2019-2020学年四川省成都市新都区高三（上）10月诊断数学试卷（文科）含详细解答

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1、已知，则 sin2（ ） A B C D 5 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）在（0，+）单调递减，且满足对xR，都有 f （x）f（x）0，则符合上述条件的函数是（ ） Af（x）x2+|x|+1 B Cf（x）ln|x+1| Df（x）cosx 6 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（3x）f（3+x） ，且函数 f（x）在（0，3） 上为单调递减函数，若，则下面结论正确的是（ ） Af（a）f（b）f（c） Bf（c）f（a）f（b） Cf（c）f（b）f（a） Df（a）f（c）f（b） 7 （5 分）已知 a0，b0，若不等式恒成立，则 n 的最大值为（

2、 ） A9 B12 C16 D20 8 （5 分）函数 y3cosxe|x|的图象可能是（ ） 第 2 页（共 21 页） A B C D 9 （5 分） 在由正数组成的等比数列an中， 若 a3a4a53， 则 sin （log3a1+log3a2+log3a7） 的值为（ ） A B C1 D 10 （5 分）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图 1 是八卦模型图，其平面图形记为图 2 中的正八边形 ABCDEFGH，其中|OA|1，则给出下列结论： ； ； 在向量上的投影为 其中正确结论的个数为（ ） A3 B2 C1 D0 11 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x），且 f（x+

3、2）f（x） ， 若方程 f（x）kx20 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值集合是（ ） A B C1，1 D1， 12 （5 分）已知定义在 R 上的奇函数 f（x） ，对任意 x1、x20，+）且 x1x2，都有 第 3 页（共 21 页） ，若不等式 f（axlnx1）f（1）对x1，3恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A （，2 B （0， C （0，2 D （， 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分 ）分 ） 13 （5 分）曲线 y在 xe 处的切线方程为 14 （5 分） 九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国

4、数学的古典名题： “今有垣厚若干尺， 两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿 几何？”题意是： “有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加 倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半 ”如果一墙厚 10 尺，请问两只老鼠最少在 第 天相遇 15 （5 分）已知函数 f（x）2sin（x+） （0）满足，f（）0，且 f（x） 在区间上单调，则 的最大值为 16 （5 分）已知函数 f（x）x22x+3a，g（x）若对x10，3，总x22，3， 使得 f（x1）g（x2）成立，则实数 a 的取值集合为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共

5、 6 个小题，共个小题，共 70 分 ）分 ） 17 （10 分）已知数列an中，an+1an2 且 a1+a2+a39， （1）求an的通项公式； （2）求的前 n 项和 Sn 18 （12 分）如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ADC90，CDAB，AB2，ADCD 1将ADC 沿 AC 折起，使平面 ADC平面 ABC，得到几何体 DABC，如图 2 所示 （1）求证：BC平面 ACD； （2）求几何体 DABC 的体积 第 4 页（共 21 页） 19 （12 分）已知函数 （1）求函数 f（x）的单调递增区间； （2）ABC 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若，b1，c

6、，且 ab，试求角 B 和角 C 20 （12 分） 中华人民共和国道路交通安全法第 47 条的相关规定：机动车行经人行横道 时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线” ， 中 华人民共和国道路交通安全法第 90 条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣 3 分，罚款 50 元的处罚 （）交警从这 5 个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了 50 人，调查驾驶员不“礼让 斑马线”行为与驾龄的关系，得到如表列联表：能否据此判断有 97.5%的把握认为“礼 让斑马线”行为与驾龄有关？ 不礼让斑马线 礼让斑马线 合计 驾龄不超过 1 年 22 8 30 驾龄 1 年以上 8

7、12 20 合计 30 20 50 （）如图是某市一主干路口监控设备所抓拍的 5 个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为 的折线图： 第 5 页（共 21 页） 请结合图形和所给数据求违章驾驶员人数 y 与月份 x 之间的回归直线方程，并 预测该路口 7 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数 附注：参考数据：， 参考公式： ， ，（其 中 na+b+c+d） P（K2k） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21 （12 分） 已知椭圆的左、 右焦点为 F1、 F

8、2， 若圆 Q 方程，且圆心 Q 在椭圆上 （）求椭圆 C1的方程； （）已知直线交椭圆 C1于 A、B 两点，过直线 l1上一动点 P 作与 l1 垂直的直线 l2交圆 Q 于 C、D 两点，M 为弦 CD 中点，MAB 的面积是否为定值？若为 定值，求出此定值；若不为定值，说明你的理由 22 （12 分）已知函数 f（x）axlnx1（aR） （1）讨论 f（x）的单调性并指出相应单调区间； （2） 若， 设 x1， x2（x1x2） 是函数 g （x） 的两个极值点， 若， 且 g（x1）g（x2）k 恒成立，求实数 k 的取值范围 第 6 页（共 21 页） 2019-2020 学年四

9、川省成都市新都区高三（上）学年四川省成都市新都区高三（上）10 月诊断数学试月诊断数学试 卷（文科）卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单选题（本大题共一、单选题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分每小题有且只有一个正确选项 ）分每小题有且只有一个正确选项 ） 1 （5 分）已知全集 UR，集合 Ax|0x2，Bx|x2x0，则图中的阴影部分表 示的集合为（ ） A （，1（2，+） B （，0）（1，2） C1，2） D （1，2 【分析】先求出集合 B，再求集合 A 与集合 B 的交集即可 【解答】解：阴影部分表示的是 AB，集合 Bx|

10、x0 或 x1， AB（1，2 故选：D 【点评】本题主要考查集合的交集运算，考查 Venn 图表示集合，考查识图能力，属于基 础题 2 （5 分）设，则| |+z（ ） A1i B1+i C1i D1+i 【分析】根据复数的基本运算法则进行化简求出复数 z，再利用共轭复数的定义求出 ， 再求出| |，从而求出| |+z 【解答】解：+2ii+2ii， i，| |1， | |+z1+i， 故选：B 【点评】本题主要考查复数模长的计算和共轭复数的定义，比较基础 3 （5 分）已知数列an为等差数列，Sn为其前 n 项和，2+a5a6+a3，则 2S7（ ） A2 B7 C14 D28 【分析】由

11、 2+a5a6+a3，求出 a4，进而可得 2S7的值 第 7 页（共 21 页） 【解答】解：依题意，a6+a3a5+a42+a5， a42， 2S7214a428， 故选：D 【点评】本题考查了等差中项的性质，考查了等差数列的前 n 项和，主要考查计算能力， 属于基础题 4 （5 分）已知，则 sin2（ ） A B C D 【分析】由题意利用二倍角的正弦公式，求得 sin2 的值 【解答】解：已知，平方可得 1+2sincos1+sin2， 则 sin2， 故选：A 【点评】本题主要考查二倍角的正弦公式的应用，属于基础题 5 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）在（0，+）单调递

12、减，且满足对xR，都有 f （x）f（x）0，则符合上述条件的函数是（ ） Af（x）x2+|x|+1 B Cf（x）ln|x+1| Df（x）cosx 【分析】根据条件分别判断函数的奇偶性和单调性是否满足条件即可 【解答】解：对xR，都有 f（x）f（x）0， 则 f（x）f（x） ，即 f（x）是偶函数， Af（x）是偶函数，当 x0 时，f（x）x2+x+1 在（0，+）上为增函数，不满足条件 Bf（x）是偶函数，当 x0 时，f（x）（）2为减函数，满足条件， C由 x+10 得 x1，函数关于原点不对称，函数 f（x）为非奇非偶函数，不满足条 件 Df（x）是偶函数，在（0，+）上函

13、数不单调，不满足条件 故选：B 【点评】本题主要考查函数单调性和奇偶性的判断，结合函数奇偶性和单调性的性质是 第 8 页（共 21 页） 解决本题的关键比较基础 6 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（3x）f（3+x） ，且函数 f（x）在（0，3） 上为单调递减函数，若，则下面结论正确的是（ ） Af（a）f（b）f（c） Bf（c）f（a）f（b） Cf（c）f（b）f（a） Df（a）f（c）f（b） 【分析】可求出 c4，并根据条件可得出 f（4）f（2） ，然后可得出 02 0.51log 23 2，从而根据 f（x）在（0，3）上的单调性即可得出 f（a） ，f

14、（b） ，f（c）的大小关系 【解答】解：c4， f（3x）f（3+x） ， f（4）f（2） ， 又 02 0.5201，1log 22log23log242，且 f（x）在（0，3）上为单调递减函数， f（c）f（b）f（a） 故选：C 【点评】本题考查了对数的运算性质，对数的定义，指数函数和对数函数的单调性，减 函数和增函数的定义，考查了计算能力，属于基础题 7 （5 分）已知 a0，b0，若不等式恒成立，则 n 的最大值为（ ） A9 B12 C16 D20 【分析】不等式恒成立，n（a+3b） （+）的最小值，利用不等式 的基本性质求出即可 【解答】解：a0，b0，若不等式恒成立n（

15、a+3b） （+）的最 小值， a0，b0， （a+3b） （+）6+ 6+212，当且仅当 a3b 时取等号 n12，即 n 的最大值为 12 故选：B 【点评】本题考查不等式恒成立，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键 8 （5 分）函数 y3cosxe|x|的图象可能是（ ） 第 9 页（共 21 页） A B C D 【分析】由题意，可根据 x0 时，函数值为 2，以及通过求导研究出函数在（0，+） 上是减函数，选出正确选项 【解答】解：函数 y3cosxe|x|是一个偶函数，且当 x0 时，函数值为 2，故可排除 C， 又当 x0 时，y3sinxex0，即函数在（0，+）上是减函数

16、，由此排除 AD， 故选：B 【点评】本题考查函数图象的识别，识别方法主要是函数的性质以及特殊值这些特征， 此类题是高考的热点题，要注意总结解答规律方法 9 （5 分） 在由正数组成的等比数列an中， 若 a3a4a53， 则 sin （log3a1+log3a2+log3a7） 的值为（ ） A B C1 D 【分析】利用对数的基本运算化简 log3a1+log3a2+log3a7，通过 a3a4a53，求出对数 的值，然后求解即可 【解答】解：因为由正数组成的等比数列an中，a3a4a53，所以 a433，a4， log3a1+log3a2+log3a7 第 10 页（共 21 页） si

17、n（log3a1+log3a2+log3a7） sin sin（2） sin 故选：B 【点评】本题是基础题，考查等比数列等比中项的应用，对数的基本运算，正弦的三角 函数值的求法，考查计算能力 10 （5 分）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图 1 是八卦模型图，其平面图形记为图 2 中的正八边形 ABCDEFGH，其中|OA|1，则给出下列结论： ； ； 在向量上的投影为 其中正确结论的个数为（ ） A3 B2 C1 D0 【分析】结合正八边形的性质，结合平面向量的知识进行解答 【解答】解：，所以正确； ，所以正确； 在向量的投影为，所以错误； 故选：B 第 11 页（共 21 页） 【点评

18、】本题考查平面向量的运算以及命题真假性的判断，属于中档题 11 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x），且 f（x+2）f（x） ， 若方程 f（x）kx20 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值集合是（ ） A B C1，1 D1， 【分析】作函数 f（x）与 g（x）kx+2 的图象如下，结合函数 图象得，从而求实数 k 的取值范围 【解答】解：作函数 f（x）与 g（x）kx+2 的图象如下， 直线 g（x）kx+2 恒过点（0，2） ， 若直线 ykx+2 与 f（x）的图象有 2 个交点， 结合图象可知，k1，或1， 故选：C 【点评】本题考查了数形结合的思想应用及直线的斜

19、率与应用，熟练作图是关键，属于 中档题 12 （5 分）已知定义在 R 上的奇函数 f（x） ，对任意 x1、x20，+）且 x1x2，都有 ，若不等式 f（axlnx1）f（1）对x1，3恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A （，2 B （0， C （0，2 D （， 第 12 页（共 21 页） 【分析】 依题意， 奇函数 f （x） 在 R 上单调递减， 故原问题等价于对任意 x1， 3都成立，再利用导数求解即可 【解答】解：对任意 x1、x20，+）且 x1x2，都有， 函数 f（x）在0，+）上为减函数， 又函数 f（x）为定义在 R 上的奇函数，故函数 f（x）在 R 上单调

20、递减， 则 axlnx11 在1，3上恒成立，即对任意 x1，3都成立， 令，则， 故函数 g（x）在1，3上单调递减， ， 故， 故选：D 【点评】本题考查函数奇偶性及单调性的综合运用，考查利用导数研究函数在闭区间上 的最值，难度不大 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分 ）分 ） 13 （5 分）曲线 y在 xe 处的切线方程为 【分析】求出曲线的导函数，把切点的横坐标代入即可求出切线的斜率，然后根据斜率 和切点坐标写出切线方程即可 【解答】解：y， y， xe 时，y0，y， 曲线 y在 xe 处的切线方程为 故答案为： 【点

21、评】本题考查学生会根据导函数求切线的斜率，会根据斜率和切点写出切线方程， 属于基础题 14 （5 分） 九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题： “今有垣厚若干尺， 第 13 页（共 21 页） 两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿 几何？”题意是： “有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加 倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半 ”如果一墙厚 10 尺，请问两只老鼠最少在 第 4 天相遇 【分析】由题意，根据等比数列的前 n 项和，可将 n 天后两只老鼠打洞之和表示为 n 的 形式，由墙厚 10 尺求出结果 【解答】解：依

22、题意，n 天后两只老鼠打洞之和： Sn+2n+1， 墙厚 10 尺， 2n+110， 解得 n4 故答案为：4 【点评】本题考查了等比数列的前 n 项和，考查了指数不等式，主要考查计算能力，属 于基础题 15 （5 分）已知函数 f（x）2sin（x+） （0）满足，f（）0，且 f（x） 在区间上单调，则 的最大值为 【分析】由给出的函数值，判断和周期的关系，求出等式，再由单调性，找出周期的取 值范围，合并条件求出，找出最大值 【解答】解：， ，kN， ，kN， 又f（x）在区间上单调， ， ，12， ，kN， 第 14 页（共 21 页） k，kN， k8 时， 最大， 故答案为： 【点评

23、】本题考查三角函数周期，从题中给出的转化成和周期有关的条件，属于中等题 16 （5 分）已知函数 f（x）x22x+3a，g（x）若对x10，3，总x22，3， 使得 f（x1）g（x2）成立，则实数 a 的取值集合为 【分析】依题意，函数 f（x）在0，3的最大值小于等于函数 g（x）在2，3的最大值， 求出两函数在给定区间的最大值，建立不等式求解即可 【解答】解：由题意，函数 f（x）在0，3的最大值小于等于函数 g（x）在2，3的最大 值， 函数 g（x）在2，3上为减函数，故其最大值为 g（2）2， 函数 f（x）的对称轴为 x1，其在0，1上为减函数，在（1，3上为增函数，故其最大

24、值为 f（x）3a+3， 则 3a+32，解得 故答案为： 【点评】本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键在于把题干的文字语言转化为数学 符号语言，属于基础题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分 ）分 ） 17 （10 分）已知数列an中，an+1an2 且 a1+a2+a39， （1）求an的通项公式； （2）求的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）由题意可得等差数列的公差为 2，运用等差数列的通项公式解方程可得首项 为 1，进而得到所求通项公式； （2）运用数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和 【解答】解： （1）an+1a

25、n2，等差数列an的公差为 2， a1+a2+a3a1+（a1+2）+（a1+22）3a1+69，解得 a11， 因此 an1+2（n1）2n1； 第 15 页（共 21 页） （2）， 前 n 项和 Sn（1+3+5+2n1）+（2+4+2n） ， 因此 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和 数列的分组求和，化简运算能力，属于基础题 18 （12 分）如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ADC90，CDAB，AB2，ADCD 1将ADC 沿 AC 折起，使平面 ADC平面 ABC，得到几何体 DABC，如图 2 所示 （1）求证：BC平面 ACD； （

26、2）求几何体 DABC 的体积 【分析】 （）解法一：由题中数量关系和勾股定理，得出 ACBC，再证 BC 垂直与平 面 ACD 中的一条直线即可，ADC 是等腰 Rt，底边上的中线 OD 垂直底边，由面面 垂直的性质得 OD平面 ABC，所以 ODBC，从而证得 BC平面 ACD； 解法二：证得 ACBC 后，由面面垂直，得线面垂直，即证 （） ，由高和底面积，求得三棱锥 BACD 的体积即是几何体 DABC 的体积 【解答】证明： （1） （解法一） ：在图 1 中，由题意知，ACBC2， AC2+BC2AB2，ACBC 取 AC 中点 O，连接 DO，则 DOAC，又平面 ADC平面 A

27、BC， 且平面 ADC平面 ABCAC，DO平面 ACD，从而 OD平面 ABC， ODBC 又 ACBC，ACODO， BC平面 ACD （解法二） ：在图 1 中，由题意，得 ACBC2， 第 16 页（共 21 页） AC2+BC2AB2，ACBC 平面 ADC平面 ABC，平面 ADC平面 ABCAC，BC面 ABC， BC平面 ACD 解： （2）由（1）知，BC 为三棱锥 BACD 的高， 且 BC2，SACD222， 三棱锥 BACD 的体积为：， 由等积性知几何体 DABC 的体积为： 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置

28、关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考 查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题 19 （12 分）已知函数 （1）求函数 f（x）的单调递增区间； （2）ABC 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若，b1，c，且 ab，试求角 B 和角 C 【分析】 （1）将 f（x）解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函 数值化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数 的递增区间为2k，2k+，xZ 列出关于 x 的不等式，求出不等式的解集即可 得到 f（x）的递增区间； （2）由（1）确定的 f（x）解析式，及 f（），

29、求出 sin（B）的值，由 B 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出 B 的度数，再由 b 与 c 的值，利用正弦 定理求出 sinC 的值，由 C 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出 C 的度数，由 第 17 页（共 21 页） a 大于 b 得到 A 大于 B，检验后即可得到满足题意 B 和 C 的度数 【解答】 解： （1） f （x） cos （2x） cos2xsin2xcos2xsin （2x） ， 令 2k2x2k+，xZ， 解得：kxk+，xZ， 则函数 f（x）的递增区间为k，k+，xZ； （2）f（B）sin（B）， sin（B）， 0B， B， B，即 B，

30、 又 b1，c， 由正弦定理，得：sinC， C 为三角形的内角， C或， 当 C时，A；当 C时，A（不合题意，舍去） ， 则 B，C 【点评】本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值，两角和与 差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，特殊角的三角函数值，正弦定理等知识的综合 应用，考查了转化思想，属于中档题 20 （12 分） 中华人民共和国道路交通安全法第 47 条的相关规定：机动车行经人行横道 时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线” ， 中 华人民共和国道路交通安全法第 90 条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣 3 分，罚款 50 元的

31、处罚 （）交警从这 5 个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了 50 人，调查驾驶员不“礼让 斑马线”行为与驾龄的关系，得到如表列联表：能否据此判断有 97.5%的把握认为“礼 让斑马线”行为与驾龄有关？ 第 18 页（共 21 页） 不礼让斑马线 礼让斑马线 合计 驾龄不超过 1 年 22 8 30 驾龄 1 年以上 8 12 20 合计 30 20 50 （）如图是某市一主干路口监控设备所抓拍的 5 个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为 的折线图： 请结合图形和所给数据求违章驾驶员人数 y 与月份 x 之间的回归直线方程，并 预测该路口 7 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数 附注：参考数据：

32、， 参考公式： ， ，（其 中 na+b+c+d） P（K2k） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【分析】 （I）由列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论； （II）利用所给数据计算 、 ，求出回归系数，写出回归方程， 利用回归方程计算 x7 时的预测值即可 【解答】解： （I）由列联表中数据，计算 ， 由此能判断有 97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关； 第 19 页（共 21 页） （II）利用所给数据，计算 （1+2+3+4+5）

33、3， 100； 8.5， 100（8.5）3125.5； y 与 x 之间的回归直线方程为； 当 x7 时， 即预测该路口 7 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员有 66 人 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的问题，也考查了线性回归方程计算问题，是 基础题 21 （12 分） 已知椭圆的左、 右焦点为 F1、 F2， 若圆 Q 方程，且圆心 Q 在椭圆上 （）求椭圆 C1的方程； （）已知直线交椭圆 C1于 A、B 两点，过直线 l1上一动点 P 作与 l1 垂直的直线 l2交圆 Q 于 C、D 两点，M 为弦 CD 中点，MAB 的面积是否为定值？若为 定值，求出此定值；若不为定值，说明你

34、的理由 【分析】 （）由题意，焦距及椭圆过的点的坐标和 a，b，b 之间的关系求出椭圆的方程； （）将直线 l1与椭圆联立，求出弦长 AB，由题意得 MQAB，所以 SMABSQAB， 求出 Q 到 AB 距离，然后求出面积即可 第 20 页（共 21 页） 【解答】解： （）由题意可知：，； 2a|QF1|+|QF2|4a2，b2a2c22， 椭圆 C1的方程为； （）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由 消去 y，得， ， M 为线段 CD 中点，MQCD， 又l1l2，MQAB，SMABSQAB， 又点 Q 到 l1的距离， 所以面积为定值 【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属

35、于中难题 22 （12 分）已知函数 f（x）axlnx1（aR） （1）讨论 f（x）的单调性并指出相应单调区间； （2） 若， 设 x1， x2（x1x2） 是函数 g （x） 的两个极值点， 若， 且 g（x1）g（x2）k 恒成立，求实数 k 的取值范围 【分析】 （1）求出函数的导数，通过 a 与 0 的大小比较，判断导函数的符号，判断函数 的单调性求出单调区间 （2） ）求出 g（x），由 g（x）0 得 x2（a+1）x+1 0，推出 x1+x2a+1，x1x21，x2，利用 g（x1）g（x2） ，构造函数设 h（x） 2lnx，求和函数的最小值，转化求解 k 的范围即可 【解

36、答】解： （1）由 f（x）axlnx1，x（0，+） ，则 f（x）a， 当 a0 时，则 f（x）0，故 f（x）在（0，+）上单调递减； 第 21 页（共 21 页） 当 a0 时，令 f（x）0x，所以 f（x）在上单调递减，在 上单调递增 综上所述：当 a0 时，f（x）在（0，+）上单调递减； 当 a0 时，f（x）在上单调递减，在上单调递增 （2）g（x）lnx+（a+1）x，g（x）， 由 g（x）0 得 x2（a+1）x+10， x1+x2a+1，x1x21，x2， a，解得 0x1， g（x1）g（x2）ln， 设 h（x）2lnx， 则 h（x）0， h（x）在上单调递减； 当 x1时，2ln2， k2ln2，即所求 k 的取值范围为： （， 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及构造法求解函数的二次导数， 函数的最小值的求法，考查分类讨论思想的应用，是难题