高斯小学奥数六年级上册含答案第21讲 数字迷综合二
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1、第二十一讲 数字谜综合二 我们先来观察几个有趣的等式: 2222,1.531.53,1.261.26, 这些等式,等号左右两边出现的数字相同,左边是乘法,右边是加法,而所得的乘 积与和数相同也就是两个数的乘积等于这两个数的和你能再写出几个类似的等式 吗? 如果盲目瞎写,随便找两个数,看看乘积是不是与和数一样,这是不可行的,有如 海底捞针而事实上,要写出几个类似的等式是很容易的前提是你要找到其中的规 律我们设这两个数分别为a和b,我们希望和与积相同,也就是abab 我们对这个等式进行变形: (1)abab; (2)abab; 【把含有字母a的项都移到左边】 (3)1a bb; 【提公因数a】 (
2、4)111a bb; 【把1b 当成一个整体】 (5) 111a bb; 【把含有1b 的项移到左边】 (6)111ab 【提公因数1b 】 我们发现abab化简后变成111ab,也就是只要满足111ab 的两个数,它们的乘积就与和数相等也就是: 2222 变成 2 12 11 1.261.26 变成 1.2 16 11 1.531.53 变成 1.5 13 11 如果要求a和b都是整数, 则 1a 和 1b 都是1的约数, 于是 111ab , 所以 2ab , 也就是两自然数的和与积相等的情形只有唯一一种:2 222 如果不要求a、b是 自然数,则两数和与积相等的算式还可以写出无限多组例如
3、:把 1 看成是0.4 2.5 , 则 10.4 12.5 a b ,解得 1.4 3.5 a b ,就写出一个算式1.4 3.51.43.5 例1 (1)把 1 9 表示成两个自然数的倒数之和,请给出所有的答案 分析分析设 111 9ab (ab) ,字母都出现在分母中,不好办如果在等式两边同时 乘以各分母的最小公倍数,所得的等式中就不会出现“分数”了,此时得到的是怎样的 一个等式? 练习 1、把 1 15 表示成两个自然数的倒数之和,请给出所有的答案 例2 把 1 2 拆成三个单位分数的和,请给出 2 种拆法 分析分析 在已经学会把一个分数拆成两个分数的基础上, 我们只要进行两次分拆就可以
4、 了,既把第一次拆出的两个分数中的任何一个再进行一次分拆 练习 2、两个正整数的乘积是它们和的 6 倍,求这两个数 两个数的和、差、积、商 大多数情况下,两个数的和、差、积、商这四个数互不相同,因而四个数中有某两个数 相同的情形就显得颇为有趣了 (1)和与差相同,例如:1010 (2)积与商相同,例如:12 1 12 1 (3)差与商相同,例如:4242 (4)和与商相同,例如:0.50.50.50.5 (5)和与积相同,例如:1.261.26 (6)差与积相同,例如:1 0.510.5 请同学们针对每一类情况, 自己再举出一些例子 这 6 类情况分别在什么时候发生呢? 你能发现其中的奥妙吗?
5、 数字谜与数论是紧密联系的,在求解数字谜问题的时候,经常要用到一些数论的知 识同时还会用到像首位分析、尾数分析、位数分析这样的数字谜问题中特有的分析方法 例3 在竖式中的方框内分别填入 0 到 9 这 10 个数字中的 9 个,使得竖式成立 分析分析 十个方框中填入的数字之和是多少?最后的和的数字之和是多少?那么可以根 据这两个和之差确定发生进位的次数以及进位的位置 练习 3、在竖式中填入 0 至 9 各一次,使竖式成立 例4 从 1 到 9 中选出 8 个数字填入算式“”的方框中,每 个数字恰好填一次,使等式成立请问: (1)没有被选出的数字是多少? (2)两个四位数中较大的数最小是多少?最
6、大是多少? 分析分析 (1)填入 8 个数,使得算式成立的填法有很多在众多的填法中,所用的 8 个数是固定的吗? (2)要使较大数取得最小值,就要使所填的两个数大小最接近要使较大数取得最大 值,则要使所填的两个数的差最大 练习 4、 从 19 中选出 8 个数字填入算式 “172” 的方框中, 每个数字恰好填一次,使等式成立请问: (1)没有被选出的数字是多少? (2)四个两位数中最大的数最小是多少?最大是多少? 13579 2 0 1 2 10 20 13 12 16 例5 将 l10 这 10 个自然数填入下图五角星的 10 个圆圈内,使得外面五个三角形中的数 等于其所在三角形三个顶点内数
7、的和 分析分析图中有 10 个圆圈,这些圆圈所填数字的总和是多少?五个三角形的三个顶点 上的数字之和是多少?每个圆圈各出现在多少个三角形中? 例6 下图中有大、中、小 3 个正方形,组成了 8 个三角形现在先把 1、2、3、4 分别填 在大正方形的 4 个顶点上,再把 1、2、3、4 分别填在中正方形的 4 个顶点上,最后把 1、2、3、4 分别填在小正方形的 4 个顶点上请问: (1) 能否使 8 个三角形顶点上数字之和都相等?如果能, 请给出填数方法; 如果不能, 请说明理由 (2) 能否使 8 个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能, 给出填数方法; 如果不能, 请说明理由 分析分析 (
8、1)每个三角形的三个顶点上的数字相加,就得到一个“和数” ,于是得到 8 个相同的“和数” 如果将这 8 个和数相加,实际上把每个顶点上的数各加了多少次? 总和是多少? (2)要使 8 个“和数”互不相同,这些和数最小能取多少,最大能取多少? 数独 “数独”来自日文(),但概念源自“拉丁方块”,是十八世纪瑞士数学家 欧拉发明的在上个世纪七十年代,美国人重新挖掘它的魅力,接着日本杂志出版商在八十 年代末期在一本美国杂志上看到这个游戏,带回日本后,增加它的游戏难度,并命名为“数 独”,“数独”就此诞生,并逐渐受到日本人的注意、沉迷日本还出版了许多“数独”的 书新西兰裔英籍退休法官韦恩古德(Wayn
9、e Gould)1997 年旅游日本时,买了一本数独 游戏书,从此就迷上了,进而研究出计算机程序,开始供稿给全球十几家报社,立即受到读 者的热烈回响据说,“数独”还成为英国报纸销售量的法宝,连美国纽约时报也无法 阻挡它的魅力,开始定期登载2004 年 5 月 30 日起,台湾的中国时报也取得古德的授 权,每天都刊出一则数独谜题,让这个新玩意第一次出现在台湾的大众媒体上,也是全球第 一家引入数独游戏的中文报纸 方格里摆几个数字,乍看之下好像没什么但数独好玩之处,就在推敲的过程,以及 解答出来的成就感由于规则简单,却变化无穷,在推敲之中完全不必用到数学计算,只需 运用逻辑推理能力,所以无论老少中青
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