2018-2019学年四川省蓉城名校联盟高三（上）第一次联考数学试卷（理科）含详细解答

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1、已知集合 Ax|（x+1） （x1）0，Bx|0x1，则AB 为（ ） Ax|1x0 Bx|1x0 Cx|x0 Dx|0x1 2 （5 分）设复数 zx+yi（x，yR）满足 z3+2i2+i3，则的值为（ ） A B C1 D 3 （5 分）若等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S520，a46，则 a2的值为（ ） A0 B1 C2 D3 4 （5 分） 已知向量、， |1， （1，） ，、的夹角为 60， 则 （） （ ） A B C5 D 5 （5 分）某校高三数学月活动记录了 4 名学生改进数学学习方法后，每天增加学习时间 x （分钟）与月考成绩增加分数 y（分）的几组对应数据：

2、 x 3 4 5 6 y 2 4 m 5 根据表中提供的数据，若求出 y 关于 x 的线性回归方程为 0.8x+0.35，那么表中 m 的 值为（ ） A4 B4.15 C4.8 D4.35 6 （5 分）已知 n 为执行如图所示的程序框图输出的结果 S，则（x+）n的展开式中常数项 第 2 页（共 25 页） 是（ ） A10 B20 C35 D56 7 （5 分）已知 a4cos，b3sin，c3cos，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Acab Bbca Cbac Dacb 8 （5 分）已知一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的 直观图是一个直角边长为 1

3、 的等腰直角三角形 （如图所示） ， 则此几何体的体积为 （ ） A1 B C2 D2 9 （5 分）若将函数 g（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向 左平移个单位长度得到 f（x）的图象，已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0， |）的部分图象如图所示，则 g（x）的解析式为（ ） Aysin（4x+） Bysin（4x+） Cysin4x Dycosx 10 （5 分）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名 的成果达 110 个，其中的一个成果是：设 xR，则 yx称为高斯函数，x表示不超过 x 第 3 页（共 25 页

4、） 的最大整数， 如1.71， 1.22， 并用xxx表示 x 的非负纯小数， 若方程x 1kx 有且仅有 4 个实数根，则正实数 k 的取值范围为（ ） A） B （， C，） D （， 11 （5 分）已知椭圆1（ab0）的左、右焦点分别为 F1（c，0） ，F2（c，0） ， P 是椭圆上一点，|PF2|F1F2|2c，若PF2F1（） ，则该椭圆的离心率的取 值范围是（ ） A （0，） B （0，） C （） D （） 12 （5 分）已知函数 f（x）2m（x2+1）， （mR） ，g（x）ex（其中 e 为自然数的底数，e2.71828） ，若函数 f（x）与 g（x）的图象只有

5、一个交点，则 m 的值不可能为（ ） A2 B3 C3 D4 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）sin（390） 14 （5 分）高考阅卷组抽调 A、B、C、D、E、F 六名阅卷老师和甲，乙两名阅卷组长，现 将他们分成两个小组（每组 4 人）分别派往成都、绵阳两地指导高考备考两地都要求 既要有阅卷老师又要有阅卷组长，而且 A 由于工作原因只能去成都则不同的选派方案 共有 种 15 （5 分）已知实数 x，y 满足，则 z4x+1的取值范围是 16 （5 分）已知 Sn是数列an的前 n 项和，若 an+|cos|S

6、n2，则 a18 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）已知函数 f（x）2cos2x+（sinx+cosx）22 （1）求 f（x）的最大值及取得最大值时 x 的集合； （2）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 f（A）1若 AC 边上的 第 4 页（共 25 页

7、） 高等于b，求 cosC 的值 18 （12 分）成都市现在已是拥有 1400 多万人口的国际化大都市，机动车保有量已达 450 多万辆，成年人中约 40%拥有机动车驾驶证为了解本市成年人的交通安全意识情况， 某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查先根据是否拥有 驾驶证，用分层抽样的方法抽取了 200 名成年人，然后对这 200 人进行问卷调查这 200 人所得的分数都分布在30，100范围内，规定分数在 80 以上（含 80）的为“安全意识 优秀” ，所得分数的频率分布直方图如图所示 拥有驾驶证 没有驾驶证 合计 得分优秀 得分不优秀 58 合计 200 （1）补全上

8、面 22 的列联表，能否有超过 95%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有 驾驶证”有关？ （2）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取 4 人，记“安全意识 优秀”的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望 附表及公式：K2，其中 na+b+c+d P（K2k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，ADBC，ABBC，ADAB2BC2，APAC， BP3BC （1）求证：平面 PAD平面 ABCD； （

9、2）若PAD 为锐角，且 PA 与平面 ABCD 所成角的正切值为 2，求二面角 APBD 的余弦值 第 5 页（共 25 页） 20 （12 分）已知抛物线 C：x22py（p0）的焦点为 F，过点 F 垂直于 y 轴的直线与抛物 线 C 相交于 A，B 两点，抛物线 C 在 A，B 两点处的切线及直线 AB 所围成的三角形面积 为 16 （1）求抛物线 C 的方程； （2）设 P，M，N 为抛物线上不同的三点，且 PMPN，求证：若 P 为定点，则直线 MN 过定点 Q；并求当 P 点移动时，|PQ|的最小值 21 （12 分）已知函数 f（x）ax22（a+1）x+2lnx，aR （1）

10、讨论函数 f（x）的单调性； （2）是否存在最大整数 k，当 ak 时，对任意的 x2，都有 f（x）ex（x1）ax lnx 成立？（其中 e 为自然对数的底数，e2.71828）若存在，求出 k 的值；若不存在， 说明理由 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为：， （ 为参数） ， 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极

11、坐标系，曲线 C2的极坐标 方程为 cos（）1，M 为曲线 C1上动点 （1）求曲线 C1和曲线 C2的直角坐标方程； （2）求点 M 到曲线 C2的距离 d 的最小值及此时点 M 的坐标 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23设函数 f（x）|x+1|+|2x1| （1）求不等式 f（x）2 的解集； （2）关于 x 的不等式 f（x）m2的解集非空，求实数 m 的取值范围 第 6 页（共 25 页） 2018-2019 学年四川省蓉城名校联盟高三（上）第一次联考数学学年四川省蓉城名校联盟高三（上）第一次联考数学 试卷（理科）试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案

12、与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 Ax|（x+1） （x1）0，Bx|0x1，则AB 为（ ） Ax|1x0 Bx|1x0 Cx|x0 Dx|0x1 【分析】可以求出集合 A，然后进行补集的运算即可 【解答】解：Ax|1x1，Bx|0x1， ABx|1x0 故选：A 【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，补集的运算，考查了计算 能力，属于基础题 2 （5 分）设复数 zx+yi

13、（x，yR）满足 z3+2i2+i3，则的值为（ ） A B C1 D 【分析】把 zx+yi（x，yR）代入 z3+2i2+i3，利用虚数单位 i 的运算性质化简，再由 复数相等的条件求得 x，y 的值，则的值可求 【解答】解：由 zx+yi（x，yR） ，且满足 z3+2i2+i3， 得 x+yi32i1i，则 x1，y1 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题 3 （5 分）若等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S520，a46，则 a2的值为（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】利用等差数列前 n 项和公式和通项公式列出方程，求出首项和公差

14、，由此能求 出 a2的值 【解答】解：等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S520，a46， 第 7 页（共 25 页） ， 解得 a10，d2， a20+22 故选：C 【点评】本题考查等差数列的第 2 项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运 算求解能力，是基础题 4 （5 分） 已知向量、， |1， （1，） ，、的夹角为 60， 则 （） （ ） A B C5 D 【分析】结合已知条件，直接利用向量数量积的定义及性质即可求解 【解答】解：|1，（1，） ，、的夹角为 60， 2， 1， 则（）+1+45 故选：C 【点评】本题考查了平面向量的数量积的运算问题，是基础题目 5

15、（5 分）某校高三数学月活动记录了 4 名学生改进数学学习方法后，每天增加学习时间 x （分钟）与月考成绩增加分数 y（分）的几组对应数据： x 3 4 5 6 y 2 4 m 5 根据表中提供的数据，若求出 y 关于 x 的线性回归方程为 0.8x+0.35，那么表中 m 的 值为（ ） A4 B4.15 C4.8 D4.35 【分析】根据表中数据计算 、 ，代入线性回归方程中求出 m 的值 第 8 页（共 25 页） 【解答】解：根据表中数据，计算 （3+4+5+6）4.5， （2+4+m+5）， 代入 y 关于 x 的线性回归方程 0.8x+0.35 中， 得0.84.5+0.35， 解

16、得 m4.8 故选：C 【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的问题，是基础题 6 （5 分）已知 n 为执行如图所示的程序框图输出的结果 S，则（x+）n的展开式中常数项 是（ ） A10 B20 C35 D56 【分析】模拟程序框图的运行过程，求出输出 S 的值，再求二项式的展开式中常数项的 值 【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下： i0，S0， i1， i4？，是，执行循环体，S1，i2 24？，是，执行循环体，S3，i3 34？，是，执行循环体，S6，i4， 此时 44？否，退出循环，输出 S 的值为 6 二项式（x+）6的展开式中的通项是 Tr+1x6 r （ ）rx6 2

17、r 令 62r0，得 r3； 第 9 页（共 25 页） 可得常数项是20 故选：B 【点评】本题考查了程序框图的应用以及二项式定理的应用问题，解题时应模拟程序框 图的运行过程，并利用二项式的通项公式进行计算，属于基础题 7 （5 分）已知 a4cos，b3sin，c3cos，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Acab Bbca Cbac Dacb 【分析】构造函数利用函数的单调性求解 【解答】解：设 f（x）cosx，f（x），x（0，） ， 故 f（x）在（0，）单调递减， 因为， 所以 f（）f（） ，即 ac； 又 cossin，故 c3cos3sinb， 即 acb， 故选：B 【

18、点评】考查了构造函数法，求函数的单调性及单调性的应用，基础题 8 （5 分）已知一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的 直观图是一个直角边长为 1 的等腰直角三角形 （如图所示） ， 则此几何体的体积为 （ ） A1 B C2 D2 【分析】本题主要是根据三视图想出对应的空间立体图形，然后根据三棱锥的体积公式 进行计算 【解答】解：根据斜二测画法，俯视图还原后应为一个直角边长为 2，的直角三角形 根据三视图，可得此几何体的大致图形如下： 第 10 页（共 25 页） 则有：VS底h23 故选：B 【点评】本题主要考查空间想象能力以及计算能力本题属基础题 9 （5 分

19、）若将函数 g（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向 左平移个单位长度得到 f（x）的图象，已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0， |）的部分图象如图所示，则 g（x）的解析式为（ ） Aysin（4x+） Bysin（4x+） Cysin4x Dycosx 【分析】先根据图象求出 A， 和 的值，即 f（x）的解析式，根据三角函数的图象变 换，利用逆推法进行求解即可 【解答】解：由图象知 A1， 则 T，即， 得 2，即 f（x）sin（2x+） 由五点对应法得 2+，即 ， 即 f（x）sin（2x+） ， 将 f（x）的图象向右平移个单位长度得到

20、ysin2（x）+sin2x， 第 11 页（共 25 页） 然后所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） ，得到 ysin4x， 即 g（x）sin4x， 故选：C 【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，先根据图象求出 f（x）的解析式，然后 利用逆推法进行求解是解决本题的关键难度中等 10 （5 分）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名 的成果达 110 个，其中的一个成果是：设 xR，则 yx称为高斯函数，x表示不超过 x 的最大整数， 如1.71， 1.22， 并用xxx表示 x 的非负纯小数， 若方程x 1kx 有且仅有 4 个实数根，则正实数

21、k 的取值范围为（ ） A） B （， C，） D （， 【分析】 由方程的根与函数交点的个数问题结合数形结合的数学思想方法作图观察 yx 的图象与 ykx+1 的图象有且只有 3 个交点时 k 的取值范围即可得解， 【解答】解：方程x+kx10 有且只有 4 个实数根等价于 yx的图象与 ykx+1 的图象， 有且只有 4 个交点， 当 0x1 时，xx， 当 1x2 时，xx1， 当 2x3 时，xx2， 当 3x4 时，xx3， 以此类推，如图所示，实数 k 的取值范围为：k， 即实数 k 的取值范围为： （， 故选：D 第 12 页（共 25 页） 【点评】本题考查了方程的根与函数交点

22、的个数问题，数形结合的数学思想方法，属中 档题 11 （5 分）已知椭圆1（ab0）的左、右焦点分别为 F1（c，0） ，F2（c，0） ， P 是椭圆上一点，|PF2|F1F2|2c，若PF2F1（） ，则该椭圆的离心率的取 值范围是（ ） A （0，） B （0，） C （） D （） 【分析】 通过|PF2|F1F2|可得PF1F2是以 PF1为底的等腰三角形， 且底边长为 2a2c、 腰长为 2c， 过三角形的顶点作底边上的高， 由PF2F1 （） 得PF1F2 （0，） ， 再由锐角三角函数的定义计算即得结论 【解答】解：|PF2|F1F2|2c， PF1F2是以 PF1为底的等腰三

23、角形，|PF1|2a2c， 过 F2作 F2APF1交 PF1于 A， 则有 cosPF1F2， PF2F1（） ，PF1F2（0，） ， cosPF1F2（，1） ， 即1，解得 该椭圆的离心率的取值范围是（，） 故选：D 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题 第 13 页（共 25 页） 12 （5 分）已知函数 f（x）2m（x2+1）， （mR） ，g（x）ex（其中 e 为自然数的底数，e2.71828） ，若函数 f（x）与 g（x）的图象只有一个交点，则 m 的值不可能为（ ） A2 B3 C3 D4 【分析】先将函数有一个交点转化成方程有一个解

24、，然后进行替换变成一元二次函数， 通过特殊值的代入判断是否成立，得到答案 【解答】解：根据函数 f（x）与 g（x）的图象只有一个交点， 则 2m（x2+1）ex有一个实数根， 即 2m（x2+1）ex（m+2） （x2+1）2（ex）2， 即（ex）22m（x2+1）ex+（m+2） （x2+1）20， 即只有一个实数根， 令， 所以函数在 R 上单调递增，且 t0 恒成立， t 的图象大致如图所示： 所以只需关于 t 的方程 t22mt+（m+2）0 有且只有一个正实根， 当 m3 时，方程有 t5，或 t1，不符合题意； 当 m3 时，方程 t2+6t10，t，只有 t一个正实根，符合题

25、 意； 当 m2 时，方程 t2+8t20，只有 t一个正实根，符合题意； 故选：B 第 14 页（共 25 页） 【点评】本题考察函数与方程的综合应用，以及运用导数求单调性，属于难题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）sin（390） 【分析】直接利用三角函数的诱导公式化简求值 【解答】解：sin（390）sin（36030）sin（30）sin30 故答案为： 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题 14 （5 分）高考阅卷组抽调 A、B、C、D、E、F 六名阅卷老师和甲，乙两名阅卷组

26、长，现 将他们分成两个小组（每组 4 人）分别派往成都、绵阳两地指导高考备考两地都要求 既要有阅卷老师又要有阅卷组长，而且 A 由于工作原因只能去成都则不同的选派方案 共有 20 种 【分析】先阅读题意，再利用排列组合中的分步原理求解即可 【解答】解：先在甲，乙两名阅卷组长中选一名去成都，再在除 A 之外的 5 名阅卷老师 中选两名去成都， 即合计 A 共有四名老师去成都，剩下的四名老师去绵阳即可，即21020， 故答案为：20 【点评】本题考查了排列组合中的分步原理，重点考查了阅读能力，属中档题 15 （5 分） 已知实数 x， y 满足， 则 z4x+1的取值范围是 ， 8 第 15 页（

27、共 25 页） 【分析】实数 x，y 满足，满足的可行域为ABC，求出顶点坐标，代入目 标函数，即可得出结论 【解答】解：实数 x，y 满足，满足的可行域如图所示为ABC，三个顶点 的坐标为 A（1，2） ，C（2，0） ，B（0，1） z4x+122x y1 分别代入 u2xy1，可得 u1，3，2，z4x+1的值分别为：，8， z4x+1的取值范围是，8 故答案为：，8 【点评】本题考查线性规划知识，考查数形结合的数学思想，正确画出可行域是关键， 是中档题 16 （5 分）已知 Sn是数列an的前 n 项和，若 an+|cos|Sn2，则 a18 【分析】解：当 n2k1 时，an+|co

28、s|Sn2an2当 n2k 时，a2k+S2k2a2 0，a2n+2+S2k+22，a2k+22（a2n+2+2） ，可得 a2+2，a4+2，a6+2，是以 2 为首项， 公比为的等比数列利用等比数列通项即可求解 【解答】解：当 n2k1 时，an+|cos|Sn2an2 当 n2k 时，a2k+S2k2a20，a2n+2+S2k+22， 第 16 页（共 25 页） a2k+22（a2n+2+2） a2+2，a4+2，a6+2，是以 2 为首项，公比为的等比数列 a2k2 （k1，2，3） a18， 故答案为： 【点评】本题考查了数列的递推式，构造新数列是解题关键，属于中档题 三、解答题：

29、共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）已知函数 f（x）2cos2x+（sinx+cosx）22 （1）求 f（x）的最大值及取得最大值时 x 的集合； （2）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 f（A）1若 AC 边上的 高等于b，求 cosC 的值 【分析】 （1）首先将解

30、析式化简为一个角的一个三角函数名称的形式，然后利用正弦函 数的性质即可求解 （2）由已知可得 sin（A+），根据范围 A+（，） ，可求 A， 由已知 ABb，利用三角函数的定义及勾股定理即可求解 【解答】 解：（1） f （x） 2cos2x+ （sinx+cosx） 221+cos2x+1+sin2x2 sin （x+） ， f （x） 的最大值为， 当 x+2k+（kZ） 时取最大值， x 的集合为x|x2k+， kZ； （2）f（A）sin（A+）1， sin（A+）， A（0，） ，A+（，） ， A+，可得 A， 又AC 边上的高等于b，即 ABb， 第 17 页（共 25 页）

31、 cosC 【点评】本题考查了三角函数恒等式的化简，一般地，要求三角函数解析式的最值、周 期等问题时，首先将解析式化简为一个角的一个三角函数名称的形式然后解答 18 （12 分）成都市现在已是拥有 1400 多万人口的国际化大都市，机动车保有量已达 450 多万辆，成年人中约 40%拥有机动车驾驶证为了解本市成年人的交通安全意识情况， 某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查先根据是否拥有 驾驶证，用分层抽样的方法抽取了 200 名成年人，然后对这 200 人进行问卷调查这 200 人所得的分数都分布在30，100范围内，规定分数在 80 以上（含 80）的为“安全意识 优

32、秀” ，所得分数的频率分布直方图如图所示 拥有驾驶证 没有驾驶证 合计 得分优秀 得分不优秀 58 合计 200 （1）补全上面 22 的列联表，能否有超过 95%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有 驾驶证”有关？ （2）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取 4 人，记“安全意识 优秀”的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望 附表及公式：K2，其中 na+b+c+d P（K2k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【分析】 （1）根据成年人拥

33、有驾驶证的比例可得拥有驾驶证的总人数，进而得到得分优 秀的人数，再结合频率分布直方图得到得分优秀的总人数，即可得到列联表，计算 K2的 第 18 页（共 25 页） 观测值 k，查表判断即可； （2）依题意，随机变量 X 服从二项分布，根据频率分布直方图，求出对应概率，结合二 项分布的相关知识即可得到 X 的分布列和数学期望 【解答】解： （1）成年人中约 40%拥有机动车驾驶证，故 200 人中拥有驾驶证的有 200 40%80 人， 根据频率分布直方图可知， “安全意识优秀”的频率为（0.016+0.004）100.2，故“安 全意识优秀”的共有 2000.240 人， 所以 22 列联表

34、如下， 拥有驾驶证 没有驾驶证 合计 得分优秀 22 18 40 得分不优秀 58 102 160 合计 80 120 200 所以 K24.6883.841， 故有超过 95%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关； （2）由（1）知， “安全意识优秀”的概率为 0.2，故随机变量 X（4，） ，X 的所有可 能的取值为 0，1，2，3，4， 对应概率为 P（X0），P（X1）， P（X2，P（X3），P（X4） ， 所以随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 所以 E（X）4 【点评】本题考查了 22 列联表，频率分布直方图的识别和应用，独立性检验，二项分 布主要考

35、查分析和解决问题的能力，和计算能力，属于中档题 19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，ADBC，ABBC，ADAB2BC2，APAC， 第 19 页（共 25 页） BP3BC （1）求证：平面 PAD平面 ABCD； （2）若PAD 为锐角，且 PA 与平面 ABCD 所成角的正切值为 2，求二面角 APBD 的余弦值 【分析】 （1）要证明平面 PAD平面 ABCD，只需 ABAP，ABBC，进而求解； （2）过点 P 作 OPAD 于 O，连接 OC，由 PA 与平面 ABCD 所成角的正切值为 2，求 出 AO，OP，进而求解； 【解答】解： （1）证明：ADBC，ABBC，

36、ADAB2BC2， APAC，BP3BC3， BP2AB2+AP2，即 ABAP，又 ABBC，APADA，AB平面 ABCD， 平面 PAD平面 ABCD， （2）过点 P 作 OPAD 于 O，连接 OC，由（1）可知 PO面 ABCD，则PAO 为 PA 与面 ABCD 所成的角， tanPAO2，又AP，AO1，PO2， AOBC，四边形 ABCO 为矩形，OCAD， 以 O 为坐标原点，OC，OD，OP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 如图， 则 A（0，1，0） ，P（0，0，2） ，D（0，1，0） ，B（2，1，0） ， （2，0，0） ，（0，1，2

37、） ，设平面 APB 的法向量为 （x，y，z） ， 则有即，取 （0，2，1） ，同理可得平面 PBD 的一个法向量 （2，2，1） cos ， ， 第 20 页（共 25 页） 由图可知二面角 APBD 的平面角为锐角，二面角 APBD 的余弦值为 【点评】考查线线垂直证明面面垂直，空间直接坐标系求二面角，属于中档题； 20 （12 分）已知抛物线 C：x22py（p0）的焦点为 F，过点 F 垂直于 y 轴的直线与抛物 线 C 相交于 A，B 两点，抛物线 C 在 A，B 两点处的切线及直线 AB 所围成的三角形面积 为 16 （1）求抛物线 C 的方程； （2）设 P，M，N 为抛物线

38、上不同的三点，且 PMPN，求证：若 P 为定点，则直线 MN 过定点 Q；并求当 P 点移动时，|PQ|的最小值 【分析】 （1）求得抛物线的焦点 F，求得 A，B 的坐标，求得 y的导数，可得切线 的斜率和方程，求得两切线的交点，由三角形的面积公式，可得 p，进而得到所求抛物线 方程； （2）设 P（m，n） ，M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，代入抛物线方程，运用两直线垂直的条 件，结合直线的斜率和方程，化简整理，由直线恒过定点的求法可得所求定点；再由两 点的距离公式和二次函数的最值求法，可得所求最小值 【解答】解： （1）抛物线 C：x22py（p0）的焦点为 F（0，） ， 令

39、 y可得 xp，即有 A（p，） ，B（p，） ， 由 y的导数为 y，在 A 处的切线方程为 yxp， 第 21 页（共 25 页） 在 B 处的切线方程为 yxp， 可得两切线的交点为（0，） ， 则抛物线 C 在 A，B 两点处的切线及直线 AB 所围成的三角形面积为 16， 可得p2p16，解得 p4， 则抛物线的方程为 x28y； （2）证明：设 P（m，n） ，M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 可得 n，y1，y2， 由 PMPN 可得1， 化为（m+x1） （m+x2）1，即有 x1x264m2m（x1+x2） ， 又直线 MN 的方程为 yy1（xx1） ， 即为 yy

40、1（xx1） ，即有 yx， 即为 yxx1x2， 可得 yx+8+（x1+x2） ， 即 y（x+m）+8+， 令 xm，可得 y8+， 即有直线 MN 恒过定点 Q（m，8+） ， 由|PQ|8， 当 m0 时，|PQ|取得最小值 8 【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线相切的条件，以及切线方程 的求法，考查直线恒过定点的求法，以及化简运算能力，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）ax22（a+1）x+2lnx，aR （1）讨论函数 f（x）的单调性； 第 22 页（共 25 页） （2）是否存在最大整数 k，当 ak 时，对任意的 x2，都有 f（x）ex（x

41、1）ax lnx 成立？（其中 e 为自然对数的底数，e2.71828）若存在，求出 k 的值；若不存在， 说明理由 【分析】 （1）f（x）的定义域为（0，+） ， 分情况讨论当 a（，0时，当 a（0，1）时，当 a1 时，当 a（1，+）时，函 数 f（x）的单调性 （2）ax22（a+2）x+2lnxex（x1）axlnx 对 x2，恒成立ax2（a+2）x+3lnx ex（x1） 当 x2 时，得 4a（a+2）2+3ln2e2，所以 2ae2+4ln88+4 210，所以 a5，则整数 k 的最大值不超过 4，接下证明：当 a4 时，不等式对于 x2 恒成立 【解答】解： （1）f

42、（x）的定义域为（0，+） ， ， 当 a（，0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减； 当 a（0，1）时，f（x）在（0，1）和（，+）上单调递增，在（1，）上单调递 减； 当 a1 时，f（x）在（0，+）上单调递增； 当 a（1，+）时，f（x）在（0，）和（1，+）上单调递增，在（，1）上单调 递减 （2）ax22（a+2）x+2lnxex（x1）axlnx 对 x2，恒成立 ax2（a+2）x+3lnxex（x1） 当 x2 时，得 4a（a+2）2+3ln2e2， 2ae2+4ln88+4210， a5，则整数 k 的最大值不超过 4， 下面证明：当 a4 时

43、，不等式对于 x2 恒成立 设 g（x）ax2（a+2）x+3lnxex（x1） （x2） ， 则， 令， 第 23 页（共 25 页） 则2a（x+1）ex2a3e283e20， h（x）在2，+）上单调递减， h（x）2ax（a+2）+xexh（2）3a2e22e20， 即当 x2，+）时，g（x）0， g（x）在2，+）单调递减， g（x）ax2（a+2）x+3lnxex（x1）g（2）2a4+3ln2e284+3e27 e20， a4 时，不等式恒成立，k 的最大值为 4 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题，考查分类讨论 思想，属于中档题 （二）选考题：共（

44、二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为：， （ 为参数） ， 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标 方程为 cos（）1，M 为曲线 C1上动点 （1）求曲线 C1和曲线 C2的直角坐标方程； （2）求点 M 到曲线 C2的距离 d 的最小值及此时点 M 的坐标 【分析】 （1）由曲线 C1的参数方程能求出曲线 C1的直角坐标方程；由曲线 C2的极坐标 方程能求出曲线 C2的直角坐标方程 （ 2 ） 设M （ 2+2cos ， 2+2sin ）， 点M到 曲 线C2的 距 离 ： d |2sin（+150）+|，由此能求出点 M 到曲线 C2的距离 d 的最小值及此时点 M 的坐标 【解答】解： （1）曲线 C1的参数方程为：， （ 为参数） ， 曲线 C1的直角坐标方程为（x2）2+（y+2）24 曲线 C2的极坐标方程为 cos（）1， 即， 曲线 C2的直角坐标方