高斯小学奥数六年级上册含答案第07讲 不定方程
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1、第七讲 不定方程 不定方程, 顾名思义就是 “不确定” 的方程, 这里的不确定主要体现在方程的解上 之 前我们学习的方程一般都有唯一解,比如方程3419x 只有一个解5x ,方程组 25 238 xy xy 只有一组解 1 2 x y 什么样的方程,解不唯一呢?举个简单的例子,二元一次方程25xy的解就不 唯一,因为每当 y 取定一个数值时,x 就会有相应的取值和它对应,使方程成立,这样 一来就会有无穷多组解通常情况下,当未知数的个数大于方程个数时 ,这个方程(或 方程组)就会有无穷多个解 可是方程的解那么多,究竟哪个才是正确的呢?应该说,如果不加任何额外的限制条件,这 无穷多个解都是正确的但
2、在实际情况中,我们通常会限定方程的解必须是自然数,这 样一来,往往就只有少数几个解能符合要求,甚至在某些情况下所有的解都不对 练一练 求下列方程的自然数解: (1)25xy; (2)238xy; (3)321xy; (4)4520xy 本讲我们要学习的就是这样的一类方程(或方程组) :它们所含未知数的个数往往 大于方程的个数, 而未知数本身又有一定的取值范围, 这个范围通常都是自然数这 类方程就是“不定方程” 形如axbyc(a、b、c 为正整数)的方程是二元一次不定方程的标准形式解 这样的方程, 最基本的方法就是枚举 那怎样才能枚举出方程的全部自然数解呢?我们 下面结合例题来进行讲解 例1
3、甲级铅笔 7 角一支, 乙级铅笔 3 角一支, 张明用 5 元钱买这两种铅笔, 钱恰好花完 请 问:张明共买了多少支铅笔? 分析分析设张明买了甲级铅笔x支,乙级铅笔y支,可以列出不定方程:7350xy, 其中x和y都是自然数怎么求解呢? 练习 1、 (1)求3535xy的所有自然数解; (2)求1112160xy的所有自然数解 一般地,如果 xm yn 是axbyc的一组解,那么 xmb yna (当na时)也是 axbyc的一组解这是因为 ambbnaamabbnabambnc 另外, xmb yna (当mb时) 也是axbyc的一组解,理由相同 这条性质有什么用呢?我们以求2350xy的
4、自然数解为例,我们容易看出它有 一组自然数解 10 10 x y 应用上面的规律,x每次增加 3,y每次减少 2(只要y还是自 然数) , 所得结果仍然是2350xy的一组解, 所以 13 8 x y 、 16 6 x y 、 19 4 x y 、 22 2 x y 、 25 0 x y 都是2350xy的自然数解另外x每次减少 3(只要x还是自然数) ,y每次 增加 2,所得结果也是2350xy的自然数解,所以 7 12 x y 、 4 14 x y 、 1 16 x y 也都 是2350xy的自然数解而且这样就已经求出了2350xy的所有自然数解,它们 是: 1 16 x y 、 4 14
5、 x y 、 7 12 x y 、 10 10 x y 、 13 8 x y 、 16 6 x y 、 19 4 x y 、 22 2 x y 、 25 0 x y 这就告诉我们,在求形如ax byc (a、b、c 为正整数)的不定方程的自然数解时, 我们可以先找出一组解,之后其余的所有解都可由这一组解的x值每次变化b,y值每 次变化a得到(注意变化的方向相反,一个增加,另一个就得减少,才能保证ax by 的 大小不变) 例2 采购员去超市买鸡蛋每个大盒里有 23 个鸡蛋,每个小盒里有 16 个鸡蛋采购员要 恰好买 500 个鸡蛋,他一共要买多少盒? 分析分析 采购员要买多少个大盒, 多少个小
6、盒?大盒个数与小盒个数之间有什么联系? 练习 2、点心店里卖大、小两种蛋糕一个大蛋糕恰好够 7 个人吃,一个小蛋糕恰好够 4 个人吃,现在有 100 个人要吃蛋糕,应该准备大、小蛋糕各多少个才不浪费?如果每 个大蛋糕 10 元,每个小蛋糕 7 元,那么至少要花多少钱? 前面的两道例题只要求方程的解是自然数即可,但有的问题除了要求“解必须是自然 数”外,还会有一些其它的约束下面我们就来看几道这样例题 例3 甲、乙两个小队去植树甲小队有一人植树 12 棵,其余每人植树 13 棵;乙小队有一 人植树 8 棵,其余每人植树 10 棵已知两小队植树棵数相等,且每小队植树的棵数都 是四百多棵问:甲、乙两小
7、队共有多少人? 分析分析不妨设甲小队有x人,乙小队有y人由“两小队植树棵数相等” ,你能列出 一个关于x与y的不定方程吗?所列出来的不定方程又该如何求解? 练习 3、天气炎热,高思学校购置了大、小空调若干每台大空调每天耗电 38 度,每 台小空调每天耗电 13 度已知所有大空调日耗电量之和恰好比所有小空调日耗电量之 和少 1 度请问:单位里最少购进了多少台空调? 例4 将一根长为 380 厘米的合金铝管截成若干根长为 36 厘米和 24 厘米两种型号的短管, 加工损耗忽略不计问:剩余部分最少是多少厘米? 分析分析不妨设已经截出了x根长 36 厘米的管子和y根长 24 厘米的管子合金铝管如 果刚
8、好能够被用完,方程应该怎么列?列出来的方程有自然数解吗? 练习 4、酒店里有 500 升女儿红,李一白每次路过这里就打走 35 升,杜二甫每次路过 这里就打走 21 升那么若干天后,酒店剩余的女儿红最少是多少升? 二元一次不定方程只要找到一组自然数解,就能利用方程系数有规律地写出所有自然 数解而含有更多未知数的不定方程又当如何求解呢? 例5 我国古代数学家张丘建在算经一书中提出了“百鸡问题” :鸡翁一值钱五, 鸡母一值钱三,鸡雏三值钱一百钱买百鸡,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?这个 问题是说: 每只公鸡价值 5 文钱, 每只母鸡价值 3 文钱, 每 3 只小鸡价值 1 文钱 要 想用 100 文钱
9、恰好买 100 只鸡,公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只? 分析分析题中有几个未知量?由这些未知量你能列出几个方程? 张丘建算经 张丘建,北魏清河(今山东邢台市清河县)人,中国古代数学家,著有张丘建算 经 该书的体例为问答式,条理精密、文辞古雅,是中国古代数学史上少有的杰作 张丘建算经 现传本有 92 问, 比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算, 各种等差数列问题的解决, 某些不定方程问题的求解 百鸡问题就是其中一个著名的不 定方程问题 张丘建所处的年代是中国古代的南北朝时期尽管当时的中国战火连年,朝代更迭 频繁,且一直处于分裂状态,但数学发展的脚步依然没有停下与张丘建算经同时 代的算经
10、还有孙子算经和夏侯阳算经 ,而与张丘建本人同时代的数学家还有大 名鼎鼎的祖冲之 例6 卡莉娅到商店买糖,巧克力糖 13 元一包,奶糖 17 元一包,水果糖 7.8 元一包,酥糖 10.4 元一包,最后她共花了 360 元,且每种糖都买了请问:卡莉娅买了多少包奶糖? 分析分析题目中出现了四种糖果,我们不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有x 包 、y包 、z包 和w包 , 再 由 已 知 的 单 价 、 总 价 可 以 列 出 方 程 13177.810.4360xyzw这是一个四元一次方程,如果按通常的解法枚举出所有 解,势必会有太多可能性需要讨论,过于繁琐而且题目也没要我们求出所有解,只要
11、 我们求出奶糖的数量即可那有没有办法不求其它糖果,只求奶糖的数量呢? 练习 6、求22263365194xyzw的所有自然数解 蝴蝶效应 气象学家 Lorenz 提出一篇论文,名叫“一只蝴蝶拍一下翅膀会不会在德克萨斯州引起 龙卷风?”论述某系统如果初期条件差一点点,结果会很不稳定,他把这种现象戏称做蝴 蝶效应 就像我们投掷骰子两次,无论我们如何刻意去投掷,两次的物理现象和投出的点 数也不一定是相同的Lorenz 为何要写这篇论文呢? 这故事发生在 1961 年的某个冬天,他如往常一般在办公室操作气象电脑平时,他只 需要将温度、湿度、压力等气象数据输入,电脑就会依据三个内建的微分方程式,计算出下
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