2020年广东省湛江市高考测试理科数学试卷(二)含答案解析
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1、2020 年湛江市高考数学二模试卷(理科)年湛江市高考数学二模试卷(理科) 一、选择题(共 12 小题). 1设集合 A2,5,6),Bx|x25x+m0,若 AB2,则 B( ) A2,3 B2 C3 D1,6) 2复数 z (2+4i)i 在复平面内对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知 ( ,),tan2 ,则 sin2+cos 2( ) A B C D 4高二某班共有学生 45 人,学号依次为 1,2,3,45,现按学号用系统抽样的办法抽 取一个容量为 5 的样本,已知学号为 6,24,33 的学生在样本中,那么样本中还有两个 学生的学号应为( )
2、A15,42 B15,43 C14,42 D14,43 5下列图象为函数 y ,y ,y ,y 的部分图象,则按顺序对应关系 正确的是( ) A B C D 6函数 f(x)ax36x 的一个极值点为 1,则 f(x)的极大值是( ) A4 B2 C4 D2 7我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理:“幂势既同,则积不 容异“意思是两个同高的几何体,如果在等高处的截面积都相等,那么这两个几何体 的体积相等现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件,若该圆锥的侧面展开图是 半径为 3 的圆的三分之一,则该几何体的体积为( ) A B C4 D 8执行如图所示的程序框图,若输出的
3、y3,则输入的 x 的值为( ) A2 B2 C5 或2 D7 或2 9在ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,若 A ,c1,asinCbsinB,则 ABC 的面积为( ) A B C D 10 已知函数f (x) Acos (x+)(A0, 0, 0) 的图象的一个最高点为 ( , , 与之相邻的一个对称中心为 , , 将 f (x) 的图象向右平移 个单位长度得到函数 g (x) 的图象,则( ) Ag(x)为偶函数 Bg(x)的一个单调递增区间为 , Cg(x)为奇函数 D函数 g(x)在 , 上有两个零点 11 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2, E为A
4、1B1的中点, 下列说法中正确的是 ( ) AED1与 B1C 所成的角大于 60 B点 E 到平面 ABC1D1的距离为 1 C三棱锥 EABC1的外接球的表面积为 D直线 CE 与平面 ADB1所成的角为 12已知斜率为 k(k0)的直线 l 与椭圆 y 21 交于 A(x 1,y1),B(x2,y2)两点, O 为坐标原点,设直线 OA,OB 的斜率分别为 k1,k2,且满足 k2k1k2,设OAB 的面积 为 S,以 OA,OB 为直径的圆的面积分别为 S1,S2,则 的最小值为( ) A B C D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在答题卡的相应位
5、置. 13已知向量 (4,m), (m,3),若( ) ,则| | 14若实数 x,y 满足约束条件 ,则 zx2y 的最大值为 15已知 F1(c,0),F2(c,0)分別为双曲线 1(a0,b0)的左、右焦 点, 以坐标原点O为圆心, c 为半径的圆与双曲线在第二象限交于点P, 若 tanPF1F2 , 则该双曲线的离心率为 16若(1+x)10a0+a1x+a2x2+a10x10,则 a2+a6+a8 ;a1+2a2+3a3+10a10 三、 解答题: 本大题共5小题, 共70分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤.17 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22,2
6、3 题为选考题,考生根据要求作答.(一) 必考题:共 60 分. 17已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 Snn2+an1 (1)求an的通项公式; (2)设 bn ,求数列bn的前 n 项和 Tn 18 如图, 长方体 ABCDA1B1C1D1的底面为正方形, AB1, AA13, 2 , 2 , N 是棱 C1D1的中点,平面 AEC1与直线 DD1相交于点 F (1)证明:直线 MN平面 AEC1F (2)求二面角 EACF 的正弦值 19冠状病毒是一个大型病毒家族,已知的有中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综 合征(SARS)等较严重的疾病,新型冠状病毒(nCoV)是以前从未
7、在人体中发现的冠状 病毒新毒株, 某小区为进一步做好新型冠状病毒肺炎疫情知识的教育, 在小区内开展 “新 型冠状病毒防疫安全公益课”在线学习,在此之后组织了“新型冠状病毒防疫安全知识 竞赛”在线活动已知进入决赛的分别是甲、乙、丙、丁四位业主,决赛后四位业主相 应的名次为第 1,2,3,4 名,该小区为了提高业主们的参与度和重视度,邀请小区内的 所有业主在比赛结束前对四位业主的名次进行预测,若预测完全正确将会获得礼品,现 用 a,b,c,d 表示某业主对甲、乙、 丙、丁四位业主的名次做出一种等可能的预测排列, 记 X|a1|+|b2|+|c3|+|d4| (1)求该业主获得礼品的概率; (2)求
8、 X 的分布列及数学期望 20已知函数 f(x)ax2+bln 1,且 f( )4,f(1)5 (1)求 f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线方程; (2)已知函数 g(x)ln mlnx+3,若存在 x0(1,e,使得不等式 f(x0)g(x0) 成立,求实数 m 的取值范围 21已知顶点为原点 O 的抛物线 C,焦点 F 在 x 轴上,直线 yx 与抛物线 C 交于 O,M 两 点,且线段 OM 的中点为 P(2,2) (1)求抛物线 C 的标准方程 (2) 若直线 l 与抛物线 C 交于异于原点的 A, B 两点, 交 x 轴的正半轴于点 D, 且有|FA|+1 |FD|,直线 11
9、l,且 l1和 C 有且只有一个公共点 E,请问直线 AE 是否恒过定点?若 是,求出定点坐标;若不是,说明理由 (二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第 一题计分.选修 4-4:坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原 点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系 (1)设射线 l 的极坐标方程为 ,若射线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求 AB 的长; (2)设 M,N 是曲线 C 上的两点,若MON ,求OMN 的面积的最大值 选修 4-5,不等式选讲 23已知函数 f(
10、x)|2x+4|2x2| (1)求不等式|f(x)|4 的解集; (2) 记 f (x) 的最大值为 m, 设 a, b, c0, 且 a+2b+3cm, 证明: 参考答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1设集合 A2,5,6),Bx|x25x+m0,若 AB2,则 B( ) A2,3 B2 C3 D1,6) 【分析】根据 AB2即可求出 m6,从而可得出集合 B 解:AB2, 2B, 2252+m0,解得 m6, Bx|x25x+602,3 故选:A 【点评】本题考查了交集的定义及运算,元素与集合的关系,
11、考查了计算能力,属于基 础题 2复数 z (2+4i)i 在复平面内对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,求出 z 的坐标得答案 解:z (2+4i)i , z 在复平面内对应点的坐标为(3,4),位于第二象限 故选:B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是 基础题 3已知 ( ,),tan2 ,则 sin2+cos 2( ) A B C D 【分析】由已知利用二倍角的正切函数公式可求 tan,进而根据同角三角函数基本关系 式即可求解 解:tan2 ,( ,), tan3,或 (舍去)
12、, sin2+cos2 故选:C 【点评】本题主要考查了二倍角的正切函数公式,同角三角函数基本关系式在三角函数 化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题 4高二某班共有学生 45 人,学号依次为 1,2,3,45,现按学号用系统抽样的办法抽 取一个容量为 5 的样本,已知学号为 6,24,33 的学生在样本中,那么样本中还有两个 学生的学号应为( ) A15,42 B15,43 C14,42 D14,43 【分析】根据系统抽样的定义,算出每组人数即组距,再利用第一组抽到的学号依次加 上组距即可求出所有抽得的学号 解:由题意可知,每组人数为 9,即组距为 9, 所以另外两个学生的学号为 6+
13、915,和 33+942, 故选:A 【点评】本题主要考查了系统抽样,是基础题 5下列图象为函数 y ,y ,y ,y 的部分图象,则按顺序对应关系 正确的是( ) A B C D 【分析】根据函数解析式及函数图象分别判断即可 解:根据奇偶性可知函数 对应的为图; 由 ,可知函数 对应的为图; 由 ,可知函数 , 对应的图分别为,; 故选:B 【点评】本题考查函数图象的运用,考查数形结合思想,属于基础题 6函数 f(x)ax36x 的一个极值点为 1,则 f(x)的极大值是( ) A4 B2 C4 D2 【分析】求出函数的导数,通过函数的极值点,求出 a,然后判断函数的单调性,求解函 数的极大
14、值即可 解:f(x)ax36x,可得 f(x)3ax26,f(x)ax36x 的一个极值点为 1,所 以 3a60,解得 a2, 因为 f(x)6(x1)(x+1),所以 f(x)在(,1),(1,+)上是增函 数,在(1,1)上是减函数, 所以 x1 时,函数取得极大值:f(1)4 故选:C 【点评】本题考查函数的导数的应用,函数的极值的求法,是中档题 7我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理:“幂势既同,则积不 容异“意思是两个同高的几何体,如果在等高处的截面积都相等,那么这两个几何体 的体积相等现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件,若该圆锥的侧面展开图是 半径为 3
15、 的圆的三分之一,则该几何体的体积为( ) A B C4 D 【分析】由已知列式求得圆锥的底面半径与高,代入圆锥体积公式求解 解:由题意可知,几何体的体积等于圆锥的体积, 圆锥的侧面展开图恰为一个半径为 3 的圆的三分之一, 圆锥的底面周长为 , 故圆锥的底面半径为 1,圆锥的高为 圆锥的体积 V 从而所求几何体的体积为 V 故选:A 【点评】本题考查祖暅原理的应用,考查圆锥体积的求法,正确理解题意是关键,是中 档题 8执行如图所示的程序框图,若输出的 y3,则输入的 x 的值为( ) A2 B2 C5 或2 D7 或2 【分析】由程序框图分 x0 和 x0 时两种情况,分别求出输出 y 的值
16、为 3 的 x 值,进 而可得答案 解:由程序框图可得:由 ,解得 x7; 由 ,解得 x2 综上,输入的 x 的值为 7 或2 故选:D 【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得 出正确的结论,是基础题 9在ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,若 A ,c1,asinCbsinB,则 ABC 的面积为( ) A B C D 【分析】利用正弦定理由已知可得 acb2,又 c1,可求 b2a,利用余弦定理可求 a (a1)1 ,解得 a,可求 b 的值,根据三角形的面积公式即可求解 解:asinCbsinB,acb2, c1,b2a, A ,
17、 a2b2+c22bccosAa+1 ,整理可得 a(a1)1 , a1,b1, SABC bcsinA 故选:D 【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式在解三角形中的综合 应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题 10 已知函数f (x) Acos (x+)(A0, 0, 0) 的图象的一个最高点为 ( , , 与之相邻的一个对称中心为 , , 将 f (x) 的图象向右平移 个单位长度得到函数 g (x) 的图象,则( ) Ag(x)为偶函数 Bg(x)的一个单调递增区间为 , Cg(x)为奇函数 D函数 g(x)在 , 上有两个零点 【分析】先根据余弦函数的图象和性
18、质求出 f(x)解析式,再根据图象的变换规律求得 g (x)的解析式,最后根据余弦函数性质得出结论 解:由题可得: ( ) ; T2; f(x)3cos(2x+); 因为 f( )3cos(2( )+3 K; 0; ,f(x)3cos(2x ); g(x)3cos2(x ) 3cos(2x );是非奇非偶函数; 令+2k2x 2k kxk ,kz; 当 k0 时,g(x)的一个单调递增区间为: , ; 2x k x ,kz,函数 g(x)在0, 上只有一个零点 故选:B 【点评】 本题主要考查由函数yAsin (x+) 的部分图象求解析式, 函数yAsin (x+) 的图象变换规律,属于基础题
19、 11 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2, E为A1B1的中点, 下列说法中正确的是 ( ) AED1与 B1C 所成的角大于 60 B点 E 到平面 ABC1D1的距离为 1 C三棱锥 EABC1的外接球的表面积为 D直线 CE 与平面 ADB1所成的角为 【分析】对于 A,取 DC 的中点 F,连接 EF,D1F,则D1EF 为 ED1与 B1C 所成的角, 求出角的正切值与 比较判断; 对于 B,把 B1到平面 ABC1D1 的距离转化为点 E 到平面 ABC1D1 的距离,求出点 E 到平 面 ABC1D1的距离判断; 对于 C,三棱锥 EABC1的外接球即四棱锥 EABC
20、1D1的外接球,由勾股定理列式求出 四棱锥 EABC1D1的外接球的半径为 R,进一步求出外接球的表面积判断; 对于 D,连接 DC1,取 DC1的中点 H,连接 DB1交 EC 于 K,连接 CH,HK,可得CKH 是直线 CE 与平面 ADB1所成的角,求解三角形得其正弦值判断 解: 如图, 对于 A, 取 DC 的中点 F, 连接 EF, D1F, 则D1EF 为 ED1与 B1C 所成的角, , ,tanD1 EF ,故 A 错误; 对于 B,由于 A1B1平面 ABC1D1, 故 B1到平面 ABC1D1 的距离即点 E 到平面 ABC1D1 的距离, 连接 B1C 角 BC1于 G
21、,可得 B1G平面 ABC1D1 ,而 , 点 E 到平面 ABC1D1的距离为 ,故 B 错误; 对于 C,三棱锥 EABC1的外接球即四棱锥 EABC1D1的外接球, ABC1D1为矩形,且 AB2, ,EAEB , 四棱锥 EABC1D1的高为 , 设四棱锥 EABC1D1的外接球的半径为 R,则 ,解得 三棱锥的外接球的表面积 S ,故 C 错误; 对于 D,连接 DC1,取 DC1的中点 H,连接 DB1交 EC 于 K,连接 CH,HK, EB1DC,CKH 是直线 CE 与平面 ADB1所成的角, 在直角三角形 CKH 中,CK CE2,CH , sinCKH ,故 D 正确 故
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