江苏省南通市如皋市2020年6月高三创新班数学试卷（含答案）

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1、一、填空题： 1. 某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是 14，10，8若这三天中至少有一 天开车上班的职工人数是 20，则这三天都开车上班的职工人数至多是     . 2. 已知 12 ,F F分别双曲线 222 33(0)xya a的左右焦点，是P抛物线 2 8yax与双曲 线的一个交点，若 12 12PFPF ，则抛物线的准线方程为     . 3. 已知实数, a b满足 22 1 82 ab ，当cos2 sinab取最大值时，tan_ 4. 已知等差数列 n a满足： 22 15 8,aa则 12 aa的最大值为_ 5. 已知函数

2、2 ( )(1) 2 xx a f xxeeax只有一个极值点，则实数a的取值范围为_ 6. 直线 2 :2(1)440,lmxmymmR l与定圆相切，则定圆方程为_ 7. 已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 左焦点为 F， 直线l经过点 F 且与双曲线的一条渐近 线垂直，直线l与双曲线的左支交于不同两点 AB，若2AFFB，则该双曲线的离心率为 _ 8. 用 I M表示函数sinyx在区间I上的最大值，若正数a满足 0, ,2 2 aaa MM，则a的 取值范围为_ 9. 四棱锥 P-ABCD 中，2,7PABCCDPBPCPDABAD，则四棱锥 P-ABCD 的体积为

3、_ 10. . 已 知 向 量, a b满 足|1, |3ab，若 存 在不 同的 实数 1212 ,(0) ， 使 得 3 iii cab且()()0 ii ca cb(1,2)i ，则 12 |cc的取值范围是_ 11. 已知 P 是椭圆 2 2 1 4 x y 上一动点，( 2,1), (2,1)AB，则cosAPB的最大值为_ 12. 已知|2 | | 1,| | 1aebee，则向量a b的最小值为_ 13. 三角形 ABC 面积为 S，若 222 1054cab，则 22 20 156 S ab 的最大值是_ 14.已知数列 n b为首项为 1 正项等比数列，数列 n c为公差为

4、1 等差数列，数列 n a满足 2 , nnn baa 1 2 nnn caa ，若 1 1,a ，则数列 n a前 50 项的和为_ 二、解答题： 15. 如图，在ABC中，abc， ，为A BC， ，所对的边，CDAB于 D，且 1 2 BDADc（1）求证：sin2sin()CAB； （2）若 3 cos 5 A ，求tanC的值 16. 如图， 在正三棱柱 111 ABCABC中， 1 2AAAC， D， E， F 分别为线段AC， 1 A A， 1 C B的中点. （1）证明：/EF平面ABC； （2）证明： 1 C E 平面BDE. 17动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为 4. （

5、1）若动圆圆心的轨迹为曲线，求曲线的方程；  （2）在曲线的对称轴上是否存在点，使过点的直线与曲线的交点满足 为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由. 18.某景区平面图如图 1所示，A BCED、 、 、 、为边界上的点已知边界CED是一段抛 物线，其余边界均为线段，且,3,8ADAB BCAB ADBCAB，抛物线顶点E 到AB的距离7OE 以AB所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，建立平面直角坐标 系 （1）求边界CED所在抛物线的解析式； （2） 如图 2， 该景区管理处欲在区域ABCED内围成一个矩形MNPQ场地， 使得点MN、 在边界AB上，点PQ、在边

6、界CED上，试确定点P的位置，使得矩形MNPQ的周长最 大，并求出最大周长 P(2,0)A y GH PCC C QQ l CST、 22 11 |QSQT Q 19. 设数列 n a的前 n 项和为 n S， 1 11 (1) ( ,0,1) 1 n n aq Sa qR aq q （1）求证：数列 n a是等比数列； （2）若 * qN，是否存在 q 的某些取值，使数列 n a中某一项能表示为另外三项之和？ 若能求出 q 的全部取值集合，若不能说明理由 （3）若qR，是否存在3,)q，使数列 n a中，某一项可以表示为另外三项之和？ 若存在指出 q 的一个取值，若不存在，说明理由 20.

7、已知函数与的图象在它们的交点处具有相同的 切线. （1）求的解析式； （2）若函数有两个极值点，且， 求的取值范围. ln0f xax a 2 1 2 yx e ,P s t f x 2 1g xxmf x 1 x 2 x 12 xx 2 1 g x x 2020 届江苏省如皋中学高三创新班数学试卷 202006 一、填空题： 1. 某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是 14，10，8若这三天中至少有一 天开车上班的职工人数是 20，则这三天都开车上班的职工人数至多是     .6 2. 已知 12 ,F F分别双曲线 222 33(0)xya a的左右焦点，是P

8、抛物线 2 8yax与双曲 线的一个交点，若 12 12PFPF ，则抛物线的准线方程为     .2x 3. 已知实数, a b满足 22 1 82 ab ，当cos2 sinab取最大值时，tan_1 4. 已知等差数列 n a满足： 22 15 8,aa则 12 aa的最大值为_5 5. 已知函数 2 ( )(1) 2 xx a f xxeeax只有一个极值点，则实数a的取值范围为_ 1 0 2 aa或 6. 直线 2 : 2(1)440,lmxmymmR l与定圆相切，则定圆方程为_ 22 (2)(2)4xy 7. 已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab

9、ab 左焦点为 F， 直线l经过点 F 且与双曲线的一条渐近 线垂直，直线l与双曲线的左支交于不同两点 AB，若2AFFB，则该双曲线的离心率为 _ 10 3 8. 用 I M表示函数sinyx在区间I上的最大值，若正数a满足 0, ,2 2 aaa MM，则a的 取值范围为_ 513 , 612 9. 四棱锥 P-ABCD 中，2,7PABCCDPBPCPDABAD，则四棱锥 P-ABCD 的体积为_3 10. . 已 知 向 量, a b满 足|1, |3ab，若 存 在不 同的 实数 1212 ,(0) ， 使 得 3 iii cab且()()0 ii ca cb(1,2)i ， 则 1

10、2 |cc的 取 值 范 围 是 _ 2,2 2)(2 2,2 3 11. 已知 P 是椭圆 2 2 1 4 x y 上一动点，( 2,1), (2,1)AB，则cosAPB的最大值为_ 62 4 12. 已知|2 | | 1,| | 1aebee，则向量a b的最小值为_ 1 4 13. 三角形 ABC 面积为 S，若 222 1054cab，则 22 20 156 S ab 的最大值是_ 1 6 14.已知数列 n b为首项为 1 正项等比数列，数列 n c为公差为 1 等差数列，数列 n a满足 2 , nnn baa 1 2 nnn caa ，若 1 1,a ，则数列 n a前 50

11、项的和为_1275 二、解答题： 15. 如图，在ABC中，abc， ，为A BC， ，所对的边，CDAB于 D，且 1 2 BDADc（1）求证：sin2sin()CAB； （2）若 3 cos 5 A ，求tanC的值 【详解】（1）证明：因 1 2 BDADc，     所以 1 coscos 2 aBbAc，  由正弦定理，得 1 sin cossin cossin 2 ABBAC，     所以sin2sinC AB   （2）解：由（1）得，sin2sinABAB，        

12、 所以sin coscos sin 2 sin coscos sinABABABAB，  化简，得3cos sinsin cosABAB           又 3 cos 5 A ，所以 4 sin 5 A ，所以 4 tan 3 A ， 4 tan 9 B ，   所以 44 tantan48 39 tantan 4 4 1 tan tan11 1 3 9 AB CAB AB 16. 如图， 在正三棱柱 111 ABCABC中， 1 2AAAC， D， E， F 分别为线段AC， 1 A A， 1 C B的中点

13、. （1）证明：/EF平面ABC； （2）证明： 1 C E 平面BDE. 【详解】 （1）如图，取BC的中点 G，连结AG，FG. 因为 F为 1 C B的中点，所以FG 11 1 , 2 C C FGC C. 在三棱柱 111 ABCABC中， 1 A A 111 ,CC AACC， 且 E 为 1 A A的中点，所以FG,EA FGEA. 所以四边形AEFG是平行四边形.所以EFAG. 因为EF 平面ABC，AG 平面ABC，所以EF平面ABC. （2）因为在正三棱柱 111 ABCABC中， 1 A A平面ABC， BD 平面ABC，所以 1 A ABD.因为 D 为AC的中点，BAB

14、C，所以BDAC. 因为 1 A AACAI， 1 A A平面 11 A ACC，AC 平面 11 A ACC， 所以BD 平面 11 A ACC.因为 1 C E 平面 11 A ACC，所以 1 BDC E. 根据题意，可得 1 6 2 EBC EAB， 1 3C BAB， 所以 222 11 EBC EC B.从而 1 90C EB，即 1 C EEB. 因为BDEBB，BD 平面BDE，EB 平面BDE，所以 1 C E 平面BDE. 17动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为 4. （1）若动圆圆心的轨迹为曲线，求曲线的方程；  （2）在曲线的对称轴上是否存在点，使过点的直线与

15、曲线的交点满足 为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由. 【解析】 （1）设，由题意知：. 当点不在轴上时，过做，交于点，则为的中点， P(2,0)A y GH PCC C QQ l CST、 22 11 |QSQT Q ( , )P x y PAPG P y PPBGHGHBBGH ，.又， ，化简得； 当点在轴上时，易知点与点重合.也满足， 曲线的方程为. （2） 假设存在， 满足题意.设.由题意知直线的斜率必不为 0， 设直线的方程为. 由得.，. ，. ， ， ， . ， 当时，上式，与无关，为定值. 存在点，使过点的直线与曲线的交点满足为定 值. 1 2 2 GBG

16、H 2 4PGx 22 (2)PAxy 222 (2)4xyx 2 4 (0)yx x P y PO (0,0)P 2 4yx C 2 4yx ( ,0)Q a 11 ,S x y 22 ,T x y ll 11 0xt ya t 1 2 4 xt ya yx 2 1 440yt ya 121 4yyt 12 4yya 2 121121 242xxtyyata 222 1212 1 16 xxyya 22 2222 111111 4(42 )QSxayxaxxa xa 22 2222 222222 4(42 )QTxayxaxxa xa 22222 1212 (42 )2QSQTxxaxxa

17、2 2 121212 (42 )22xxaxxx xa 2 12121 2 4222xxxxax xa 22 11 4244tat 2 2222 1 161QSQTat 22 222 11 1 22222 22 22 1 1 4244 112 21 161 tat QSQTta QSQTQSQTat at 2a 22 111 4QSQT 1 t (2,0)QQ l CST、 22 11 QSQT 1 4 18.某景区平面图如图 1所示，A BCED、 、 、 、为边界上的点已知边界CED是一段抛 物线，其余边界均为线段，且,3,8ADAB BCAB ADBCAB，抛物线顶点E 到AB的距离7O

18、E 以AB所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，建立平面直角坐标 系 （1）求边界CED所在抛物线的解析式； （2） 如图 2， 该景区管理处欲在区域ABCED内围成一个矩形MNPQ场地， 使得点MN、 在边界AB上，点PQ、在边界CED上，试确定点P的位置，使得矩形MNPQ的周长最 大，并求出最大周长 【详解】 （1）根据对称性可知， 11 84,3,7 22 OAOBABBCOE ， (4,3),(0,7)CE， 设边界CED所在抛物线的解析式为 2 ( 44)yaxcx ， 抛物线的图象经过C，E两点， 163 7 ac c ，解得 1 4 7 a c ， 边界CED所在抛物线的解析式为

19、2 1 7( 44) 4 yxx ； （2）设P点坐标为 2 1 ,7 4 mm ， 四边形MNPQ是矩形， 2ONOMm， 2 1 7 4 PNQMm ， 24MNQPONm， 矩形MNPQ的周长为： 22 2 11 2()2 27414 42 1 (4)22 2 MNPNmmmm m 1 0 2 ，开口向下， 当 4m时，矩形MNPQ的周长有最大值，最大值为 22， 此时P点坐标为(4,3)，即点P与点C重合 19. 设数列 n a的前 n 项和为 n S， 1 11 (1) ( ,0,1) 1 n n aq Sa qR aq q （1）求证：数列 n a是等比数列； （2）若 * qN，

20、是否存在 q 的某些取值，使数列 n a中某一项能表示为另外三项之和？ 若能求出 q 的全部取值集合，若不能说明理由 （3）若qR，是否存在3,)q，使数列 n a中，某一项可以表示为另外三项之和？ 若存在指出 q 的一个取值，若不存在，说明理由 【详解】 （1）n=1 时， 11 aSa， 2n时， 11 1 1 nnn nnn a aSSqqaq q （n=1也符合） 1n n aaqnN ， 1n n a q a ，即数列 n a是等比数列 （2）若 4321 nnnn aaaa 则 3421 ,2 nnnn qqqqqN q 可设 4321 nnnn，两边同除以 1 n q得： 314

21、121 1 nnnnnn qqq 因为左边能被 q 整除，右边不能被 q 整除，因此满足条件的 q 不存在 （3）若 4321 nnnn aaaa 则 3421 ,2 nnnn qqqqqN q 可设 4321 nnnn，3q ， 3344421 11 33 nnnnnnn qqqqqqqq ， 4321 nnnn aaaa 不成立 20. 已知函数与的图象在它们的交点处具有相同的 切线. （1）求的解析式； （2）若函数有两个极值点，且， 求的取值范围. 【解析】 （1）根据题意，函数与， 可知， 两图象在点处有相同的切线，所以两个函数切线的斜率相等， 即，化简得，将代入两个函数可得， 综合

22、上述两式可解得，所以. （2）函数，定义域为， ，因为，为函数的两个极值点， 所以，是方程的两个不等实根， 由根与系数的关系知， 又已知，所以， 将式代入得 ln0f xax a 2 1 2 yx e ,P s t f x 2 1g xxmf x 1 x 2 x 12 xx 2 1 g x x ln0f xax a 2 1 2 yx e a fx x 1 yx e ,P s t 1a s es sae ,P s t 2 ln 2e s as 1a lnf xx 22 11lng xxmf xxmx0, 2 22 21 mxxm x x gx x 1 x 2 x g x 1 x 2 x 2 22

23、0xxm 12 1xx + 1 2 2 m x x * 12 xx 12 1 01 2 xx 2 222 11 1lng xxmx xx * 2 22122 11 12lng xxx xx xx ， 令，令，解得， 当时，在单调递减； 当时，在单调递增； 所以， ， 即的取值范围是. 2 2222 222 2 12 1ln 12ln 1 xxxx xxx x 12 lnh tttt 1 ,1 2 t 2ln1h tt 0h t 1 t e 11 , 2 t e 0h t h t 11 , 2e 1 ,1t e 0h t h t 1 ,1 e min 122 11 e ee h th e 1 max,1 2 h thh 11 ln201 22 hh 2 1 g x x 2 1,0 e e