高斯小学奥数六年级上册含答案第18讲 最值问题二
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1、第十八讲 最值问题二 一、最值问题中的常用方法 a) 极端思考 在分析某些最值问题时,可以考虑把问题推向“极端” ,因为当某 一问题被推向“极端”后,往往能排除许多枝节问题的干扰,使问 题的“本来面目”清楚地显露出来,从而使问题迅速获解 b) 枚举比较 根据题目的要求,把可能的答案一一枚举出来,使题目的条件逐步 缩小范围,筛选比较出题目的答案 c) 分析推理 根据两个事物在某些属性上都相同, 猜测它们在其他属性上也有可 能相同的推理方法 d) 构造调整 在寻求解题途径难以进展时,构造出新的式子或图形,往往可以取 得出奇制胜的效果 二、求最大值和最小值的结论 1 和一定的两个数,差越小,积越大;
2、 2 积一定的两个数,差越小,和越小; 3 两点之间线段最短 例1 用一根长 80 厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架,这个长方体的 体积最大是多少立方厘米? 分析分析题目的限制条件是铁丝长为 80 厘米,要求体积的最大值,通过什么可以把这 二者联系起来呢? 练习 1、 (1)用一根长 100 厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架,这 个长方体的体积最大是多少立方厘米? (2) 有一根铁丝, 它能焊接成的棱长都是整数厘米的最大长方体的体积是 36 立方厘米, 这根铁丝的长度是多少厘米? 例2 有 5 袋糖,其中任意 3 袋的总块数都超过 60这 5 袋糖块总共最少有多
3、少块? 分析分析每 3 袋的总块数都超过 60,要求 5 袋的总块数事实上我们以前做过类似的 题: “已知三个数两两的和数,求这三个数的总和 ”这样的题大家是怎么处理的呢?它 的处理方法能否应用到本题中来呢? 练习 2、有 5 个学生参加暑期竞赛班,每人都拿了不少积分(所有积分都是整数) 如 果其中每三人的积分之和都不少于 500 分,那这五人的总积分最少是多少? 例3 用 1、2、3、4、5、6、7、8、9 各一个组成 3 个三位数,使得它们都是 9 的倍数,并 且要求乘积最大,请写出这个乘法算式 分析分析为了让这样的三个数的乘积最大,我们当然要让三个数的首位最大那么首位 应该是多少呢?注意
4、到这三个数都是 9 的倍数, 9 的倍数有什么特征呢?它对这三个数 提出了怎样的要求? 练习 3、用 1、2、3、4、5、6 各一个组成两个三位数,使得它们都是 3 的倍数,并且 要求乘积最大,请写出这个乘法算式 例4 把 1 至 99 依次写成一排,行成一个多位数:1234 9899从中划去 99 个数字,剩下 的数字组成一个首位不是 0 的多位数 请问: 剩下的数最大可能是多少?最小可能是多 少? 分析分析要使得到的数最大,所得的数前面几位应该是什么?如果要最小呢? 练习 4、 把 1 至 20 依次写成一排, 行成一个多位数:1234 1920 从中划去 20 个数字, 剩下的数字组成一
5、个首位不是 0 的多位数 请问: 剩下的数最大可能是多少?最小可能 是多少? 例5 邮递员送信件的街道如图所示,每一小段街道长 1 千米如果邮递员从邮局出发,必 须走遍所有的街道,那么邮递员最少需要走多少千米? 分析分析 如果邮递员恰好没有重复地走遍所有的街道, 则这样走的总路程就是最短的 那 么邮递员能做到这一点吗?实际上这是一个一笔画问题, 同学们回想一下, 什么样的图 形才能一笔画出来呢? 1 1 1 1 1 1 邮局 例6 如图,有一个长方体的柜子,一只蚂蚁要从左下角的 A 点出发,沿柜子表面爬到右上 角的 B 点去取食物,蚂蚁爬行路线的长度最短是多少?一共有几条最短路线?请在图 中表
6、示出来 分析分析众所周知,两点之间线段最短然而在本题中,蚂蚁是不能穿过柜子的,只能 在柜子表面爬行这样一来,我们就要在柜子表面寻找一条从 A 到 B 的最短路线可 是蚂蚁应该怎么走才能距离最短呢? A B 3 3 1 罐头装箱问题 我们经常遇到把圆柱体罐头放入长方体包装箱的问题, 怎么摆放才能最有效地利用 包装箱内的空间呢? 一种显而易见的办法是把各圆排列成矩形的形状, 像图 1 这样 它是一种较优排法, 但不是最优的办法 没有最大限度地利用空间, 浪费不少, 圆的面积只占总共的 78.5% 比上述办法好得多的办法,是将罐头摆放成图 2 所示的六边形不难算出,正六边 形内圆所覆盖的面积超过了
7、90 实际上, 数学家已经证明了如果空间是无限延展的, 这种六边形摆放法是最紧密的包装方式 但是正六边形摆法的最紧密性质是有条件的, 尤其在盒子不太大的时候 例如要放 9 个罐头,正六边形摆法需要的正方形不是最小的如图 3,它的放法就不比图 4 好 当罐头数目增加时,放罐头的最佳包装法会不断在变,越来越 倾向于正六边形排法 比如,13 个罐头的最优包装法,用边长大约为圆直径 3.7 倍的 正方形就够了如图 5,虽然它看上去乱糟糟,但已被证明为最优 解我们可以看到,12 个罐头紧紧地靠在一起,而第 13 个(黄色的 那个)则自由自在地放在中间 最后,大家思考一个问题:设 1 角钱硬币的直径为 a
8、 厘米,那么我们在边长为 10a 厘米的正方形中,最多可以不重叠地放入多少枚硬币呢?是 100 枚吗?能否放进去更 多? 图 4 图 3 图 2 图 1 图 5 作业 1. 用一根长 120 厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架, 这个长方体的体 积最大是多少立方厘米? 2. 高、娅、莫、萱四人各有若干块高思勋章,其中任意两人的勋章合起来都少于 10 块, 那么这四人的勋章合起来最多有多少块? 3. 用 1、2、3、4、5、6、7、8 各一个组成两个四位数,使得它们都是 3 的倍数,并且要 求乘积最大,请写出这个乘法算式 4. 把 21 至 40 依次写成一排,行成一个多位数:21
9、2223243940从中划去 20 个数字, 剩下的数字组成一个首位不是 0 的多位数 请问: 剩下的数最大可能是多少?最小可能 是多少? 5. 如果例题 5 中的街道由“土”字形变成如下所示的形状,那么邮递员从邮局出发,要走 遍所有的街道,最少需要走多少千米? 1 1 1 1 1 1 邮局 第十八讲 最值问题二 例7 答案:294 详解详解:长方体满足:80420长宽高厘米,要使体积最大,就应该使三边长度 尽量接近 所以当三边长度分别为 7 厘米、 7 厘米和 6 厘米时, 体积最大, 为7 7 6 2 9 4 立方厘米 例8 答案:103 详解详解:任意 3 袋糖果总块数都不少于 61,必
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