2019-2020学年云南省昆明一中高三（下）第七次高考仿真数学试卷（理科）含详细解答

《2019-2020学年云南省昆明一中高三（下）第七次高考仿真数学试卷（理科）含详细解答》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年云南省昆明一中高三（下）第七次高考仿真数学试卷（理科）含详细解答（25页珍藏版）》请在七七文库上搜索。

1、已知集合 Ax|x2x，Bx|2x11，则 AB（ ） A1 B0 C D1，0 2 （5 分）若 a 为实数，且复数 z（1i） （1+ai）在复平面内对应的点位于虚轴上，则 a （ ） A1 B0 C1 D2 3 （5 分）已知正三棱柱的各棱长均为 2，它的三视图中的俯视图如图所示，则该正三棱柱 的左视图的面积为（ ） A B2 C D4 4 （5 分）已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y3x 上， 则（ ） A2 B1 C1 D2 5 （5 分）的展开式中，常数项为（ ） A1 B3 C4 D13 6 （5 分）过点（1，1）作圆 x2+y24 的弦，则所

2、得弦长的取值范围为（ ） A1，2 B1，4 C2，4 D2，4 7 （5 分）函数 f（x）（exe x）sinx 的大致图象为（ ） 第 2 页（共 25 页） A B C D 8 （5 分）设随机变量 B（2，p） ，若 P（1），则 p 的值为（ ） A B C D 9（5 分） 在锐角ABC 中， BC2， sinB+sinC2sinA， 则 BC 边上的中线长的最小值为 （ ） A1 B C D2 10 （5 分）已知 A，B，C 是球 O 的球面上的三点，AB2，AC2，ABC60，且 三棱锥 OABC 的体积为，则球 O 的体积为（ ） A24 B48 C16 D32 11 （

3、5 分）已知双曲线1 的离心率为，过右焦点的直线与两条渐近线分别交 于 A，B，且与其中一条渐近线垂直，若OAB 的面积为，其中 O 为坐标原点，则双 曲线的焦距为（ ） A2 B2 C2 D2 12 （5 分）已知函数 f（x）lnx+a，g（x）ax+b+1，若x0，f（x）g（x） ，则的 最小值是（ ） A1+e B1e Ce 1 D2e 1 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知向量 ，且 （ ） ，若 （3，1） ， （1，2） ，则非零向量 14（5 分） 曲线 f （x） （ax+1） lnx 在点

4、 （1， 0） 处的切线与直线 x+2y0 垂直， 则 a 第 3 页（共 25 页） 15 （5 分）函数 f（x）xsinx2在0，3上的零点个数为 16 （5 分）已知椭圆的左、右焦点分别为 F1、F2，点 E（0，t） （0 tb） ，若动点 P 在椭圆上，且点 P、E、F2不共线，若PEF2的周长的最小值为 6b， 则椭圆的离心率为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生每个试题考生都必须作答第都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答

5、（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知an是等比数列，an0，且 a2，a6a52a4 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bnanan+1，求数列bn的前 n 项和 Sn 18 （12 分）随着节能减排意识深入人心以及共享单车的大范围推广，越来越多的市民在出 行时喜欢选择骑行共享单车为了研究广大市民在共享单车上的使用情况，某公司在我 市随机抽取了 100 名用户进行调查，得到如表数据： 每周使用次数 1 次 2 次 3 次 4 次 5 次 6 次及以上 男 4 3 3 7 8 30 女 6 5 4 4 6 20 合计 10 8

6、7 11 14 50 （1）如果认为每周使用超过 3 次的用户为“喜欢骑行共享单车” ，请完成 22 列联表， 并判断能否在犯错误概率不超过 0.05 的前提下，认为是否喜欢骑行共享单车与性别有 关？ 不喜欢骑行共享单车 喜欢骑行共享单车 合计 男 女 合计 （2）每周骑行共享单车 6 次及 6 次以上的用户称为“骑行达人” ，视频率为概率，在我 市所有“骑行达人”中，随机抽取 4 名用户，对抽出的女性“骑行达人”每人奖励 500 元，记奖励总金额为 X，求 X 的分布列及数学期望 第 4 页（共 25 页） 附：下面的临界值表仅供参考 P（K2k0） 0.050 0.010 0.001 k0

7、 3.841 6.635 10.828 参考公式：K2，其中 na+b+c+d 19 （12 分）如图所示的几何体中，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，四边形 AOFE 为平行四边形，OF平面 ABCD，H 为线段 BF 上一点 （1）证明：EFOH； （2）若 ABBD8，OF6，M 为线段 BC 上一点，且 FMBC，设三棱锥 BAHC 的 体积为 V1，四棱锥 DEFCA 的体积为 V2，且 V23V1，求直线 FM 与平面 AHC 所成角 的正弦值 20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 F（1，0）为椭圆 E：的 右焦点，过 F 的直线与椭圆 E 交于

8、 A、B 两点，线段 AB 的中点为 P（） （1）求椭圆 E 的方程； （2）若直线 OM、ON 斜率的乘积为，两直线 OM，ON 分别与椭圆 E 交于 C、M、 D、N 四点，求四边形 CDMN 的面积 21 （12 分）已知函数 f（x）（22x+ax2）ex+（1a）x22 （1）若 a0，证明：当 x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）0； （2）若 x0 是 f（x）的极小值点，求 a （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐

9、标系与参数方程：坐标系与参数方程 第 5 页（共 25 页） 22 （10 分）以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两 种坐标系中取相同的长度单位已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，曲线 C 的参数方程为（s 为参数） （1）求直线 l 的斜率和曲线 C 的普通方程； （2）设直线 l 和曲线 C 相交于 A、B 两点，求以线段 AB 为直径的圆的极坐标方程 选修选修 4-5：不等式选：不等式选讲讲 23已知函数 f（x）|2x7|+1 （1）求不等式 f（x）|x1|的解集； （2）若不等式 f（x）ax 对一切 xR 都成立，求实数 a 的取值范围

10、第 6 页（共 25 页） 2019-2020 学年云南省昆明一中高三（下）第七次高考仿真数学学年云南省昆明一中高三（下）第七次高考仿真数学 试卷（理科）试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x，Bx|2x11，则 AB（ ） A1 B0 C D1，0 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 Ax|x2x1，0， Bx|2x1

11、1x|x1， AB0 故选：B 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2 （5 分）若 a 为实数，且复数 z（1i） （1+ai）在复平面内对应的点位于虚轴上，则 a （ ） A1 B0 C1 D2 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出 【解答】解：a 为实数，且复数 z（1i） （1+ai）在复平面内对应的点位于虚轴上， z1+a+（a1）i 的实部 1+a0，解得 a1 故选：A 【点评】本题考查了复数运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题 3 （5 分）已知正三棱柱的各棱长均为 2，它的三视图中的俯视图如图所示，则

12、该正三棱柱 的左视图的面积为（ ） 第 7 页（共 25 页） A B2 C D4 【分析】依题意可得则该正三棱柱的左视图为矩形，根据面积公式求解 【解答】解：依题意可得则该正三棱柱的左视图为矩形 ABCD，面积为 22 故选：C 【点评】本题考查了几何体的三视图，属于基础题 4 （5 分）已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y3x 上， 则（ ） A2 B1 C1 D2 【分析】由已知求得 tan，再由同角三角函数基本关系式化弦为切求解 【解答】解：由已知可得，tan3， 则2 故选：A 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查同角

13、三 角函数基本关系式的应用，是基础题 5 （5 分）的展开式中，常数项为（ ） A1 B3 C4 D13 【分析】由于的表示 4 个因式的乘积，故展开式中的常数项可能有以下几 第 8 页（共 25 页） 种情况：所有的因式都取 1；有 2 个因式取，一个因式取 1，一个因式取，由 此求得展开式中的常数项 【解答】解：由于的表示 4 个因式（+1）的乘积， 故展开式中的常数项可能有以下几种情况：所有的因式都取 1；有 2 个因式取， 一个因式取 1，一个因式取； 故展开式中的常数项为 1+13， 故选：D 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题 6 （5 分）过点

14、（1，1）作圆 x2+y24 的弦，则所得弦长的取值范围为（ ） A1，2 B1，4 C2，4 D2，4 【分析】由条件可得（1，1）在圆 x2+y24 的内部，当弦为直径时，弦长最长为 2r4； 弦所在的直线和线段 AC 垂直时，弦长最短，再由弦长公式可得最短弦长 【解答】解：点 A（1，1）到圆心 O（0，0）的距离为 d，小于半径 2， 故 A（1，1）在圆 x2+y24 的内部， 故当弦为直径时，弦长最长为 2r4； 当弦所在的直线和线段 AO 垂直时，弦长最短， 由于半径为 r2，弦心距 d， 由弦长公式可得弦长为 2 22， 所得弦长的取值范围为：2，4 故选：D 【点评】本题主要

15、考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用， 属于中档题 7 （5 分）函数 f（x）（exe x）sinx 的大致图象为（ ） 第 9 页（共 25 页） A B C D 【分析】利用函数的奇偶性及趋近性，结合题目选项，利用排除法得解 【解答】解：函数的定义域为 R，f（x）（e xex）sin（x）（exex）sinxf （x） ， 故函数 f（x）为偶函数，其图象关于 y 轴对称，故排除 BC； 但 x 从正方向趋近于 0 时 exe x0，sinx0，则 f（x）0，故排除 A 故选：D 【点评】本题考查利用函数性质确定函数解析式，考查逻辑推理能力，属于基础题 8 （5

16、 分）设随机变量 B（2，p） ，若 P（1），则 p 的值为（ ） A B C D 【分析】根据二项分布的概率公式列方程求出 p 【解答】解：随机变量 B（2，p） ， P（0）（1p）2， P（1）1P（0）1（1p）2， 解得 p 故选：B 【点评】本题考查了二项分布的概率计算，属于中档题 9（5 分） 在锐角ABC 中， BC2， sinB+sinC2sinA， 则 BC 边上的中线长的最小值为 （ ） A1 B C D2 【分析】由已知ABC 为锐角三角形结合正弦定理，余弦定理可求 b 的范围，进而可求 第 10 页（共 25 页） bc 的范围，然后由（+）可求|，进而可求 BC

17、边上的中线长的最小值 【解答】解：BC2，sinB+sinC2sinA， 由正弦定理可得，b+c2a4，即 c4b， 锐角ABC， ， ， 解可得，b， bcb（4b）4bb2（b2）2+4， 结合二次函数的性质可知，（b2）2+44，即 bc4， （+） ， | ， ， 故选：C 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及二次函数的性质，数量积的性质的综合 应用，属于知识的综合应用 10 （5 分）已知 A，B，C 是球 O 的球面上的三点，AB2，AC2，ABC60，且 三棱锥 OABC 的体积为，则球 O 的体积为（ ） A24 B48 C16 D32 第 11 页（共 25 页） 【分

18、析】由余弦定理可得 AC 边，再由正弦定理求出底面三角形 ABC 的外接圆的半径， 再由体积求出三棱锥的高，再由勾股定理可得外接球的半径，进而求出外接球的体积 【解答】解：O 到截面 ABC 的投影为三角形 ABC 的外接圆的圆心，设为 E，连接 AE， 则 AE 为底面外接圆的圆心，OEOBOC 为球的半径 R， 因为 AB2，AC2，ABC60，由余弦定理可得：cosABCcos60 ， 整理可得：BC22BC80，解得 BC4， 设三角形 ABC 的外接圆半径为 r，则 2r，所以 r2， VOABCsin60OEOE，所以 OE2， 在三角形 OAE 中，ROA2， 所以外接球的体积为

19、 VR332 故选：D 【点评】本题考查外接圆的半径的求法，三棱锥的体积的求法及外接球的半径和球的体 积公式，属于中档题 11 （5 分）已知双曲线1 的离心率为，过右焦点的直线与两条渐近线分别交 于 A，B，且与其中一条渐近线垂直，若OAB 的面积为，其中 O 为坐标原点，则双 曲线的焦距为（ ） A2 B2 C2 D2 【分析】求出双曲线的渐近线方程，设两条渐近线的夹角为 ，由两直线的夹角公式， 可得 tantanAOB，求出 F 到渐近线 yx 的距离为 b，即有|OB|a，OAB 的面 积可以表示为aatan，结合条件可得 a，b 的关系，再由离心率公式即可计算得到 第 12 页（共

20、25 页） 【解答】解：由题意可得 e，a2+b2c2， 双曲线1 的渐近线方程为 yx， 设两条渐近线的夹角为 ， 则 tantanAOB， 设 FBOB，则 F 到渐近线 yx 的距离为 db， 即有|OB|a， 则OAB 的面积可以表示为aatan， 解得 a2，b，c，即 2c2 故选：C 【点评】本题考查双曲线的焦距的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和离心率公式， 以及点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题 12 （5 分）已知函数 f（x）lnx+a，g（x）ax+b+1，若x0，f（x）g（x） ，则的 最小值是（ ） A1+e B1e Ce 1 D2e 1 【分

21、析】令 h（x）axlnx+b+1a， 当 a0 时，h（x）0，函数 h（x）单调递减， 当 a0 时，令 h（x）0，可得 x，可得， ， （a0） 令 G（a）， （a0） 可得 G（a）在（0，） 递减，在（）递增，即可 【解答】解：由题意，axlnx+b+1a0 在（0，+）上恒成立， 令 h（x）axlnx+b+1a， 当 a0 时，h（x）0，函数 h（x）单调递减， 且 x+时，h（x），故不符合题意 第 13 页（共 25 页） 当 a0 时，令 h（x）0，可得 x， 可得， balna2 ， （a0） 令 G（a）， （a0） ， （a0） 可得 G（a）在（0，）递减，

22、在（）递增 故选：B 【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查恒成立问题，考查函数的单调性，分离参 数，求最值是关键 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知向量 ，且 （ ） ，若 （3，1） ， （1，2） ，则非零向量 （，） 【分析】可设，根据及即可得出，然后 求出 x，y 即可，且 x0，y0 【解答】解：设， ， x3y0， ， x2x+y22y0， 联立解得或（舍去） ， 第 14 页（共 25 页） 故答案为： 【点评】本题考查了平行向量的坐标关系，向量垂直的充要条件，向量减法和数量积的 坐标运算，考

23、查了计算能力，属于基础题 14 （5 分）曲线 f（x）（ax+1）lnx 在点（1，0）处的切线与直线 x+2y0 垂直，则 a 1 【分析】本题先根据一阶导数计算出曲线 f（x）（ax+1）lnx 在点（1，0）处的切线斜 率，然后根据切线与直线 x+2y0 垂直，可得两直线的斜率乘积是1，可计算出参数 a 的值 【解答】解：由题意，f（x）alnx+， 则 f（1）a+1 曲线 f（x）（ax+1）lnx 在点（1，0）处的切线斜率即为 a+1 直线 x+2y0 的斜率为，且切线与直线 x+2y0 垂直， （a+1） （）1， 解得 a1 故答案为：1 【点评】本题主要考查导数求切线斜率

24、，以及两直线的关系考查了转化思想，方程思 想，逻辑推理能力和数学运算能力本题属中档题 15 （5 分）函数 f（x）xsinx2在0，3上的零点个数为 3 【分析】 f （x） xsinx20， x0 显然成立， 当 x0 时， sinx20， x2k （0， 9， kZ， 求出 x，判断即可 【解答】解：f（x）xsinx20，x0 显然成立， 当 x0 时，sinx20，x2k（0，9，kZ， 当 k1 时，x2，x， 当 k2 时，x22，x， 满足条件的 x 有 3 个， 故答案为：3 【点评】考查函数的零点与方程的关系，基础题 第 15 页（共 25 页） 16 （5 分）已知椭圆的

25、左、右焦点分别为 F1、F2，点 E（0，t） （0 tb） ，若动点 P 在椭圆上，且点 P、E、F2不共线，若PEF2的周长的最小值为 6b， 则椭圆的离心率为 【分析】将三角形的周长写出，由题意的定义将到右焦点的距离转化为到左焦点的距离， 当且仅当三点共线时和最小，求出三角形的周长的最小值 【解答】解：因为PEF2的周长为 PE+PF2+EF2PE+2a PF1+EF2（PF1PE）+2a+EF2EF1+EF2+2a，当且仅当 P，E，F1三点共线时 取等号，由题意的对称性可得：EF1EF2， 所以PEF2的周长的最小值为 2a，由题意可得 2a6b，即，所以椭圆的离心率 e ， 故答案

26、为： 【点评】本题考查椭圆的定义的应用及椭圆的性质，和离心率 与 a，b 的关系，属于中 档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知an是等比数列，an0，且 a2，a6a52a4 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bnanan+1，求数列bn的前 n 项和 Sn 【分析】 （

27、1）根据题意，设等比数列an的公比为 q，由等比数列的性质可得若 a6a5 2a4则有 q2q2，解可得 q 的值，结合等比数列的通项公式计算可得答案； （2） 根据题意， 由 （1） 的结论可得 bnanan+1， 分析可得数列bn 为等比数列，结合等比数列的前 n 项和公式计算可得答案 第 16 页（共 25 页） 【解答】解： （1）根据题意，设等比数列an的公比为 q， 若 a6a52a4则有 q2q2，解可得 q2 或1， 又由 an0，则 q2， 又由 a2，则 an2n 2 ， （2）根据题意，an，an+1， bnanan+1， 故数列bn是首项为 b1a1a2，公比为 4 的

28、等比数列 则其前 n 项和 Sn（4n1） 【点评】本题考查数列的求和，涉及等比数列的通项公式和前 n 项和公式的应用，属于 基础题 18 （12 分）随着节能减排意识深入人心以及共享单车的大范围推广，越来越多的市民在出 行时喜欢选择骑行共享单车为了研究广大市民在共享单车上的使用情况，某公司在我 市随机抽取了 100 名用户进行调查，得到如表数据： 每周使用次数 1 次 2 次 3 次 4 次 5 次 6 次及以上 男 4 3 3 7 8 30 女 6 5 4 4 6 20 合计 10 8 7 11 14 50 （1）如果认为每周使用超过 3 次的用户为“喜欢骑行共享单车” ，请完成 22 列

29、联表， 并判断能否在犯错误概率不超过 0.05 的前提下，认为是否喜欢骑行共享单车与性别有 关？ 不喜欢骑行共享单车 喜欢骑行共享单车 合计 男 女 合计 （2）每周骑行共享单车 6 次及 6 次以上的用户称为“骑行达人” ，视频率为概率，在我 市所有“骑行达人”中，随机抽取 4 名用户，对抽出的女性“骑行达人”每人奖励 500 第 17 页（共 25 页） 元，记奖励总金额为 X，求 X 的分布列及数学期望 附：下面的临界值表仅供参考 P（K2k0） 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 参考公式：K2，其中 na+b+c+d 【分析】 （1）利用

30、K2公式求出即可； （2）在骑行达人中，随机抽取 1 名用户，男性骑行达人的概率为 0.6，女性骑行达人的 概率为 0.4，设抽取女骑行达人的人数为 Y，X500Y，求出分布列，再求出期望 【解答】解： （1） 不喜欢骑行共享单车 喜欢骑行共享单车 合计 男 10 45 55 女 15 30 45 合计 25 75 100 K2， 故在犯错误概率不超过 0.05 的前提下，不能认为喜欢骑行共享单车与性别有关； （2）在骑行达人中，随机抽取 1 名用户，男性骑行达人的概率为 0.6，女性骑行达人的 概率为 0.4， 设抽取女骑行达人的人数为 Y，X500Y， 由题意 YB（4，0.4） ， P（

31、Yi），i0，1，2，3，4， Y 0 1 2 3 4 P X 的分布列为 X 0 500 1000 1500 2000 第 18 页（共 25 页） P EY40.41.6， EX500EY800 元 【点评】本题考查独立性检验，考查离散型随机变量求分布列和数学期望，中档题 19 （12 分）如图所示的几何体中，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，四边形 AOFE 为平行四边形，OF平面 ABCD，H 为线段 BF 上一点 （1）证明：EFOH； （2）若 ABBD8，OF6，M 为线段 BC 上一点，且 FMBC，设三棱锥 BAHC 的 体积为 V1，四棱锥 DEFCA

32、的体积为 V2，且 V23V1，求直线 FM 与平面 AHC 所成角 的正弦值 【分析】 （1）可证 AO平面 BDF，进而得到 AOOH，再由四边形 AOFE 为平行四边 形，进而得到 AOEF，由此得证； （2）根据题设条件可得 H 为线段 BF 的中点，建立空间直角坐标系，求出直线 FM 的方 向向量与平面 AHC 的一个法向量，利用向量的夹角公式得解 【解答】解： （1）证明：菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O， AOBD， OF平面 ABCD，AO 在平面 ABCD 内， OFAO， 又OFBDO， AO平面 BDF， H 为线段 BF 上一点， AOOH， 第

33、19 页（共 25 页） 四边形 AOFE 为平行四边形， AOEF， EFOH； （2）设点 H 到平面 ABCD 的距离为 h，则， ， V23V1， ，故 H 为线段 BF 的中点， 连接 OM，OF平面 ABCD， OFBC， 又FMBC，且 FMOFF， BC平面 FOM， BCOM，由已知得 OB4， BMOBcos602， 作 MNOB，交 OB 于 N，则 BN1，故 ON3， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，故， 设平面 HAC 的法一个向量为，则，可取 ， 设直线FM与平面AHC所成角为，则 ， 故 FM 与平面 AHC 所成角的正弦值为 第 20 页（共 25 页）

34、【点评】本题考查线面垂直的判定及性质，考查利用空间向量求解线面角的正弦值，同 时也涉及了椎体体积的求法，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题 20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 F（1，0）为椭圆 E：的 右焦点，过 F 的直线与椭圆 E 交于 A、B 两点，线段 AB 的中点为 P（） （1）求椭圆 E 的方程； （2）若直线 OM、ON 斜率的乘积为，两直线 OM，ON 分别与椭圆 E 交于 C、M、 D、N 四点，求四边形 CDMN 的面积 【分析】 （1）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，利用点差法求出直线 AB 的斜率为：， 又直线 AB 的斜率为：1

35、，所以1，得到 a22b2，再结合 a2b2+c2， c1，即可求出 a，b，c 的值，从而求得椭圆 E 的方程； （2）设点 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，由题意可知 x1x2+2y1y20，当直线 MN 的斜率不存 在时，易求四边形 CDMN 的面积 S4|x1|y1|2，当直线 MN 的斜率存在时，设直线 MN 的方程为：ykx+m，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入 x1x2+2y1y20 得 1+2k2 2m2，再由弦长公式和点到直线距离公式求得 SMON，由椭圆的对称性可知：四边 形 CDMN 的面积为 4SMON2，从而得到边形 CDMN 的面积为 2 【解答】解： （1

36、）由题意可知，c1，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， ， 第 21 页（共 25 页） 又点 A，B 在椭圆上， ，两式相减得：， ，即直线 AB 的斜率为：， 又直线 AB 过右焦点 F（1，0） ，过点 P（） ， 直线 AB 的斜率为：1， 1，a22b2， 又a2b2+c2，c1， a22，b21， 椭圆 E 的方程为：； （2）设点 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 由题意可知，即 x1x2+2y1y20， 当直线 MN 的斜率不存在时，显然 x1x2，y1y2， ，又， ， 四边形 CDMN 的面积 S4|x1|y1|2， 当直线 MN 的斜率存在时，设直线 M

37、N 的方程为：ykx+m， 联立方程，消去 y 得： （1+2k2）x2+4kmx+2m220， 第 22 页（共 25 页） ， y1y2（kx1+m） （kx2+m）， x1x2+2y1y20， 0， 整理得：1+2k22m2， 由弦长公式得：|MN| ， 原点（0，0）到直线 MN 的距离 d， SMON， 由椭圆的对称性可知：四边形 CDMN 的面积为 4SMON2， 综上所述，四边形 CDMN 的面积为 2 【点评】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）（22x+ax2）ex+（1a）x22 （1）若 a0，证明：当 x0 时

38、，f（x）0；当 x0 时，f（x）0； （2）若 x0 是 f（x）的极小值点，求 a 【分析】 （1）将 a0 代入，求导，进而得出函数的单调性情况，结合 f（0）0 即可得 证； （2）分 a0 及 a0 两种情形讨论，当 a0 时，又分，及三种情 形讨论 【解答】解： （1）证明：当 a0 时，f（x）（22x）ex+x22，f（x）2x（1ex） ， 当 x0 时，1ex0，则 f（x）0，故函数 f（x）在（，0）单调递减， 当 x0 时，1ex0，则 f（x）0，故函数 f（x）在（0，+）单调递减， 第 23 页（共 25 页） 故函数 f（x）在 R 上单调递减，又 f（0）

39、0， 故当 x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）0； （2）若 a0，当 x0 时，因为 ex10，所以 ax2（ex1）0， 由（1）可知，当 x0 时， （22x）ex+x220，则 f（x）ax2（ex1）+（22x）ex+x2 20，这与 x0 是极小值点矛盾； 若 a0，f（x）（2a2）x+ax2ex+2（1a）x（2a2+ax）ex+2（1a）x， 设函数 g（x）（2a2+ax）ex+2（1a） ，则 g（x）（3a2+ax）ex， 设函数 h（x）3a2+ax，令 h（x0）0，解得，又 h（x）在 R 上单调递增， 故当时，h（x）0，则 g（x）0，则 g（x）在

40、单 调递减， 当时，h（x）0，则 g（x）0，则 g（x）在单调 递增， （i）若，则 g（x）g（0）0，故当 x（，0）时，f（x）0，则 f（x） 在（，0）单调递减， 当 x（0，+）时，f（x）0，则 f（x）在（0，+）单调递增，则 x0 是极小值 点； （ii）若，则，又 g（x）在单调递减， 故当时，g（x）0，则 f（x）0，故 f（x）在单调递减， 这与 x0 是极小值点矛盾； （iii）若，则，又 g（x）在单调递增， 故当时，g（x）0，则 f（x）0，故 f（x）在单调递增， 这与 x0 是极小值点矛盾； 综上， 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值

41、，考查分类讨论思想以及逻 辑推理能力，特别是对分类讨论的要求较高，属于中档题目 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 第 24 页（共 25 页） 22 （10 分）以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两 种坐标系中取相同的长度单位已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，曲线 C 的参数方程为（s 为参数） （1）求直线 l 的斜率和曲线 C 的普通方程； （2）设直线 l

42、 和曲线 C 相交于 A、B 两点，求以线段 AB 为直径的圆的极坐标方程 【分析】 （1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进 行转换 （2）利用直线与曲线的位置关系式的应用，利用解一元二次方程的应用和中点坐标公式 及两点间的距离公式的应用求出结果 【解答】解： （1）已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，转换为直角坐标方 程为 y2（x1） ，所以直线的斜率为 k2 曲线 C 的参数方程为（s 为参数） ，转换为直角坐标方程为 y22x （2）把直线 l 的直角坐标方程代入 y22x，得到：4（x1）22x， 整理得 2x25x+20，解得或 x22， 故

43、：A（） ，B（2，2） 所以圆心坐标为（） ，半径为 r 所以圆的方程， 转换为极坐标方程为： 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于中档题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x7|+1 第 25 页（共 25 页） （1）求不等式 f（x）|x1|的解集； （2）若不等式 f（x）ax 对一切 xR 都成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）由题意可得|x1|2x7|1，由绝对值的意义，去绝对值符号，解不等式， 求并集可得所求解集

44、； （2）由题意可得 1+|2x7|ax 恒成立，去绝对值符号，讨论 x 的范围，结合参数分离 和反比函数的单调性，以及恒成立思想，可得所求范围 【解答】解： （1）f（x）|x1|即为|x1|2x7|1， 可得或或， 解得 x5 或 1x3 或 x1， 可得原不等式的解集为x|x3 或 x5； （2）不等式 f（x）ax 对一切 xR 都成立， 即为 1+|2x7|ax 恒成立， 当 x时，2x6ax，即 2a， 由，可得 2a，即 a； 当 x0 时，82xax，即有 a+2， 则 a+20，即 a2； 当 x0 时，1+|2x7|ax 显然成立； 当 0x时，82xax，即有 a+2恒成立， 由，可得 a+2，即 a 综上可得 a 的范围是2，） 【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思 想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题