高斯小学奥数六年级上册含答案第03讲 递推计数
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1、第三讲 递推计数 有许多计数问题很复杂,直接处理比较困难,此时硬碰硬是不行的一个比较有效的策 略是退而求其次: 先考虑该问题的简单情形, 看看简单情形如何处理; 在解决了简单情形后, 再考虑如何利用简单情形的结论来解决更复杂的问题这个由简单到复杂的推导过程就 叫“递推” 那如何利用“递推法”来解决计数问题呢?下面我们就来看几个例子 例1 老师给小高布置了 12 篇作文, 规定他每天至少写 1 篇 如果小高每天最多能写 3 篇, 那么共有多少种不同的完成方法?(小高每天只能写整数篇) 分析分析从简单情况入手,看看能否找到合适的突破口如果老师只布置 1 篇作文,小 高有多少种不同的完成方法?如果老
2、师布置 2 篇作文, 小高有多少种不同的完成方法? 如果老师布置 3 篇、4 篇、小高又分别有多少种不同的完成方法?篇数由少到多, 完成方法数也会逐渐变多,这其中有什么规律呢? 练习 1、一个楼梯共有 12 级台阶,规定每步可以迈二级台阶或三级台阶走完这 12 级 台阶,共有多少种不同的走法? 例2 用 10 个1 3的长方形纸片覆盖一个10 3的方格表,共有多少种覆盖方法? 分析分析与例 1 的类似,我们还是从简单情形入手找递推关系可具体从什么样的情形 入手呢? 练习 2、用 7 个1 2的长方形纸片覆盖一个72的方格表,共有多少种覆盖方法? 例3 在一个平面上画出 100 条直线,最多可以
3、把平面分成几个部分? 分析分析当直线数量不多时,画图数一数即可但现在有 100 条,画图数并不现实我 们不妨在纸上将直线逐一画出,并在画的过程中仔细观察:每增加一条直线,平面被分 成的部分会增加多少?这个增量 有什么变化规律? 练习 3、如果在一个圆内画出 50 条直线,最多可以把圆分成多少部分? 下面我们来学习一类很经典的递推计数问题传球问题 例4 四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球,每人都可以把球传给另外 三个人中的任意一个先由红衣人发球,并作为第 1 次传球,经过 8 次传球后球仍然回 到红衣人手中请问:整个传球过程共有多少种不同的可能? 分析分析看到这个问题,很多同学可
4、能想通过树形图来求解,我们不妨来试一试设穿 着红、黄、绿、蓝四种颜色球衣的人分别是 A、B、C、D如下图,最开始时,球在 A 手上,第一次传球由 A 传给 B、C、D,也就是第一层有三个字母就够了然后 B、C、 D 都会继续往下传球,各有 3 种传法,传到第二层需要 9 个字母再传到第三层,需要 27 个字母每一层需要的字母增加迅猛! 如果传 8 次球, 到最后一层会用到 8 36561 个字母,这要多大的一个树形图啊! 可见画树形图的方案不可行 但树形图对这道题就没有用了吗?并非如此 它可以帮助 我们找出传球过程中所隐藏的递推关系事实上,我们并不关心树形图长啥样,我们关 心的是数量树形图每一
5、层分支的数量 因此, 只要知道每一层各字母出现的次数就 可以了,我们不妨制作一个表格来统计这个次数如下表,我们用第一列来表示层数, 第一行来表示每个人, 其余空格用于填写字母在该层中出现的次数 请你从上方的树形 图中数一数,填出表格中的前几行然后思考一下:这其中隐藏着什么样的递推关系? B C D A C D A B D A B C A B C D A B D A B C B C D A C D A B C B C D A C D A B D 练习 4、三个人分别穿着红、黄、蓝三种颜色的球衣练习传球,每人都可以把球传给另 外两个人中的任意一个先由红衣人发球,并作为第 1 次传球,经过 7 次传
6、球后传到蓝 衣人手中请问:整个传球过程共有多少种不同的可能? 解传球问题的方法称为“传球法” “传球法”是递推法的一种特殊形式,是一种极其实用的 数表累加计数法 例5 一个七位数,每一位都是 1、2 或者 3,而且没有连续的两个 1,这样的七位数一共有 多少个? 分析分析这道题与前面两道题有何异同?应该如何求解呢? 前面的计数问题,递推关系都表现为数列、数表的简单累加,但这不是递推的全部简单累 加只是递推的一种表现形式, 递推还有很多其它形式 下面我们就来看一道无法通过简单累 加求解的计数问题 例6 圆周上有 10 个点 A1、A2、A10,以这些点为端点连接 5 条线段,要求线段之间没 有公
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