高斯小学奥数六年级上册含答案第13讲 概率初步
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1、第十三讲 概率初步 日常生活中, 我们经常会遇到一些无法事先预测结果的事情, 比如抛掷一枚硬币出 现正面还是反面,明天会不会下雨,欧洲杯谁会夺冠等,这些事情我们称作随机事件, 它们的结果都有不确定性,是无法预知的 尽管无法预知结果, 但有时我们可以根据一些迹象或者经验了解结果发生的可能性 的大小,例如: 今天乌云密布,那么明天很有可能下雨; 中国足球队参加世界杯夺冠的可能性非常小; 一次投掷 10 枚硬币,出现 10 个正面的可能性非常小 为了能够更准确的描述这种 “可能性的大小” , 法国数学家费马和帕斯卡在 17 世纪 创立了概率论,把对随机事件的研究上升到一门科学 (当时他们通过信件讨论
2、了社会 上的两个热点问题掷骰子问题和比赛奖金分配问题) 概率基本概念 概率反应了一个随机事件结果发生的可能性,例如:投掷一枚硬币,正面和反面出 现的可能性相同,所以概率均为;投掷一个骰子,每种点数出现的可能性相同,所 以概率均为 概率是 01 之间用来表示事件可能性大小的一个数值 关于概率,大家要有一个正确的认识,投掷 1 枚硬币,正面出现的概率为,并 不是说投掷 2 次一定会有 1 次正面,而是说每次扔都有可能性出现正面 虽然投掷 2 次硬币,不见得正面会出现一半,但是,投掷次数越多,正面出现的比 例越接近一半(例如无论谁投掷 10000 次硬币,正面出现的比例都会很接近 0.5) (这 个
3、特点在概率论中被称为大数定律) 换言之,概率可以展示出大量重复实验结果的规律性基于此,在 17 世纪概率刚 创始的年代,人们提出了古典概率模型 古典概率模型 古典概率模型是最简单的概率计算模型,它的想法非常简单,用“条件要求的情况 总量”除以“全部情况数量”即可 古典概型中,第一个重要条件是“全部情况的数量是有限个全部情况的数量是有限个 ” ,下面我们先用几个 简单例子来看一下古典概型的用法: 1A、B、C 排成一排,共有 6 种排法,其中 A 占排头的方法共 2 种,所以 A 站排 头的概率是 2从 3 个男生、2 个女生中,随意选出 2 个人去参加数学竞赛,共有 10 种方法, 其中选出
4、2 个男生的方法数有 3 种,所以选出 2 个男生的概率是 33 个男生、2 个女生站成一排照相共有 120 种站法,其中女生互不相邻的站法 共 72 种,所以 3 男、2 女站成一排,女生互不相邻的概率是 上面的例子都比较简单, 因为计算概率所需要的两个数都非常好算, 接来下我们再 看几个例子, 从这几个例子中, 大家要能体会到古典概型的第二个重要条件等可能等可能 性性 4从 10 个红球、1 个白球中,随意的取出 1 个球,取到红球的概率是 5投掷两枚硬币,出现 2 个正面的概率是,出现 1 正 1 反的概率是,出现 2 反的概率是 6从 3 个红球、2 个白球中,随意取出 2 个球,取到
5、 2 个红球的概率是 例 4 比较简单, 在例 5 中, 从硬币的结果看,只有 3 种情况 “2 正、 1 正 1 反、 3 10 1 4 1 2 1 4 10 11 3 5 3 10 1 3 它所包含的等可能情况数量 某一随机事件发生的概率 全部等可能情况的数量 1 2 1 2 1 6 1 2 2 反” ,但概率都不是,因为这 3 种结果出现的可能性不同,给硬币编上 A 和 B,那 么出现 1 正 1 反有两种情况 “A 正 B 反、 A 反 B 正” , 而 2 正和 2 反都只有 1 种情况 (投 掷 2 枚硬币共 4 种情况) 而例 6 和例 2 是相同的题目(把红球换成男生,白球换成
6、女生即可) 从这 3 个例子可以看出,在计算概率时,不能简单的看有几种最终结果,因为结果 必须是“等可能”才行(例 4 的结果只有红球和白球两种,但概率显然不相等) 为了 计算“等可能”的结果,一个简单方法是给每个物体编号,例如例 4,假设红球是 1 号 到 10 号,白球是 11 号,那么显然共有 11 种不同取法,其中有 10 种取到红球,所以概 率是 例题1. 4 个男生、 2 个女生随机站成一排照相, 请问:(1) 女生恰好站在一起的概率是多少? (2)女生互不相邻的概率是多少?(3)男生互不相邻的概率是多少? 分析分析对于排队问题大家还记得“捆绑”和“插空”法吗? 练习 1、关羽、张
7、飞、赵云、黄忠、马超随机的站成一行上台领奖,请问: (1)关羽站 在正中间的概率是多少?(2)关羽和张飞相邻的概率是多少?(3)关羽和张飞中间恰 好隔着一个人的概率是多少? 例题2. 一个不透明的袋子里装着 2 个红球,3 个黄球和 4 个黑球从口袋中任取一个球, 请问: (1)这个球是红球的概率是多少?(2)这个球是黄球或者是黑球的概率是多 少?(3)这个球是绿球的概率是多少;不是绿球的概率是多少? 分析分析首先计算一下取球的总的情况数,再计算问题要求的取球情况数 练习 2、北京数学学校从集训队中随机选出 3 个人去参加比赛,已知集训队中共有 4 个男生、3 个女生,请问: (1)选出 3
8、个男生的概率是多少?(2)选出 2 男 1 女的 概率是多少? 10 11 1 3 例题3. 一次投掷两个骰子,请问: (1)两个骰子点数相同的概率是多少?(2)两个骰子点 数和为 5 的概率是多少?(3)两个骰子点数差是 1 的概率是多少? 分析分析骰子是一个正方体,每个面上的点数从 1 到 6,可以按题目要求枚举一些 情况,根据枚举结果总结规律计算最后答案 练习 3、一次投掷 3 枚硬币,请问: (1)出现 3 个正面的概率是多少?(2)出现 1 正 2 反的概率是多少? 例题4. 两个盒子中分别装有形状大小相同的黑球、白球和黄球各 1 个,现在从两个盒子中 各取一个球,那么它们同色的概率
9、是多少?不同色的概率是多少? 分析分析任取两球它们颜色的可能情况有多少种?其中有多少同色情况? 练习 4、 一个不透明的袋子里装着 2 个红球、 3 个黄球和 4 个黑球 从中任取两个球, 请问:取出 2 个黑球的概率是多少?取出 1 红 1 黄的概率是多少?取出 1 黄 1 黑的 概率是多少? 概率的独立性 如果两个或多个随机事件的结果互不影响,则称它们相互独立,例如: A 买彩票是否中奖和 B 买彩票是否中奖是独立的; 甲考试能否及格和乙考试能否及格是独立的; 如果两个随机事件相互独立,那么它们同时发生的概率是它们单独发生 概率的乘积 例题5. 神射手和神枪手两人打靶, 已知他们的命中率分
10、别为 0.8 和 0.9, 他们每人开一枪, 那么他们都命中的概率是多少?都没命中的概率是多少? 分析分析理解概率独立性,根据独立性解题即可 需要分步计算的概率问题 有些随机事件, 在发生时有先后顺序, 这时在计算概率时需要分步计算, 这时只要把每步的概率算出来,然后相乘即可,例如: 一个盒子中装有形状大小相同的黑球和白球各 2 个, 从中先取出 1 个球, 然后从剩下的球中再取出一个,那么第一次抽到黑球的概率是,第二次抽 到黑球的概率是,所以两次都抽到黑球的概率是 在分步拿球的问题中,大家还要注意“无放回拿球无放回拿球 ”和“有放回拿球有放回拿球 ” 的区别,它关系到每步的概率计算结果例如:
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