百校联盟2020届高三5月教育教学质量监测考试（全国Ⅰ卷）数学试卷（文科）含答案解析

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1、2020 年高考数学模拟试卷（文科）（年高考数学模拟试卷（文科）（5 月份）（全国卷）月份）（全国卷） 一、选择题（共 12 小题）. 1已知全集 UR，Ax|（x+1）（x2）0，Bx|2x2，则（UA）B（ ） Ax|1x1 Bx|0x1 Cx|1x1 Dx|x1 2已知 i 为虚数单位，复数 的共轭复数为（ ） A1+i B1i C1+i D1i 3已知向量 （2，m）， （1，2）， （2 ） 则实数 m 的值为（ ） A1 B C D1 42020 年 1 月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励、 排班制度、激励措施、工作环境、人际关系、晋升渠道在确定各项

2、指标权重结果后， 进得而得到指标重要性分所象限图（如图）若客户服务中心从中任意抽取不同的两项 进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为（ ） A B C D 52020 年前为了支授期北省对新冠病毒肺炎的治疗，某市卫健要考在要本市委派医疗队的 人员时， 有六个人员尚未确定， 这大个人分别是呼吸科主治医师甲， 呼吸科主治医师乙， 护士丙、护士丁，影像民师小李和传料医小周综合考虑各种因素： （1）甲和乙至少要参加一个； （2）如果丙不能参加或丁不能参加，则甲也不能参加； （3）如果丙不能参加，那么小周也不能参加； （4）只有小李参加，乙之才能参加 卫健委最终定不让小李参加医疗队，由此可以推出（ ）

3、 A无法确定小周是否参加医庁队 B甲没参加医疗队 C无法确定两名护护士是否参医疗队 D乙参加了医疗队 6已知函数 图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的 倍后，得到的函数 在0，2上恰有 5 个不同的 x 值，使其取到最值，则正实数 的取值范围是（ ） A ， B ， C ， D ， 7已知定义在 R 上的奇函数 f（x）exkex+2sinx，则 ， ， 的大小关系为（ ） Acba Babc Ccab Dacb 8已知 O 为等腰直角三角形 POD 的直角顶点，以 OP 为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O上的弦， COD为等边三角形， 则异面直线OC与PD所成角的余弦值为 （ ） A

4、 B C D 9已知椭圆 C1： 的左，右焦点分别为 F1，F2，抛物线 ： 的 准线 l 过点 F1，设 P 是直线 l 与椭圆 C1的交点，Q 是线段 PF2与抛物线 C2的一个交点， 则|QF2|（ ） A B C D 10函数 f（x）2+ksinx 在（0，2）处的切线 l 也是函数 yx3x23x1 图象的一条切 线，则 k（ ） A1 B1 C2 D2 11若 ，sin+cosa，sin+cosb，则以下结论正确的个数是（ ） ab1；ab2；2ab 的最大值为 ；2ab 的最大值为 A0 B1 C2 D3 12设双曲线 ： ， 的左，右焦点分别为 F1、F2，过 F1的直线 l

5、 分 别与双曲线左右两支交于 M，N 两点，以 MN 为直径的圆过 F2，且 2， 则直线 l 的斜率为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 132020 年 2 月 17 开始，为实现“停课不停学”，张老师每天晚上 20：0520：50 时间 通过班群直播的形式为学生们在线答疑，某天一位高三学生在 19：00 至 20：30 之间的 某个时刻加入群聊，则他等待直播的时间不超过 30 分钟的概率是 14已知函数 关于 x1 对称，则 f（2x2）f（0）的解集为 15已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 周长为 5，bcosC（2ac）c

6、osB， 则B ，若 b2，则ABC 的面积为 16在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好 多器都做成六棱形和八棱形， 数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒， 底面边长为 6cm， 高为 18cm（底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为 cm 的圆铁棒 l（粗细忽略不计） 斜放在笔筒内部，l 的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱 上一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口， 球面又恰好接触水面，则球的表面积为 cm2 三解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤 17已知公差不为零的等差数列an的前 n 项和

7、 Sn，S315，a1，a4，a13成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）求数列 的前 n 项和 Tn大于 2020 的最小自然数 n 18如图已知 RtPCD、PDCD，A，B 分別为 PD，PC 的中点 PD2DC2，将PAB 沿 AB 折起，得到四棱锥 PABCD，E 为 PD 的中点 （1）证明：PD平面 ABE； （2）当正视图方向与向量 的方向相同时，PABCD 的正视图的面积为 ，求四棱锥 PABCD 的体积 192020 年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现 有 A，B 两款车型，根据以这往这两种租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿

8、命频数 表如表： 使用寿命年数 5 年 6 7 年 8 年 总计 A 型出租车（辆） 10 20 45 25 100 B 型出租车（辆） 15 35 40 10 100 （1）填写下表，并判断是否有 99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？ 使用秀命不高于 6 年 使用寿不低于 7 年 总计 A 型 B 型 总计 （2） 司机师傅小李准备在一辆开了 4 年的 A 型车和一辆开了 4 年的 B 型车中选择、 为了 尽最大可能实现 3 年内（含 3 年）不换车，试通过计算说明，他应如何选择 参考公式： ，其中 na+b+c+d 参考数据： p（K2k0） 0.05 0.010 0.001

9、 k0 3.841 6.635 10.828 20已知椭圆 ： 与过其右焦点 F（1，0）的直线交于不同的两点 A， B，线段 AB 的中点为 D，且直线 l 与直线 OD 的斜率之积为 （1）求 C 的方程； （2）设椭圆的左顶点为 M，kMA，kMB如分别表示直线 MA，MB 的斜率，求证 21已知函数 f（x）xlnx，函数 g（x）kxcosx 在点 ， 处的切线平行于 x 轴 （1）求函数 f（x）的极值； （2）讨论函数 F（x）g（x）f（x）的零点的个数 请考生从第 22、 23 题中任选一题作答， 并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑， 按所选涂题号进行评分；多涂

10、、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进 行评分，选修 4 一 4；坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1的参数方程 （k 为参数），以 坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 （1）求曲线 C1的普通方程； （2）过曲线 C2上一点 P 作直线 l 与曲线 C1交于 A，B 两点，中点为 D， ， 求|PD|的最小值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x） （x+1） 2 （1）求 f（x）+|f（x）9|的最小值 M； （2）若正实数 a，b，c 满足了 f（a）+f（b）+f（c）M，求证：a+b

11、+c6 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个项中，只有一项是符合 题目要求的 1已知全集 UR，Ax|（x+1）（x2）0，Bx|2x2，则（UA）B（ ） Ax|1x1 Bx|0x1 Cx|1x1 Dx|x1 【分析】先解出关于集合 A，B 的不等式，求出 A 的补集，从而求出其补集与 B 的交集 解：因为UAx|（x+1）（x2）0x|1x2， Bx|2x2x|x1， （UA）Bx|1x1； 故选：C 【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合 A，B 是解决本题的关键 2已知 i 为虚数单位，复数 的共轭复数为（ ） A1+i B1i

12、C1+i D1i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案 解： ， ， 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3已知向量 （2，m）， （1，2）， （2 ） 则实数 m 的值为（ ） A1 B C D1 【分析】先根据平面向量的线性坐标运算法则表示出 2 ，再根据数量积的坐标运算 法则表示出 （2 ），从而得到关于 m 的方程，解之即可 解： （2，m）， （1，2）， ， ， （2 ）6+m（2m+2） ，即 ，解得 ， 故选：B 【点评】本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键， 考查学生的

13、运算能力，属于基础题 42020 年 1 月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励、 排班制度、激励措施、工作环境、人际关系、晋升渠道在确定各项指标权重结果后， 进得而得到指标重要性分所象限图（如图）若客户服务中心从中任意抽取不同的两项 进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为（ ） A B C D 【分析】由图可知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项， 设为 A，B，C，其余三项设为 a，b，c，从中任选两项，利用列举法能求出这两项来自 影响稍弱区的概率 解：某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标： 绩效奖励、排班制度、激励措施、

14、工作环境、人际关系、晋升渠道 由图可知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项， 设为 A，B，C，其余三项设为 a，b，c， 从中任选两项的结果为 15 种，分别为： （A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（A，c），（B，C），（B，a），（B， b），（B，c），（C，a），（C，b），（C，c），（a，b），（a，c），（b，c）， 这 2 项来自影响稍弱区的结果为： （A，B），（A，C），（B，C），共 3 种， 这两项来自影响稍弱区的概率为 P 故选：A 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 5202

15、0 年前为了支授期北省对新冠病毒肺炎的治疗，某市卫健要考在要本市委派医疗队的 人员时， 有六个人员尚未确定， 这大个人分别是呼吸科主治医师甲， 呼吸科主治医师乙， 护士丙、护士丁，影像民师小李和传料医小周综合考虑各种因素： （1）甲和乙至少要参加一个； （2）如果丙不能参加或丁不能参加，则甲也不能参加； （3）如果丙不能参加，那么小周也不能参加； （4）只有小李参加，乙之才能参加 卫健委最终定不让小李参加医疗队，由此可以推出（ ） A无法确定小周是否参加医庁队 B甲没参加医疗队 C无法确定两名护护士是否参医疗队 D乙参加了医疗队 【分析】根据小李不参加，代入（4）得到乙不能参加，再依题意代入（

16、1），进而推得 甲丙丁都参加，即可得到答案 解：因为小李不参加，故由（4）可得乙不参加，则根据（1）甲必须参加， 而根据（2）甲参加，则丙和丁都参加， 但是无法确认小周是否参加， 故选：A 【点评】本题考查学生合情推理的能力，小李不参加是突破口，依次代入条件判断，属 于中档题 6已知函数 图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的 倍后，得到的函数 在0，2上恰有 5 个不同的 x 值，使其取到最值，则正实数 的取值范围是（ ） A ， B ， C ， D ， 【分析】 由题意利用正弦函数的图象和性质， 可得 2 ， ） ， 由此可得结果 解：函数 图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的 倍后， 得到的函

17、数为 ysin（x ）在0，2上恰有 5 个不同的 x 值，使其取到最值； x ，2 ， 2 ， ）， 则正实数 ， ）， 故选：A 【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题 7已知定义在 R 上的奇函数 f（x）exkex+2sinx，则 ， ， 的大小关系为（ ） Acba Babc Ccab Dacb 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得 f（0）e0ke0+2sin01k0，解可得 k 的 值，即可得函数的解析式，求出函数的导数，分析可得函数 f（x）为 R 上的增函数，由 对数的运算性质可得 log2 log4 log8 ，结合函数的单调性分析可得答案 解：根据题意，f（

18、x）为定义在 R 上的奇函数，则 f（0）e0ke0+2sin01k0，解 可得 k1， 即 f（x）exex+2sinx， 其导数 f（x）ex+ex+2cosx2 2cosx2+2cosx0，则函数 f（x）为 R 上 的增函数， 又由 log4 log2 log2 ，log8 log2 log2 ， 则有 log2 log4 log8 ， 又由函数 f（x）为 R 上的增函数， 则 abc； 故选：B 【点评】 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用， 注意利用导数分析函数的单调性， 属于基础题 8已知 O 为等腰直角三角形 POD 的直角顶点，以 OP 为旋转轴旋转一周得到几何体，CD

19、 是底面圆O上的弦， COD为等边三角形， 则异面直线OC与PD所成角的余弦值为 （ ） A B C D 【分析】设 OPr，过点 D 作 OC 的平行线交与 CD 于行的半径于点 E，则 OEOC CDODr，PCPD ，PDE（或其补角）为其异面直线 OC 与 PD 所成角，由 此能求出异面直线 OC 与 PD 所成角的余弦值 解：设 OPr，过点 D 作 OC 的平行线交与 CD 于行的半径于点 E， 则 OEOCCDODr，PCPD ， PDE（或其补角）为其异面直线 OC 与 PD 所成角， 在PDE 中，PEPO ，DEr， cosPDE 故选：B 【点评】本题考查异面直线所成角的

20、余弦值的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中 线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 9已知椭圆 C1： 的左，右焦点分别为 F1，F2，抛物线 ： 的 准线 l 过点 F1，设 P 是直线 l 与椭圆 C1的交点，Q 是线段 PF2与抛物线 C2的一个交点， 则|QF2|（ ） A B C D 【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，可得抛物线方程，作出图形，利用抛物线定义及三 角形相似列式求解|QF2|的值 解：由题意，F1（2，0），则抛物线方程为 y28x 计算可得|PF1| ，|PF2|2a 过 Q 作 QM直线 l 与 M，由抛物线的定义知，|QF2|QM| ，

21、 ， 解得：|MQ|12（32 ） |QF2|MQ|12（32 ） 故选：A 【点评】本题考查抛物线与椭圆综合，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 10函数 f（x）2+ksinx 在（0，2）处的切线 l 也是函数 yx3x23x1 图象的一条切 线，则 k（ ） A1 B1 C2 D2 【分析】分别求得 f（x）2+ksinx 和 yx3x23x1 的导数，可得 f（x）在（0，2） 处的切线的斜率和方程，再设 l 与函数 yx3x23x1 图象的相切的切点为（m，n）， 可得 k，m，n 的方程组，解方程可得所求值 解：函数 f（x）2+ksinx 的导数为 f（x）kcosx， yx

22、3x23x1 的导数为 y3x22x3， 可得 f（x）2+ksinx 在（0，2）处的切线的斜率为 k， 切线的方程为 ykx+2， 设 l 与函数 yx3x23x1 图象的相切的切点为（m，n）， 可得 k3m22m3，nm3m23m1km+2， 解得 m1，n0，k2 故选：C 【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和 运算能力，属于中档题 11若 ，sin+cosa，sin+cosb，则以下结论正确的个数是（ ） ab1；ab2；2ab 的最大值为 ；2ab 的最大值为 A0 B1 C2 D3 【分析】 直接利用三角函数关系式的恒等变换和不等式的性质

23、的应用求出a和b的范围， 进一步利用线性规划的知识求出结论 解：asin+cos ，bsin+cos ， 由于 ，所以 ， 所以 ， 所以 则：1ab2 故正确 由 ，构造平面区域如图所示： 令 2abt，可得 b2at 由 ，可得 A（ ， ）， 当直线 b2at 经过点 A 时，t 取得最大值 t2 故正确 故选：D 【点评】本题考查了三角函数的关系式的变换、正弦型函数的性质的应用、线性规划应 用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 12设双曲线 ： ， 的左，右焦点分别为 F1、F2，过 F1的直线 l 分 别与双曲线左右两支交于 M，N 两点，以 MN 为直径的圆

24、过 F2，且 2， 则直线 l 的斜率为（ ） A B C D 【分析】由题意可得 MF2NF2，且|MF2|NF2|，设|MF2|NF2|m，则|MN| m，运 用双曲线的定义和直角三角形的性质和勾股定理，结合直角三角形的锐角三角函数的定 义，即可判断正确结论 解：由 MN 为直径的圆过 F2，且 ， 可得 MF2NF2，且|MF2|NF2|，设|MF2|NF2|m，则|MN| m， 由|MF2|MF1|2a，|NF2|NF1|2a，两式相减可得|NF1|MF1|MN|4a，即有 m 2 a， 设 H 为 MN 的中点，在直角三角形 HF1F2中， 可得 4c24a2+（2a+2 a2a）2

25、，化为 c23a2，即 c a， 因为|HF2 | |MN|2a，所以|HF1| 2 ， 所以直线 l 的斜率为 ， 故选：B 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查向量的数量积的定义和性质，同时 考查直角三角形的勾股定理，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 132020 年 2 月 17 开始，为实现“停课不停学”，张老师每天晚上 20：0520：50 时间 通过班群直播的形式为学生们在线答疑，某天一位高三学生在 19：00 至 20：30 之间的 某个时刻加入群聊，则他等待直播的时间不超过 30 分钟的概率是 【分析】求出符合条

26、件的区间范围，根据长度比即可求解结论 解：由题意可得：该学生在 19：00 至 20：30 之间的某个时刻加入群聊，其时间长度为 90 分钟， 等待直播的时间不超过 30 分钟的，需在 19：35 至 20：30 分之间的任意时刻加入，区间 长度为 55； 由测度比为长度比可得所求概率为： 故答案为： 【点评】本题主要考查几何概型的长度比，属于基础题目 14已知函数 关于 x1 对称，则 f（2x2）f（0）的解集为 1，2 【分析】 先求出 a 的值， 可得函数的解析式， 再根据图象的对称性以及 f （2x2） f （0） ， 求出 x 的范围 解：函数 关于 x1 对称， a1，f（x）

27、（0，1， 则由 f（2x2）f（0） ， 结合图象可得 02x22，求得 1x2， 故答案为：1，2 【点评】本题主要考查指数不等式的性质，函数图象的对称性，属于中档题 15已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 周长为 5，bcosC（2ac）cosB， 则B ，若 b2，则ABC 的面积为 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，结合 sinA0，可得 cosB ，结合范围 B（0，），可求 B ，进而根据余弦定理可求 ac 的值，根据三角形的面积公式即可 求解 解：bcosC（2ac）cosB， 由正弦定理可得： sinBcosC （2sinAsinC） cosB，

28、 可得 sinBcosC+cosBsinC2sinAcosB， sin（B+C）2sinAcosB， sin（B+C）sin（A）sinA，且 sinA0， 可得 cosB ， B（0，）， B ， 又b2，a+c3， a2+c22accosBb2， （a+c）23ac4， ac ， SABC acsinB 故答案为： ， 【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积 公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 16在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好 多器都做成六棱形和八棱形， 数学李老师有一个正六

29、棱柱形状的笔筒， 底面边长为 6cm， 高为 18cm（底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为 cm 的圆铁棒 l（粗细忽略不计） 斜放在笔筒内部，l 的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱 上一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口， 球面又恰好接触水面，则球的表面积为 cm2 【分析】根据铁棒与底面六边形的最长对角线、相对棱的部分长 h 构成直角三角形求出 容器内水面的高度 h， 再利用球的半径和球被六棱柱体上底面截面圆的半径和球心到截面 圆的距离构成直角三角形求出球的半径，即可计算球的表面积 解：如图所示， 六棱柱笔筒的边长为 6cm，高

30、为 18cm， 铁棒与底面六边形的最长对角线、相対棱的部分长 h 构成直角三角形， 所以 2 ，解得 h14， 所以容器内水面的高度为 14cm， 设球的半径为 R， 则球被六棱柱体上面截得圆的半径为 r 3 ， 球心到截面圆 的距离为 R4， 所以 R2（R4）2 ，解得 R ； 所以球的表面积为 4 （cm2） 故答案为： 【点评】本题考查了球与六棱柱体的结构特征与计算问题，是中档题 三解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤 17已知公差不为零的等差数列an的前 n 项和 Sn，S315，a1，a4，a13成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）求数列 的前 n 项和 Tn大于

31、2020 的最小自然数 n 【分析】（1）设等差数列an的公差为 d（d0），由题设条件列出 d 的方程，解出 d， a1，求出通项公式； （2）由（1）求得 a ，再使用分组求和求出 Tn，研究其单调性，求出满足 Tn大于 2020 的最小自然数 n 解：（1）设等差数列an的公差为 d（d0），则 S33a1 15， a1+d5，a45+2d，a135+11d， a1，a4，a13成等比数列， （5+2d）2（5d）（5+11d），解得 d0（舍）或 d2， 故 a15d3 所以 an3+（n1）22n+1； （2）根据（1）知 a 2（2 nn）+12n+1（2n1）， Tn（22+23

32、+2 n+1）1+3+（2n1） 2 n+2 n24 2nn0， a 2（2 nn）+10， Tn单调递增， 又T92020，T102020， 所以 Tn大于 2020 的最小自然数 n 为 10 【点评】本题主要考查等差数列基本量的运算及数列的分组求和，还有前 n 项和的单调 性，属于中档题 18如图已知 RtPCD、PDCD，A，B 分別为 PD，PC 的中点 PD2DC2，将PAB 沿 AB 折起，得到四棱锥 PABCD，E 为 PD 的中点 （1）证明：PD平面 ABE； （2）当正视图方向与向量 的方向相同时，PABCD 的正视图的面积为 ，求四棱锥 PABCD 的体积 【分析】 （

33、1）由平面图形可知，ABPA，ABAD，则 AB平面 PAD，得 ABP D再由已知在可得 AEPD由直线与平面垂直的判定可得 PD平面 ABE； （2） PABCD 的正视图与PAD 全等， 求出PAD 的面积， 得到PAD120 或 60再由（1）可知，平面 ABCD平面 PAD，得 P在平面 ABCD 内的射影落 在直线 AD 上，求得 P到平面 ABCD 的距离，由棱锥体积公式可得四棱锥 PABCD 的体积 【解答】（1）证明：由平面图形可知，ABPA，ABAD， 又 PAADA，AB平面 PAD，则 ABPD E 为 PD 的中点，PAAD，AEPD AEABA，PD平面 ABE；

34、（2）解：PABCD 的正视图与PAD 全等， ， sin ，即PAD120或 60 由（1）可知，平面 ABCD平面 PAD， P在平面 ABCD 内的射影落在直线 AD 上， 得点 P到平面 ABCD 的距离 d 四棱锥 PABCD 的体积 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练 了多面体体积的求法，是中档题 192020 年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现 有 A，B 两款车型，根据以这往这两种租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数 表如表： 使用寿命年数 5 年 6 7 年 8 年 总计 A 型出租车（辆）

35、 10 20 45 25 100 B 型出租车（辆） 15 35 40 10 100 （1）填写下表，并判断是否有 99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？ 使用秀命不高于 6 年 使用寿不低于 7 年 总计 A 型 B 型 总计 （2） 司机师傅小李准备在一辆开了 4 年的 A 型车和一辆开了 4 年的 B 型车中选择、 为了 尽最大可能实现 3 年内（含 3 年）不换车，试通过计算说明，他应如何选择 参考公式： ，其中 na+b+c+d 参考数据： p（K2k0） 0.05 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 【分析】（1）根据题目所给的数据填写

36、22 列联表，计算 K 的观测值 K2，对照题目中 的表格，得出统计结论； （2）记事件 A1，A2分别表示小李选择 A 型出租车和 B 型出租车时，3 年内（含 3 年） 换车，分别计算出 P（A1）和 P（A2）的值，再比较即可 解：（1）根据题目所给数据得到如下 22 的列联表： 使用秀命不高于 6 年 使用寿不低于 7 年 总计 A 型 30 70 100 B 型 50 50 100 总计 80 120 200 由列联表可知：K2 8.336.635， 所以有 99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关； （2）记事件 A1，A2分别表示小李选择 A 型出租车和 B 型出租车时，

37、3 年内（含 3 年） 换车， 由表知 P（A1 ） ，P（A2 ） 0.90， 因为 P（A1）P（A2），所以小李应选择 A 型出租车 【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题 目 20已知椭圆 ： 与过其右焦点 F（1，0）的直线交于不同的两点 A， B，线段 AB 的中点为 D，且直线 l 与直线 OD 的斜率之积为 （1）求 C 的方程； （2）设椭圆的左顶点为 M，kMA，kMB如分别表示直线 MA，MB 的斜率，求证 【分析】（1）设 A，B 的坐标，代入椭圆中，两式相减可得直线 AB，OD 的斜率之积， 由题意可得 a，b 的关系，再由右焦点

38、的坐标及 a，b，c 之间的关系求出 a，b 的值，求 出椭圆的方程； （2）由（1）可得 M 的坐标，将直线 l 的方程代入椭圆的方程，求出两根之和及两根之 积，进而求出直线 AM，BM 的斜率之和，再由直线 AB，OD 的斜率之积可证得 kAM+kBM kOD 解：（1）设 A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）， 将 点 A ， B 坐 标 代 入 椭 圆 的 方 程 两 式 相 减 0， 所以 kAB ， 因为 D 为 AB 的中点，所以 kOD ， 所以 kAB kOD ， 所以 ，又 a 2b21，解得：a24，b23， 所以椭圆 C 的方程为： 1； （2）由（1）

39、可得左顶点 M（2，0），由题意设直线 AB 的方程：xmy+1， 联立直线与椭圆的方程： 整理可得：（4+3m 2）y2+6my90， 所以 y1+y2 ，y1y2 ， 所以 kAM+kBM m， 因为 kAB kOD kOD ，所以 m kOD， 所以 kAM+kBM kOD 【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题 21已知函数 f（x）xlnx，函数 g（x）kxcosx 在点 ， 处的切线平行于 x 轴 （1）求函数 f（x）的极值； （2）讨论函数 F（x）g（x）f（x）的零点的个数 【分析】（1）利用函数 f（x）的导数判断函数的单调性，然后求出函数的极值；

40、（2）因为 F（x）xcosxxlnx，F（x）sinxlnx，设 h（x）sinxlnx，分类讨 论： （i）当 x（e，+）时，h（x）F（x）0，则 F（x）单调递减，此时可得 F（x） 在（e， ）上存在唯一零点，也即在（e，+）上存在唯一零点；（ii）当 x（ ，e 时，h（x）cosx 0，则 F（x）在（ ，e单调递减，此时 F（x）在（ ，e上恒大 于 0，无零点；（iii）当 x（0，1）时，h（x）cosx 0，所以 F（x）在（0，1） 上单调递减，此时 F（x）在（ ， 上存在唯一零点，即 F（x）在（0， 上存在唯一零 点 解：（1）因为函数 f（x）xlnx 的定义

41、域为（0，+）， 所以 f（x）lnx+1， 令 f（x）0，即 lnx+10，解得 0x ， 所以 f（x）的单调递减区间为（0， ）， 令 f（x）0，即 lnx+10，解得 x ， 所以 f（x）的单调递增区间为（ ，+）， 综上，f（x）的极小值为 f（ ） ，无极大值； （2）由 g（x）k+sinx，得 g（ ）k10，故 k1，所以 g（x）xcosx， 因为 F（x）xcosxxlnx，F（x）sinxlnx， 设 h（x）sinxlnx， （i）当 x（e，+）时，h（x）F（x）0，则 F（x）单调递减， 又 F（e）cose0，F（ ） （1ln ）0， 故 F（x）在（

42、e， ）上存在唯一零点，也即在（e，+）上存在唯一零点； （ii）当 x（ ，e时，h（x）cosx 0，则 F（x）在（ ，e单调递减， 因为 F（e）sinelnesine10，F（ ）1ln 0， 所以存在 x0（ ，e，使得 F（x0）0，且在（ ，x0）上 F（x）0，在（x0，e上 F （x）0， 所以 F（x0）为 F（x）在（ ，e上的最大值， 又因为 F（e）cose0，F（ ） （1ln ）0， 所以 F（x）在（ ，e上恒大于 0，无零点； （iii）当 x（0，1）时，h（x）cosx 0， 所以 F（x）在（0，1）上单调递减， 当 x1， 时，h（x）cosx ，

43、设 t（x）xcosx1，所以 t（x）cosxxsinxcosxsinx0， 所以 t（x）在1， 上单调递减， 所以 t（x）t（1）cos110，即 h（x）0， 所以 F（x）在（0， 上单调递减， 因为 F（ ）1ln 0，所以 F（x）在（0， 上单调递增， 因为 F（ ） （1ln ）0，F（ ） cos cos 0， 所以 F（x）在（ ， 上存在唯一零点，即 F（x）在（0， 上存在唯一零点， 综上，F（x）有且仅有 2 个零点 【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及单调性，考查分析问题解决 问题的能力 一、选择题 22在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C

44、1的参数方程 （k 为参数），以 坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 （1）求曲线 C1的普通方程； （2）过曲线 C2上一点 P 作直线 l 与曲线 C1交于 A，B 两点，中点为 D， ， 求|PD|的最小值 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换， 进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果 （2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果 解：（1）曲线 C1的参数方程 （k 为参数），整理得 ，又 ， 两式相除得： ，代入 ， 得到（x+1）2+y24（y2） （2）曲线 C2的极坐标方程为 根据 转换为直角坐标 方程为 xy40 设圆心 C1（1，0）到直线 l 的距离为 d， 则|AB| ，解得 d1 所以：|PD| ， 当|PC1|最小时，|PD|最小， 由于|PC1|的最小值为圆心 C1到直线 C2的距离 根据 ， 所以 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到 直线距离公式的应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力， 属于基础题型 选修 4-5：不等