2020年广东省湛江市高考文科数学试卷(二)含答案解析
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1、2020 年湛江市高考数学二模试卷(文科)年湛江市高考数学二模试卷(文科) 一、选择题(共 12 小题). 1已知集合 Ax|y ,Bx|x1,则 AB( ) A(1,+) B1,1) C(1,1 D(,1 2( 4i)i5( ) A 4i B4 i C4 i D 4i 3已知函数 f(x)ax2+2bx 的图象在点(1,f(1)处的切线方程为 y4x+3,则 ba ( ) A8 B20 C8 D20 4高二某班共有学生 45 人,学号依次为 1,2,3,45,现按学号用系统抽样的办法抽 取一个容量为 5 的样本,已知学号为 6,24,33 的学生在样本中,那么样本中还有两个 学生的学号应为(
2、 ) A15,42 B15,43 C14,42 D14,43 5已知 alg2,bln2,ce ,则( ) Aacb Babc Cbca Dbac 6下列图象为函数 y ,y ,y ,y 的部分图象,则按顺序对应关系 正确的是( ) A B C D 7我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理:“幂势既同,则积不 容异“意思是两个同高的几何体,如果在等高处的截面积都相等,那么这两个几何体 的体积相等现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件,若该圆锥的侧面展开图是 半径为 3 的圆的三分之一,则该几何体的体积为( ) A B C4 D 8执行如图所示的程序框图,若输出的 y3,则输
3、入的 x 的值为( ) A2 B2 C5 或2 D7 或2 9若双曲线 E: 1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x4) 2+y216 所截得的 弦长为 4,则 E 的离心率为( ) A2 B C D 10在ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,若 A ,c1,asinCbsinB,则 ABC 的面积为( ) A B C D 11 已知函数f (x) Acos (x+)(A0, 0, 0) 的图象的一个最高点为 ( , , 与之相邻的一个对称中心为 , , 将 f (x) 的图象向右平移 个单位长度得到函数 g (x) 的图象,则( ) Ag(x)为偶函数 Bg(x)的一个单调递
4、增区间为 , Cg(x)为奇函数 D函数 g(x)在 , 上有两个零点 12已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2,E 为 A1B1的中点,则三棱锥 EABC1的外 接球的表面积为( ) A50 B25 C D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13已知向量 (4,1), (m,3),若( ) ,则 m 14已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x)f(x),f(x+2)f(x),且 f(x) , , ,则 f(7) 15已知 (0,),sin+cos ,则 tan2 16已知抛物线 C:y22x,过点 E(a,0)的直
5、线 l 与 C 交于不同的两点 P(x1,y1),Q (x2,y2),且满足 y1y24,以 Q 为中点的线段的两端点分别为 M,N,其中 N 在 x 轴上,M 在 C 上,则 a |PM|的最小值为 三、 解答题: 本大题共5小题, 共70分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤.17 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22,23 题为选考题,考生根据要求作答.(一) 必考题:共 60 分. 17已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 Snn2+an1 (1)求an的通项公式; (2)设 bn ,求数列bn的前 n 项和 Tn 18如图,已知直三棱柱 ABCA1B1C1
6、,E,F 分别是棱 CC1,AB 的中点 (1)证明:CF平面 AEB1 (2)若 ACBCAA14,ACB90,求三棱锥 B1ECF 的体积 19冠状病毒是一个大型病毒家族,已知的有中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综 合征(SARS)等较严重的疾病,新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状 病毒新毒株, 某小区为进一步做好新型冠状病毒肺炎疫情知识的教育, 在小区内开展 “新 型冠状病毒防疫安全公益课”在线学习,在此之后组织了“新型冠状病毒防疫安全知识 竞赛”在线活动已知进入决赛的分别是甲、乙、丙、丁四位业主,决赛后四位业主相 应的名次为第 1,2,3,4 名,该小区为了提
7、高业主们的参与度和重视度,邀请小区内的 所有业主在比赛结束前对四位业主的名次进行预测,若预测完全正确将会获得礼品,现 用 a,b,c,d 表示某业主对甲、乙、 丙、丁四位业主的名次做出一种等可能的预测排列, 记 X|a1|+|b2|+|c3|+|d4| (1)求出(a,b,c,d)的所有可能情形; (2)若 X6 会有小礼品赠送,求该业主获得小礼品的概率, 20已知函数 f(x)ax2+blnx 在 x 处取得极小值 ln2 (1)求 f(x); (2)令函数 g(x)mx3lnx+2,若 f(x)g(x)对 x1,4恒成立,求 m 的取值范 围 21已知椭圆 C: 1(ab0)的离心率为 ,
8、点 M(a,0),N(0,b),O (0,0),且OMN 的面积为 1 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 A,B 是 x 轴上不同的两点,点 A(异于坐标原点)在椭圆 C 内,点 B 在椭圆 C 外 若过点B作斜率不为0的直线与C相交于P, Q两点, 且满足PAB+QAB180 证 明:点 A,B 的横坐标之积为定值 (二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第 一题计分.选修 4-4:坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原 点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系 (1)
9、设射线 l 的极坐标方程为 ,若射线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求 AB 的长; (2)设 M,N 是曲线 C 上的两点,若MON ,求OMN 的面积的最大值 选修 4-5;不等式选讲 23已知函数 f(x)|2x+4|2x2| (1)求不等式|f(x)|4 的解集; (2) 记 f (x) 的最大值为 m, 设 a, b, c0, 且 a+2b+3cm, 证明: 参考答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1已知集合 Ax|y ,Bx|x1,则 AB( ) A(1,+) B1,1) C(1,1 D
10、(,1 【分析】可以求出集合 A,然后进行交集的运算即可 解:Ax|x1,Bx|x1, AB(1,1 故选:C 【点评】本题考查了描述法、区间的定义,交集的运算,考查了计算能力,属于基础题 2( 4i)i5( ) A 4i B4 i C4 i D 4i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 解:( 4i)i5( 4i)i4 故选:C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查虚数单位 i 的运算性质,是基础题 3已知函数 f(x)ax2+2bx 的图象在点(1,f(1)处的切线方程为 y4x+3,则 ba ( ) A8 B20 C8 D20 【分析】求得 f(x)的导数,可得切线
11、的斜率和切点,由已知切线的方程,可得 a,b 的 方程组,解方程可得所求值 解:函数 f(x)ax2+2bx 的导数为 f(x)2ax+2b, 可得函数的图象在点(1,f(1)处的切线斜率为 2a+2b, 再由切线方程为 y4x+3,可得 2a+2b4,即 a+b2, 由 f(1)a+2b7, 解方程可得 a3,b5,所以 ba8 故选:C 【点评】本题考查导数的运用:求切线的方程,考查直线方程的运用,主要考查方程思 想和运算能力,属于基础题 4高二某班共有学生 45 人,学号依次为 1,2,3,45,现按学号用系统抽样的办法抽 取一个容量为 5 的样本,已知学号为 6,24,33 的学生在样
12、本中,那么样本中还有两个 学生的学号应为( ) A15,42 B15,43 C14,42 D14,43 【分析】根据系统抽样的定义,算出每组人数即组距,再利用第一组抽到的学号依次加 上组距即可求出所有抽得的学号 解:由题意可知,每组人数为 9,即组距为 9, 所以另外两个学生的学号为 6+915,和 33+942, 故选:A 【点评】本题主要考查了系统抽样,是基础题 5已知 alg2,bln2,ce ,则( ) Aacb Babc Cbca Dbac 【分析】利用换底公式可得 alg2 ,bln2 ,再利用对数函数的单调性 即可得出 解:alg2 ,bln2 ,ab1, 又 ce 1, abc
13、 故选:B 【点评】本题考查了换底公式、对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于 基础题 6下列图象为函数 y ,y ,y ,y 的部分图象,则按顺序对应关系 正确的是( ) A B C D 【分析】根据函数解析式及函数图象分别判断即可 解:根据奇偶性可知函数 对应的为图; 由 ,可知函数 对应的为图; 由 ,可知函数 , 对应的图分别为,; 故选:B 【点评】本题考查函数图象的运用,考查数形结合思想,属于基础题 7我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理:“幂势既同,则积不 容异“意思是两个同高的几何体,如果在等高处的截面积都相等,那么这两个几何体 的体积相等现有某几
14、何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件,若该圆锥的侧面展开图是 半径为 3 的圆的三分之一,则该几何体的体积为( ) A B C4 D 【分析】由已知列式求得圆锥的底面半径与高,代入圆锥体积公式求解 解:由题意可知,几何体的体积等于圆锥的体积, 圆锥的侧面展开图恰为一个半径为 3 的圆的三分之一, 圆锥的底面周长为 , 故圆锥的底面半径为 1,圆锥的高为 圆锥的体积 V 从而所求几何体的体积为 V 故选:A 【点评】本题考查祖暅原理的应用,考查圆锥体积的求法,正确理解题意是关键,是中 档题 8执行如图所示的程序框图,若输出的 y3,则输入的 x 的值为( ) A2 B2 C5 或2 D7 或2 【分
15、析】由程序框图分 x0 和 x0 时两种情况,分别求出输出 y 的值为 3 的 x 值,进 而可得答案 解:由程序框图可得:由 ,解得 x7; 由 ,解得 x2 综上,输入的 x 的值为 7 或2 故选:D 【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得 出正确的结论,是基础题 9若双曲线 E: 1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x4) 2+y216 所截得的 弦长为 4,则 E 的离心率为( ) A2 B C D 【分析】设双曲线的一条渐近线方程为 bx+ay0,由圆心到直线的距离公式及垂径定理 列式求解 解:设双曲线的一条渐近线方程为 bx+ay0,则圆心(4
16、,0)到该直线的距离 d , 由题意, ,即 ,得 E 的离心率为 2 故选:A 【点评】本题考查圆与双曲线的综合,考查点到直线距离公式的应用,是中档题 10在ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,若 A ,c1,asinCbsinB,则 ABC 的面积为( ) A B C D 【分析】利用正弦定理由已知可得 acb2,又 c1,可求 b2a,利用余弦定理可求 a (a1)1 ,解得 a,可求 b 的值,根据三角形的面积公式即可求解 解:asinCbsinB,acb2, c1,b2a, A , a2b2+c22bccosAa+1 ,整理可得 a(a1)1 , a1,b1, SA
17、BC bcsinA 故选:D 【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式在解三角形中的综合 应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题 11 已知函数f (x) Acos (x+)(A0, 0, 0) 的图象的一个最高点为 ( , , 与之相邻的一个对称中心为 , , 将 f (x) 的图象向右平移 个单位长度得到函数 g (x) 的图象,则( ) Ag(x)为偶函数 Bg(x)的一个单调递增区间为 , Cg(x)为奇函数 D函数 g(x)在 , 上有两个零点 【分析】先根据余弦函数的图象和性质求出 f(x)解析式,再根据图象的变换规律求得 g (x)的解析式,最后根据余弦函数
18、性质得出结论 解:由题可得: ( ) ; T2; f(x)3cos(2x+); 因为 f( )3cos(2( )+3 K; 0; ,f(x)3cos(2x ); g(x)3cos2(x ) 3cos(2x );是非奇非偶函数; 令+2k2x 2k kxk ,kz; 当 k0 时,g(x)的一个单调递增区间为: , ; 2x k x ,kz,函数 g(x)在0, 上只有一个零点 故选:B 【点评】 本题主要考查由函数yAsin (x+) 的部分图象求解析式, 函数yAsin (x+) 的图象变换规律,属于基础题 12已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2,E 为 A1B1的中点,则三棱
19、锥 EABC1的外 接球的表面积为( ) A50 B25 C D 【分析】由条件判断得到三棱锥 EABC1的外接球即四棱锥 EABC1D1的外接球,设四 棱锥 EABC1D1的外接球半径为 R,则 R2( ) 2+( R)2,解出 R 即可 解:如图,因为 A、B、C1、D1的四点共面, 所以三棱锥 EABC1的外接球即四棱锥 EABC1D1的外接球, 因为 ABC1D1为矩形,且 AB2,BC12 ,EAEBEC1ED1 , 四棱锥 EABC1D1的高为 , 设四棱锥 EABC1D1的外接球半径为 R,则 R2( ) 2+( R)2,解得 R , 则三棱锥的外接球表面积 S4( ) 2 ,
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