m 和 1.90m 进行替换, 平均数就会增加了, 故不正确 故答案为:(1)D;(2)该校同学的平均身高为 1.69 米;(3)不正确 11某校八班学生为了解某小区家庭月均用水情况,随机调查了该小区部分家庭,并将调查数据进行如 下整理,请解答以下问题: 级别 A B C D E F 月均用水量 x(t) 0x5 5x10 10x15 15x20 20x25 2x30 频数(户) 6 12 m 10 4 2 频率 0.12 0.24
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