高斯小学奥数六年级上册含答案第09讲 几何综合
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1、第九讲 几何综合问题 这一讲我们学习几何综合题,题型是复杂而巧妙的这种问题往往需要 我们有点武侠小说中“借力打力”的能力,不要硬碰硬,而是借巧劲比如 已知一个面积为 2 的正方形,求边长为其两倍的正方形的面积把边长具体 数值求出来,用边长的关系来计算面积的想法是不可行的而且事实上也是 没必要的,我们可以把面积为 2 的正方形边长设为a,它的两倍为2a,则 2 2a ,以2a为边长的正方形面积为 2 2244 28aaa 我们再来看 几个用类似想法解决的问题 本讲知识点汇总: 一、 巧用面积公式,利用图形面积之间的和差关系来求解图形面积 1. 圆与直角三角形中利用勾股定理 2. 同 底 三 角
2、形 利 用 “2公共底 高的和” 求 面 积 和 , “2公共底 高的差”求面积差 3. 不去考虑每块图形的面积,而是将若干块图形放在一起,考虑其面 积之间的和差关系 二、 辅助线与几何变换 1. 通过割、补,将图形的变为规则图形,以便于分析 2. 通过几何变换(翻转、对称)等,将图形变得易于求解 三、 图形运动 能够正确地画出简单几何图形(如圆等)在运动过程中所扫过区域的 边界,并求解相关的长度和面积 例1 如图,阴影部分的面积是 25 平方厘米,求圆环的面积 (取 3.14) 分析分析 阴影部分等于大等腰直角三角形减去小等腰直角三角形, 而圆环等于大圆减去 小圆那么阴影部分面积与圆环面积之
3、间有什么联系呢? 练习 1、下图中阴影部分的面积是 40 平方厘米,求圆环的面积 (取 3.14) O O B D C A 例2 如图,在长方形 ABCD 中,30AB 厘米,40BC 厘米,P 为 BC 上一点,PQ 垂直 于 AC,PR 垂直于 BD求 PQ 与 PR 的长度之和 分析分析如果这道题只是要尝试出一个结果的话,我们只要让 P 取特殊点,例如取成 B 点,所求的长度之和就是 B 点到 AC 边的距离但 PQ 与 PR 的长度之和是否是一个固 定的值呢? 练习 2、如图, 在面积为 72 的正方形中, P 为 CD 边上一点, PQ 与 BD 垂直, PR 与 AC 垂直求 PQ
4、 与 PR 的和 例3 如图,P 为长方形 ABCD 内的一点三角形 PAB 的面积为 5,三角形 PBC 的面积为 13请问:三角形 PBD 的面积是多少? 分析分析直接用面积公式或者比例关系来求三角形 PBD 面积,显然不可行那么还有 什么方法可以用来求三角形 PBD 面积呢? B C A P D AB D C P Q R O C A Q B D P R O 练习 3、如图,P 为长方形 ABCD 外的一点三角形 PAB 的面积为 7,三角形 PBC 的面积为 20,三角形 PCD 的面积为 4请问:三角形 PAD 的面积是多 少?三角形 PAC 的面积又是多少? 中国古代的几何学 形的研
5、究属于几何学的范畴 古代民族都具有形的简单概念, 并往往以图画来表示, 而图形之所以成为数学对象, 便是由工具的制作与测量的要求所促成的 规矩以作圆方, 中国古代夏禹泊水时即已有规、矩、准、绳等测量工具 史记 “夏本纪”记载说:夏 禹治水, “左规矩,右准绳” “规”是圆规, “矩”是直角尺, “准绳”则是确定铅垂方 向的器械这些都说明了早期几何学的应用从战国时代的著作考工记中也可以看 到与手工业制作有关的实用几何知识 战国时期墨子所写的墨经中,对一系列的几何概念进行抽象概括,作出了科学 的定义 周髀算经与刘徽的海岛算经则给出了用矩观测天地的一般方法与具体 公式在九章算术及刘徽注解的九章算术中
6、,除勾股定理外,还提出了若干一 般原理以解决多种问题 例如求任意多边形面积的出入相补原理; 求多面体体积的刘徽 原理;5 世纪祖暅提出的用以求曲形体积特别是球的体积的“幂势既同则积不容异”的 原理;以内接正多边形逼近圆周长的极限方法(割圆术)等 P A B C D 例4 如图,一个六边形的 6 个内角都是 120,其连续四边的长依次是 1 厘米、9 厘米、9 厘米、5 厘米求这个六边形的周长 分析分析所给六边形各内角都是 120 ,这使我们联想到正六边形在求解与正六边形 有关的题目时,最常用的方法有两种:一种是“割”,一种是“补”“割”是指把六 边形分割干个边长或面积为 1 的正三角形; “补
7、”是指在正六边形中取出三条互不相邻 的边来延长,补成一个正三角形这两种方法对本题适用吗? 练习 4、一个六边形的 6 个内角都是 120, 并有连续的三边长均为 6 厘米 如 果这个六边形的周长是 32 厘米,那么该六边形最长的边有多长? 例5 如图,在四边形 ABCD 中,30AB ,48AD ,14BC ,且90ABDBDC, 90ADBDBC请问:四边形 ABCD 的面积是多少? 分析分析 本题的条件让人感觉很别扭, 虽然90ABDBDC, 但它们并不是紧挨着的; 虽然90ADBDBC,但它们也不是紧挨着的那究竟对这个图形做怎样的变换,才 A B C D 6 6 6 1 9 9 5 能让
8、那些应该紧挨着的角真正挨在一起呢? 例6 如图,一块半径为 2 厘米的圆板,从位置开始,依次沿线段 AB、BC、CD 滚到位 置 如果 AB、 BC、 CD 的长都是 20 厘米, 那么圆板扫过区域的面积是多少平方厘米? (取 3.14,答案保留两位小数 ) 分析分析这道题关键是把想清楚圆板经过的区域是怎样的图形,并画出对应的轨迹图 A C 2 1 120 B D 中国古代的几何学 形的研究属于几何学的范畴古代民族都具有形的简单概念,并往往以图画来表示,而 图形之所以成为数学对象,便是由工具的制作与测量的要求所促成的规矩以作圆方,中国 古代夏禹泊水时即已有规、矩、准、绳等测量工具 史记 “夏本
9、纪”记载说:夏禹治水, “左规矩,右准绳” “规”是圆规, “矩”是直角尺, “准绳”则是确定铅垂方向的器械这 些都说明了早期几何学的应用从战国时代的著作考工记中也可以看到与手工业制作有 关的实用几何知识 战国时期墨子所写的墨经中,对一系列的几何概念进行抽象概括,作出了科学的定 义 周髀算经与刘徽的海岛算经则给出了用矩观测天地的一般方法与具体公式在 九章算术及刘徽注解的九章算术中,除勾股定理外,还提出了若干一般原理以解决 多种问题例如求任意多边形面积的出入相补原理;求多面体体积的刘徽原理;5 世纪祖暅 提出的用以求曲形体积特别是球的体积的“幂势既同则积不容异”的原理; 以内接正多边形 逼近圆周
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