四川省遂宁市高中2020届高三三诊考试数学试题(文科)含答案解析
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1、2020 年四川省遂宁市高考数学三诊试卷(文科)年四川省遂宁市高考数学三诊试卷(文科) 一、选择题(共 12 小题). 1若集合 Ax|0x21,Bx|1x2,则 AB( ) Ax|0x1 Bx|1x0 Cx|1x2 Dx|1x2 2已知 a 为实数,i 为虚数单位,且 (R 为实数集),则 a( ) A1 B2 C2 D1 3函数 , , 的大致图象为( ) A B C D 4某人口大县举行“只争朝夕,决战决胜脱贫攻坚扶贫知识政策答题比赛”,分初赛 和复赛两个阶段进行,规定:初赛成绩小于等于 90 分的会被淘汰,某校有 1000 名学生 参加了初赛,所有学生的成绩均在区间(30,150内,其
2、频率分布直方图如图所示,则 会被淘汰的人数为( ) A350 B450 C480 D300 5已知 满足 ,则 cos2( ) A B C D 6等差数列an中,a1+2a710,则 a3+a5+a7( ) A5 B10 C15 D20 7用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体已知正六面体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 4,则平面 AB1D1与平面 BC1D 间的距离为( ) A B C D 8如图,正方形 ABCD 中,M 是 BC 的中点,若 ,则 +( ) A B C D2 9设 f(x)是定义在 R 上的恒不为零的函数,对任意实数 x,y R,都有 f(x) f(y) f
3、(x+y), 若 a1 ,anf(n) (n N *),则数列a n的前 n 项和 Sn的取值范围是( ) A ,2) B ,2 C ,1) D ,1 10 已知点 (3, 28) 在函数 f (x) xn+1 的图象上, 设 , bf (ln) , , 则 a, b, c 的大小关系为( ) Abac Babc Cbca Dcab 11已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1、F2,过点 F1作圆 x 2+y2a2 的切线交双曲线右支于点 M,若 tanF1MF22,又 e 为双曲线的离心率,则 e2的值为 ( ) A B C D 12若存在 a0,使得函数 f(x)6a2lnx+4ax 与 g
4、(x)x2b 在这两函数图象的公共点 处的切线相同,则 b 的最大值为( ) A B C D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.) 13曲线 yx22xlnx 在点(1,1)处的切线的斜率为 14若向量 , 与向量 , 共线,则 15已知点 M(0,2),过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线 AB 交抛物线于 A,B 两点,若 ,则点 B 的横坐标为 16已知 x,y,a 均为正实数,则 的最小值为 三、解答题(本大题共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17函数 f(x)Asin(x+)(A0,0,0)的部分图象如图所示,又函数 (1)求函数的
5、单调减区间; (2)设ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,又 ,且锐角 C 满足 g(C) 1,若 sinB2sinA,求 a+b 的值 18某中学举行的“新冠肺炎”防控知识闭卷考试比赛,总分获得一等奖、二等奖、三等奖 的代表队人数情况如下表,该校政教处为使颁奖仪式有序进行,气氛活跃,在颁奖过程 中穿插抽奖活动并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取 16 人在前排就坐,其中一 等奖代表队有 6 人 名次 性别 一等奖 代表队 二等奖 代表队 三等奖 代表队 男生 30 ? 20 女生 30 20 30 (1)求二等奖代表队的男生人数; (2)从前排就坐的三等奖代表队员 5 人
6、(2 男 3 女)中随机抽取 3 人上台领奖,请求出 只有一个男生上台领奖的概率; (3)抽奖活动中,代表队员通过操作按键,使电脑自动产生2,2内的两个均匀随机 数 x,y,随后电脑自动运行如图所示的程序框图的相应程序若电脑显示“中奖”,则 代表队员获相应奖品;若电脑显示“谢谢”,则不中奖求代表队队员获得奖品的概率 19如图,在长方体 ABCDHKLE 中,底面 ABCD 是边长为 3 的正方形,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,点 F 在线段 AH 上且 ,BE 与底面 ABCD 所成角为 (1)求证:ACBE; (2)M 为线段 BD 上一点,且 ,求异面直线 AM 与 BF 所成角的
7、余弦值 20已知函数 f(x)axsinx(a R) (1)当 , 时,f(x)0 恒成立,求正实数 a 的取值范围; (2)当 a1 时,探索函数 F(x)f(x)cosx+a1 在(0,)上的零点个数,并说 明理由 21如图,定义:以椭圆中心为圆心,长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”过椭圆第四 象限内一点 M 作 x 轴的垂线交其“辅助圆”于点 N,当点 N 在点 M 的下方时,称点 N 为点 M 的“下辅助点”已知椭圆 E: 上的点 , 的下辅 助点为(1,1) (1)求椭圆 E 的方程; (2)若OMN 的面积等于 ,求下辅助点 N 的坐标; (3)已知直线 l:xmyt0 与椭圆 E
8、 交于不同的 A,B 两点,若椭圆 E 上存在点 P, 满足 ,求直线 l 与坐标轴围成的三角形面积的最小值 四、请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分选修 4-4:坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中,将曲线方程 ,先向左平移 2 个单位, 再向上平移 2 个单位,得到曲线 C (1)点 M(x,y)为曲线 C 上任意一点,写出曲线 C 的参数方程,并求出 的 最大值; (2) 设直线 l 的参数方程为 , (t 为参数) , 又直线 l 与曲线 C 的交点为 E, F, 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段 EF 的中
9、点且与 l 垂直的 直线的极坐标方程 选修 4-5:不等式选讲 23已知函数 f(x)|2x3|,g(x)|2x+a+b| (1)解不等式 f(x)x2; (2) 当 a0, b0 时, 若 F (x) f (x) +g (x) 的值域为5, +) , 求证: 参考答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1若集合 Ax|0x21,Bx|1x2,则 AB( ) Ax|0x1 Bx|1x0 Cx|1x2 Dx|1x2 【分析】先分别求出集合 A,B,由此能求出 AB 解:集合 Ax|0x21x|1x1, Bx|1x
10、2, ABx|1x2 故选:D 【点评】本题考查并集的求法,考查并集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解 能力,是基础题 2已知 a 为实数,i 为虚数单位,且 (R 为实数集),则 a( ) A1 B2 C2 D1 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由虚部为 0 列式求解 a 值 解: R, 1a0,即 a1 故选:D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题 3函数 , , 的大致图象为( ) A B C D 【分析】利用函数的性质直接可以得出结论 解:当 x+时,f(x)xe|x|+,可排除 AD; 当 x0 时,f(x)xe|x|0,可排除 C
11、故选:B 【点评】本题考查函数图象的运用,考查数形结合思想,属于基础题 4某人口大县举行“只争朝夕,决战决胜脱贫攻坚扶贫知识政策答题比赛”,分初赛 和复赛两个阶段进行,规定:初赛成绩小于等于 90 分的会被淘汰,某校有 1000 名学生 参加了初赛,所有学生的成绩均在区间(30,150内,其频率分布直方图如图所示,则 会被淘汰的人数为( ) A350 B450 C480 D300 【分析】由频率分布直方图得初赛成绩小于等于 90 分的频率为 0.35,由此能求出能会被 淘汰的人数 解:由频率分布直方图得: 初赛成绩小于等于 90 分的频率为:(0.0025+0.0075+0.0075)200.
12、35, 会被淘汰的人数为 10000.35350 故选:A 【点评】本小题主要考查会被淘汰的人数的人数的求法,考查频率分布直方图等基础知 识,考查运算求解能力,是基础题 5已知 满足 ,则 cos2( ) A B C D 【分析】由已知结合诱导公式先进行化简,然后结合二倍角余弦公式即可求解 解:因为sin , 所以 sin , 则 cos212sin212 故选:A 【点评】本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角化简求值中的应用,属于基础试 题 6等差数列an中,a1+2a710,则 a3+a5+a7( ) A5 B10 C15 D20 【分析】由等差数列的通项公式可得:a1+2a7103a
13、1+12d,可得 a1 +4d a 5,再利 用性质可得:a3+a5+a73a5 解:由等差数列的通项公式可得:a1+2a7103a1+12d, a1 +4d a 5, 则 a3+a5+a73a510 故选:B 【点评】本小题主要考查等差数列通项公式及其性质等基础知识,考查运算求解等数学 能力,属于基础题 7用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体已知正六面体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 4,则平面 AB1D1与平面 BC1D 间的距离为( ) A B C D 【分析】由题意画出图形,可得 A1C平面 AB1D1,A1C平面 BC1D,求出正方体的棱 长,再由等体积法求得|A1E
14、|,则平面 AB1D1与平面 BC1D 间的距离可求 解:由题意正六面体 ABCDA1B1C1D1是棱长为 4 的正方体, AB1DC1,B1D1BD,AB1B1D1B1,C1DBDD, 平面 AB1D1平面 BC1D, 连接 A1C,可得 A1C平面 AB1D1,A1C平面 BC1D 设垂足分别为 E,F,则平面 AB1D1与平面 BC1D 间的距离为|EF| 正方体的棱长为 在三棱锥 A1AB1D1 中,由等体积法求得:|A1 E| 平面 AB1D1与平面 BC1D 间的距离为 故选:C 【点评】本题考查空间中点、线、面间的距离计算,考查空间想象能力与思维能力,考 查计算能力,是中档题 8
15、如图,正方形 ABCD 中,M 是 BC 的中点,若 ,则 +( ) A B C D2 【分析】根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出 , ,代入 并进行向量的数乘运算便可得出 ,而 ,这样根据平面向量基本定理即可得出关于 , 的方程组,解 出 , 便可得出 + 的值 解: , , ; ; 由平面向量基本定理得: ; 解得 , ; 故选:B 【点评】考查向量加法、减法,及数乘的几何意义,以及向量的数乘运算,相等向量的 概念,平面向量基本定理 9设 f(x)是定义在 R 上的恒不为零的函数,对任意实数 x,y R,都有 f(x) f(y) f(x+y), 若 a1 ,anf(n) (n N
16、*),则数列a n的前 n 项和 Sn的取值范围是( ) A ,2) B ,2 C ,1) D ,1 【分析】根据 f(x) f(y)f(x+y),令 xn,y1,可得数列an是以 为首项, 以 为等比的等比数列,进而可以求得 S n,进而 Sn的取值范围 解:对任意 x,y R,都有 f(x) f(y)f(x+y), 令 xn,y1,得 f(n) f(1)f(n+1), 即 f(1) , 数列an是以 为首项,以 为等比的等比数列, anf(n)( ) n, Sn 1( ) n ,1) 故选:C 【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题,解题的关键是根据对任意 x,y R,都有 f(x) f
17、(y)f(x+y)得到数列an是等比数列,属中档题 10 已知点 (3, 28) 在函数 f (x) xn+1 的图象上, 设 , bf (ln) , , 则 a, b, c 的大小关系为( ) Abac Babc Cbca Dcab 【分析】根据题意,将(3,28)代入函数的解析式,计算可得 n 的值,即可得函数的解 析式,分析可得 f(x)在 R 上为增函数,又由 1ln,分析可 得答案 解:根据题意,点(3,28)在函数 f(x)xn+1 的图象上,则有 283n+1,解可得 n 3; 则 f(x)x3+1,易得 f(x)在 R 上为增函数, 又由 1ln, 则有 cab; 故选:D 【
18、点评】 本题考查函数的单调性的性质以及应用, 注意求出 n 的值, 确定函数的解析式 11已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1、F2,过点 F1作圆 x 2+y2a2 的切线交双曲线右支于点 M,若 tanF1MF22,又 e 为双曲线的离心率,则 e2的值为 ( ) A B C D 【分析】运用双曲线的定义可得|MF1|MF2|2a,设|MF2|t,则|MF1|2a+t,sin MF1F2 , 然后在三角形 MF1F2中由正、 余弦定理列方程可解得离心率的平方 解:如图:|MF1|MF2|2a,设|MF2|t,则|MF1|2a+t, sinMF1F2 , 若 tanF1MF22,则 sinF
19、1MF2 ,cosF1MF2 , 在MF1F2中,由正弦定理得 ,即 , t a,|MF2| a,|MF1 |( 2)a, 由余弦定理得 4c25a2+(9+4 )a 22 a(2 )a , 4c2(10+2 )a 2,c2 a2,e2 , 故选:C 【点评】本题考查双曲线的定义和性质,主要是双曲线的离心率的求法,考查圆的性质 的运用,属于中档题 12若存在 a0,使得函数 f(x)6a2lnx+4ax 与 g(x)x2b 在这两函数图象的公共点 处的切线相同,则 b 的最大值为( ) A B C D 【分析】设公共点为(x,y),然后根据公共点处函数值相等、导数值相等,列出关于 公共点满足的
20、方程组,将 x 消去,得到关于 b,a 的等量关系式,整理成 bh(a)的形 式,求函数的最值即可 解:设公共点为(x,y),(x0),且 , 所以 (a0),由 得 x22ax3a20, 解得 x3a 或a(舍) 将 x3a 代入 式整理得:b3a26a2ln(3a),(a0) 令 h(a)3a26a2ln(3a),(a0), 12aln(3a)+1, 令 h(a)0 得, ,且 , 时, ; , 时,h(a) 0 故 h(a)在(0, )上递增,在( , )上递减 故 h(a)maxh( ) 故 b 的最大值为 故选:C 【点评】本题考查导数的几何意义、以及利用导数研究函数的最值问题同时考
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