高斯小学奥数六年级上册含答案第16讲 数论综合提高二
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1、第十六讲 数论综合提高二 本讲知识点汇总: 一、约数、倍数 1 基本概念 (1) 如果 a 能被 b 整除(也就是) ,则 b 是 a 的约数(因数) ,a 是 b 的倍数; (2) 约数具有“配对”性质:大约数对应小约数 2 约数个数 (1) 分解质因数,指数加 1 再相乘; (2) 平方数有奇数个约数,非平方数有偶数个约数 3 约数和公式 (1) 如果一个数的质因数分解式为, 则约数和为 ; (2) 如 果 一 个 数 的 质 因 数 分 解 式 为, 则 约 数 和 为 ; 二、公约数、公倍数 1 基本概念 (1) 如果 a 是若干个数公有的约数, 则称 a 是它们的公约数, 其中最大的
2、叫做最大 公约数; (2) 如果 b 是若干个数公有的倍数, 则称 b 是它们的公倍数, 其中最小的叫做最小 公倍数; (3) 公约数是最大公约数的约数,公倍数是最小公倍数的倍数 2 计算方法 (1) 短除法; (2) 分解质因数法; (3) 辗转相除法(只用于计算两个数的最大公约数) 3 基本性质 (1) ; (2) 两个数的最大公约数是它们和或差的约数; (3) 已知两个未知数的最大公约数,可利用最大公约数把这两个数表示出来: 例如,甲、乙的最大公约数是 5,则可以把甲乙分别设为 5a 和 5b,其中 a、b 互质,此时甲乙的最小公倍数是 5ab 4 两个最简分数的最大公约数、最小公倍数:
3、 ,a ba ba b 2 111abcc 2 abc 223 11aabbb 23 ab |b a ; 一、 约数、倍数 1 约数的配对思想; 2 约数个数与完全平方数的关系; 3 求约数个数; 4 求约数的和; 5 利用约数个数反推原数的质因数分解形式 二、 公约数、公倍数 1 基本计算; 2 带有应用题背景的公约数公倍数计算; 3 有关最大公约数和最小公倍数的反求问题; 4 最大公约数、最小公倍数的质因数的分配 例1 庆祝高思学校 4 周岁的生日,预计在 12 月 5 日高思成立日的当天举行大型的庆祝活 动,由编号 1100 的 100 名高思小明星们组成的方阵,开始都面朝东方站立,第一
4、次所 有编号是 1 的倍数的向左转, 第二次所有编号是 2 的倍数的小朋友再向左转, 第三次编 号是 3 的倍数的小朋友再向左转, , 最后一次所有编号是 100 的倍数的小朋友再向 左转,最后所有小朋友中有多少名小朋友面朝南方? 分析分析 首先分析出转几次的人会面朝南方, 这些次数排成一列, 找出这组数列的规律 练习 1、有 2012 盏灯,分别对应编号为 1 至 2012 的 2012 个开关现在有编号为 1 至 2012 的 2012 个人来按动这些开关已知第 1 个人按的开关的编号是 1 的倍数,第 2 个 人按的开关的编号是 2 的倍数,第 3 个人按的开关的编号是 3 的倍数,依次
5、做下 去,第 2012 个人按的开关的编号是 2012 的倍数如果最开始的时候,灯全是亮着的, 那么这 2012 个人按完后,还有多少盏灯是亮着的? 经典题型 ac ac bdbd , , , acac bdbd , , , 例2 一个数有 15 个约数,这个数最小是多少?第二小是多少? 分析分析根据约数个数公式分析出含有 15 个约数的数的分解质因数形式 练习2、有10个约数的自然数最小是多少?有8个约数的最小的奇数是多少? 例3 在 35 的倍数中,恰有 35 个约数的最小数是多少?(请写出质因数分解式) 分析分析 所求数一定含有 35 的质因数, 再结合含有 35 个约数的数的分解质因数
6、形式即 可找到解题的突破口 练习 3、42 的倍数中,恰好有 42 个约数的数有多少个? 例4 三个自然数乘积为 86400,且这三个数的约数个数分别为 8、9、10 个那么这三个自 然数分别是多少? 分析分析把含有 8、9、10 个约数的数的分解质因数形式及 86400 中个质因数的个数结 合在一起进行分析 练习 4、三个自然数乘积为 5184,且这三个数的约数个数分别为 A 个、A+1 个、A+2 个那么这三个自然数分别是多少? 例5 两个整数的差为 7,他们的最小公倍数和最大公约数的差是 689,则这两个数分别是 多少? 分析分析列不定方程求解 例6 大雪后的一天,亮亮和爸爸从同一点出发
7、沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长, 亮亮每步长 54 厘米,爸爸每步长 72 厘米,由于两个人的脚印有重合,所以雪地上只留 下 60 个脚印问:这个花圃的周长是多少米? 分析分析这是一道公约数、公倍数的问题,首先回忆一下公约数、公倍数的求法,再思 考一下题中各数据之间的关系 亲和数(Amicable Pair) 亲和数是一种古老的数 遥远的古代,人们发现某些自然数之间有特殊的关系:如果两个数 a 和 b,a 的所 有真因数之和等于 b,b 的所有真因数之和等于 a,则称 a,b 是一对亲和数 相传,毕达哥拉斯的一个门徒向他提出这样一个问题: “我结交朋友时,存在着数 的作用吗?”毕达哥拉斯
8、毫不犹豫地回答: “朋友是你的灵魂的倩影,要象 220 和 284 一样亲密什么叫朋友?就象这两个数,一个是你,另一个是我 ”后来,毕氏学派宣 传说:人之间讲友谊,数之间也有“相亲相爱” 从此,把 220 和 284 叫做“亲和数” (也叫“朋友数”或叫“相亲数” ) 这就是“亲和数”这个名称的来源 毕达哥拉斯首先发现 220 与 284 就是一对亲和数,在以后的 1500 年间,世界上有 很多数学家致力于探寻亲和数,面对茫茫数海,无疑是大海捞针,虽经一代又一代人的 穷思苦想, 有些人甚至为此耗尽毕生心血, 却始终没有收获 公元九世纪, 伊拉克哲学、 医学、天文学和物理学家泰比特 依本库拉曾提
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