高斯小学奥数六年级上册含答案第08讲 复杂直线型计算
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1、第八讲 复杂直线型计算 我们在之前的学习中已经详细学习了直线形长度、 角度以及面积的计算, 并学习了 直线形中的各种比例关系下面我们就对这些知识作一下总结 本讲知识点汇总: 我们在之前的学习中已经详细学习了直线形长度、 角度以及面积的计算, 并学习了 直线形中的各种比例关系下面我们就对这些知识作一下总结 一、角度问题 1. n边形的内角和是1802n; 2. n边形的外角和是 360 二、基本直线形的面积计算: 三角形、平行四边形、长方形、正方形、梯形面积公式(详细公式略) 三、直线形中的比例关系 1. 等高三角形:等高三角形:面积比等于底的比 2. 共角三角形:共角三角形:面积比等于共角夹边
2、比的乘积如右图所示,阴影三角形 与大三角形共享一个角,它的左侧边占大三角形左侧边的 1 3 ,右侧边占大三角形 右侧边的 1 2 ,那么它的面积就是大三角形的 111 236 3. 沙漏三角中的比例关系:沙漏三角中的比例关系:如下图所示,上下两个三角形底边平行,另两边呈交叉关 系,则有比例关系 ace bdf 成立 4. 长方形中的比例关系:长方形中的比例关系: (1) 共边长方形的面积比等于另一组边的比 如右图所示, 1 2 Sa Sb a b c d e f a b c d e f a b c d e f 12 :SSa b b a S2 S1 a b S2 S1 a b S2 S1 S1
3、 a S2 b 1 3 1 2 1 S 2 S a b (2) 如右图所示,长方形被一对分别平行于长、宽的线段一分为四, 则有面积比例: 31 24 SSa SSb 将其写成交叉相乘的形式可得 1423 SSSS 5. 一般四边形中的比例关系:一般四边形中的比例关系: (1) 如右图所示,当四边形被对角线分为四个部分的时候,这四块的面 积有 31 24 SS SS 的比例关系成立 (2) 如右图所示,连接四边形的一条对角线 CD,并在 CD 上取一点 O,连 接 OA 和 OB, 将四边形分为四部分 这四部分的面积仍然有比例关系 31 24 SS SS 成 立 上述两个比例关系还可以通过交叉相
4、乘,写成 1423 SSSS的形式 6. 金字塔模型:金字塔模型: 右图三角形中添加一条与底边平行的平行线,就是 金字塔模型金字塔模型的比例关系如右图: 11 22 ab ab 和 111 12122 abc aabbc 7. 燕尾三角形:燕尾三角形: 上面的等高三角形中我们学过等高三角形的比例关 系,如下左图所示,ABC 被线段 AD 一分为二,且有比例关系 12 :SSa b 如下右图所示,在增加了两条线段后,图中有 4 个小三角形,这 4 个小三角形的面 积之间的比例关系如图中所示 面积之间的比例关系如图中所示 1 S 2 S 3 S 4 S a b S1 S2 S3 S4 S3 S4
5、S1 S2 a b S1 S2 A B C D 1 2 Sa Sb 外比: 31 24 SSBD SSCD B S1 S2 S3 S4 C A D O 内比: 12 34 SSAO SSOD a1 b1 c1 a2 b2 c2 11 22 ab ab 111 12122 abc aabbc 金字塔模型 例1 A、B 是两个大小完全一样的长方形,已知这个长方形的长比宽长 8 厘米,图中的字 母表示相应部分的长度则 A、B 中阴影部分的周长之差是多少厘米? 分析分析根据图中标出的字母,你能用字母 a、b 分别表示出长方形的长和宽以及两图 中阴影部分的周长之差吗? 练习 1、下图中,大正六边形内部有
6、 7 个完全一样的小正六边形如果阴影部分的周长 是 l20(阴影部分周长由内、外两部分组成),那么大正六边形的周长是多少? 例2 如图,ABCDE 是正五边形,CDF 是正三角形,那么BFE 等于多少度? 分析分析 正五边形的每个内角是多少度?等边三角形每个内角又是多少度?由此如何求 出BFE 的度数? A C D E F B b b b b B a a a b b b b A 练习 2、如下图,已知 ABCDEF 是正六边形,ABIJK 是正五边形,ABGH 是正方形,图 中AFK、AHK 哪个大,它们的差是多少度? 例3 如图,四边形 ABCD 与四边形 CNMP 都是平行四边形,若三角形
7、 DFP 与三角形 AEF 的面积分别是 21 和 43,则三角形 BNE 的面积为多少? 分析分析 两个平行四边形为我们提供了几组平行线这个条件, 那么如何使用平行线作为 我们的解题突破口呢? 练习 3、图中的长方形被分成若干小块,其中四块的面积已经标出,那么阴影部分的面 积是多少? 11 23 14 27 A P D B N C M E F A D C B F E G H K J I 例4 已知四边形 ABCD 是平行四边形, 三角形 AEF 的面积为 4, 三角形 CDE 的面积为 9, 那么平行四边形的面积等于多少? 分析分析这道题中有一个“沙漏形”是可以用在解题中的请你找出 练习 4
8、、 图中的梯形被分成四小块, 其中两块的面积已经标出, 那么梯形的面积是多少? 例5 如图,大长方形被分为四个小长方形,面积分别为 12、24、35、49那么图中阴影图 形的面积为多少? 分析分析 图中的阴影三角形是包含在长方形中的 如何利用三角形与长方形的面积比来 求阴影部分呢? 12 24 49 35 E G F A C B H D I J A B C D O 4 16 A B C D F E 例6 如图所示,ABCD 是一个长方形,点 E 在 CD 延长线上已知 AB5,BC12,三角形 AFE 的面积等于 15,那么三角形 CFE 的面积等于多少? 分析分析 在这道题中你首先能求出哪些
9、部分的面积请先求出, 然后再根据这些面积的关 系去寻找图中的线段长度关系 A B C D E F 几何原本几何原本 几何原本 (希腊语:)是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作,共 13 卷这本著作是现代数学的基础,在西方是仅次于圣经而流传最广的书籍这本书是世 界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作,也是欧几里得最有价值的一部著作在原 本里,欧几里得系统地总结了古代劳动人民和学者们在实践和思考中获得的几何知识,把 人们公认的一些事实列成定义和公理,用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质, 从而 建立了一套从公理、定义出发,论证命题得到定理得几何学论证方法,形成了一个严密的逻 辑体系几何学
10、而这本书,也就成了欧式几何的奠基之作 几何原本集整个古希腊数学的成果和精神于一书既是数学巨著,又是哲学巨著, 并且第一次完成了人类对空间的认识除圣经之外,没有任何其他著作,其研究、使用 和传播之广泛,能够与几何原本相比 几何原本大约成书与公元前 300 年,原书早已失传,如今见到的几何原本是经 过后来的数学家们修改过的,而且有的包含 13 卷,有的包含 15 卷,书中大部分内容有关图 形的知识(即几何知识) 1582 年,意大利人利玛窦到我国传教,带来了 15 卷本的原本 1600 年,明代数学 家徐光启(1562- 1633)与利玛窦相识后,便经常来往1607 年,他们把该书的前 6 卷平面
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