福建省莆田市2020届高中毕业班教学质量第二次检测数学试卷(文科)含答案解析
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1、2020 年高考数学二模试卷(文科)(年高考数学二模试卷(文科)(B 卷)卷) 一、选择题(共 12 小题). 1已知集合 UxN|0x7,A2,5,B1,3,5,则(UA)B( ) A5 B1,5 C2,5 D1,3 2已知复数 z 满足 z(1+i)|1 i|,则复数 z 的共轭复数为( ) A1+i B1i C1+i D1i 3已知角 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合若点(a,3a)(a0) 是角 终边上一点,则 ( ) A2 B C D2 4如图是计算 的程序框图,若输出的 S 的值为 ,则判 断框中应填入的条件是( ) An98? Bn99? Cn100? Dn10
2、1? 5已知两条平行直线 l1,l2之间的距离为 1,l1与圆 C:x2+y24 相切,l2与 C 相交于 A,B 两点,则|AB|( ) A B C D 6函数 f(x)ex ln|x|(其中 e 是自然对数的底数)的大致图象为( ) A B C D 7如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的 体积为( ) A B C D 8剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一,作为一种镂空艺术,它能给人以视觉上的艺术 享受在如图所示的圆形图案中有 12 个树叶状图形(即图中阴影部分),构成树叶状图 形的圆弧均相同若在圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( ) A
3、B C D 9已知 a0 且 a1,函数 , , , 在2,2上的最大值为 3,则 实数 a 的取值范围是( ) A , , B , C , , D , , 10 函数 图象向右平移 个单位长度, 所得图象关于原点对称, 则 f(x)在 , 上的单调递增区间为( ) A , B , C , D , 11已知椭圆 (ab0)与双曲线 , 有共同的焦点 F1, F2, 且在第一象限内相交于点 P, 椭圆与双曲线的离心率分别为 e1 , e 2 若 , 则 e1 e2的最小值是( ) A B C D 12 如图, 在四棱锥 SABCD 中, 平面 SAB平面ABCD, 四边形 ABCD为矩形, AB
4、2 , AD 2,ASB120,则四棱锥外接球的表面积为( ) A16 B20 C80 D100 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13已知向量 , , , , , ,若 ,则 x 14若实数 x,y 满足约束条件 , , , 且目标函数 zxy 的最大值为 2,则实数 m 15在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,S 为ABC 的面积,sin(A+C) ,且 A,B,C 成等差数列,则 C 的大小为 16已知函数 f(x) ax+2 在区间e,e3上单调递增,则 a 的取值范围为 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
5、步骤.第 1721 题为必考题, 每个试题考生都必须作答,第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 60 分 17等差数列an的前 n 项和为 Sn,a2+a1517,S1055数列bn满足 anlog2bn (1)求数列bn的通项公式; (2)若数列an+bn的前 n 项和 Tn满足 TnS32+18,求 n 的值 18 如图, 在多面体 ABCC1B1A1中, 四边形 BB1C1C 为矩形, , CC1面 ABC, AA1CC1,2AA1CC1AC2,E,F 分别是 A1C1,AC 的中点,G 是线段 BB1上的任 一点 (1)求证:ACEG; (2)求三棱锥 FEA
6、1G 的体积 19随着新课程改革和高考综合改革的实施,高中教学以发展学生学科核心素养为导向,学 习评价更关注学科核心素养的形成和发展为此,我市于 2018 年举行第一届高中文科素 养竞赛,竞赛结束后,为了评估我市高中学生的文科素养,从所有参赛学生中随机抽取 1000 名学生的成绩(单位:分)作为样本进行估计,将抽取的成绩整理后分成五组,从 左到右依次记为50,60),60,70),70,80)80,90),90,100,并绘制成如图 所示的频率分布直方图 (1)请补全频率分布直方图并估计这 1000 名学生成绩的平均数(同一组数据用该组区 间的中点值作代表); (2)采用分层抽样的方法从这 1
7、000 名学生的成绩中抽取容量为 40 的样本,再从该样本 成绩不低于 80 分的学生中随机抽取 2 名进行问卷调查, 求至少有一名学生成绩不低于 90 分的概率; (3) 我市决定对本次竞赛成绩排在前 180 名的学生给予表彰, 授予 “文科素养优秀标兵” 称号 一名学生本次竞赛成绩为 79 分, 请你判断该学生能否被授予 “文科素养优秀标兵” 称号 20已知 A(0,1),B 是曲线 y 1 上任意一点,动点 P 满足 (1)求点 P 的轨迹 E 的方程; (2)若点 M,N 是 E 上异于 O 的两个动点,O 为坐标原点,且 4,求证: 直线 MN 恒过定点 21已知函数 f(x)ax2
8、+(a2)xlnx (1)当 a2 时,求函数 f(x)在 x1 处的切线方程; (2)若 f(x)有两个零点,求 a 的取值范围 (二) 选考题: 共 10 分.请考生在第 22、 23 题中任选一题作答.注意: 只能做所选定的题目, 如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框 涂黑.选修 4-4:坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 , ( 为参数)以坐标原点为 极点, 以x轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系, 曲线C2的极坐标方程为 (1)写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程; (2)设点 P 在 C1上,点
9、 Q 在 C2上,求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标 选修 4-5:不等式选讲 23已知函数 f(x)|2xa|+a (1)若不等式 f(x)6 的解集为x|1x3,求 a 的值; (2)设函数 g(x)|2x1|若 f(x)g(x)3,求 a 的取值范围 参考答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1已知集合 UxN|0x7,A2,5,B1,3,5,则(UA)B( ) A5 B1,5 C2,5 D1,3 【分析】根据集合补集交集的定义进行求解即可 解:UxN|0x71,2,3,4,5,6, 则UA1,3
10、,4,6, 则(UA)B1,3, 故选:D 【点评】本题主要考查集合的基本运算,结合补集交集的定义是解决本题的关键比较 基础 2已知复数 z 满足 z(1+i)|1 i|,则复数 z 的共轭复数为( ) A1+i B1i C1+i D1i 【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 解:由 , 得 z , 故选:C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念与模的求法,是基础 题 3已知角 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合若点(a,3a)(a0) 是角 终边上一点,则 ( ) A2 B C D2 【分析】 由题意利用任意角的三角函数的定义求得
11、 tan 的值, 再利用两角差的正切公式, 求得 的值 【解答】解:点(a,3a)(a0)是角 终边上一点,tan 3, 则 , 故选:B 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,两角差的正切公式,属于基础题 4如图是计算 的程序框图,若输出的 S 的值为 ,则判 断框中应填入的条件是( ) An98? Bn99? Cn100? Dn101? 【分析】由题意解得 n 的值,结合程序框图即可得解判断框内的条件 解:由题意可得: (1 )+( )+( ) 1 ,解得:n99, 可得 n99 时不满足判断框内的条件,执行循环体, 当 n100 时满足判断框内的条件,退出循环,输出 S 的值为 ,
12、 故判断框内的条件为:n99? 故选:B 【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得 出正确的结论,是基础题 5已知两条平行直线 l1,l2之间的距离为 1,l1与圆 C:x2+y24 相切,l2与 C 相交于 A,B 两点,则|AB|( ) A B C D 【分析】根据题意,由直线与圆相切的性质可得圆心 C 到直线 l1的距离为 2,进而可得 圆心 C 到直线 l2的距离 d211,结合直线与圆的位置关系分析可得答案 解:根据题意,l1与圆 C:x2+y24 相切,则圆心 C 到直线 l1的距离为 2, 又由两条平行直线 l1,l2之间的距离为 1,则圆心
13、C 到直线 l2的距离 d211, 则|AB|2 2 ; 故选:D 【点评】本题考查直线与圆的位置关系,涉及弦长的计算,属于基础题 6函数 f(x)ex ln|x|(其中 e 是自然对数的底数)的大致图象为( ) A B C D 【分析】判断函数的奇偶性和对称性的关系,利用极限思想进行求解即可 解:函数 f(x)为非奇非偶函数,图象不关于 y 轴对称,排除 C,D, 当 x+,f(x)+,排除 B, 故选:A 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,利用函数的对称性以及极限思想是解决 本题的关键 7如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的 体积为( )
14、A B C D 【分析】根据三视图可知该几何体是 球,挖去一个三棱锥,把数据代入体积公式即可求 解 解:根据三视图可知,该几何体是 球替,挖去一个三棱锥,如图所示; 则该几何体的体积为 V 23 4 2 2 故选:D 【点评】本题考查了利用三视图求棱锥和球体积计算问题,根据三视图的特征找出几何 体结构特征是关键 8剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一,作为一种镂空艺术,它能给人以视觉上的艺术 享受在如图所示的圆形图案中有 12 个树叶状图形(即图中阴影部分),构成树叶状图 形的圆弧均相同若在圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( ) A B C D 【分析】根据题意,12 片树叶是由 24
15、 个相同的弓形组成,计算弓形的面积,利用几何概 率的计算公式求解即可 解:设圆的半径为 r,如图所示, 12 片树叶是由 24 个相同的弓形组成, 且弓形 AmB 的面积为 S弓形 r 2 r 2 sin r 2 所求的概率为 P 弓形 圆 4 故选:B 【点评】本题考查几何概型的概率的求法,求解阴影部分面积是关键,是中档题 9已知 a0 且 a1,函数 , , , 在2,2上的最大值为 3,则 实数 a 的取值范围是( ) A , , B , C , , D , , 【分析】根据分段函数的表达式,分别求出函数递增2,0和(0,2上的最大值,建 立不等式关系进行求解即可 解:当 x0 时,f(
16、x)2x3+3x2+2, f(x)6x2+6x6x(x+1), 由 f(x)0 得 x0(舍)或2x1,此时 f(x)为增函数, 由 f(x)0 得1x0,此时 f(x)为减函数, 则当 x1 时,f(x)取得极大值,极大值为 f(1)3, 当 x2 时,f(x)取得最小值,最小值我 f(2)2, f(x)在2,2上的最大值为 3, 当 0x2 时,函数 f(x)ax+1 的最大值不能超过 3 即可, 当 a1 时,f(x)为增函数,则当 0x2 时,函数 f(x)ax+1 的最大值为 f(2) a2+13,即 a22,得 1a , 当 0a1 时,f(x)为减函数,则 f(x)a0+11+1
17、2,此时满足条件 综上实数 a 的取值范围是 0a1 或 1a , 故选:A 【点评】本题主要考查函数最值的求解,结合分段函数的表达式,利用函数的导数,以 及指数函数的单调性分别求出对应函数的最值是解决本题的关键 10 函数 图象向右平移 个单位长度, 所得图象关于原点对称, 则 f(x)在 , 上的单调递增区间为( ) A , B , C , D , 【分析】根据三角函数的图象平移关系结合函数关于原点对称的性质求出 的值,结合 函数的单调性进行求解即可 解:函数 图象向右平移 个单位长度, 得到 ycos2(x )+cos(2x+ ),所得图象关于原点对称, 则 k ,得 k ,kZ, |
18、, 当 k1 时, , 则 f(x)cos(2x ), 由 2k2x 2k,kZ, 得 k xk ,kZ, 即的单调递增区间为k ,k ,kZ, x , , 当 k0 时, x , 即 x , 即 f(x)在 , 上的单调递增区间为 , , 故选:A 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,求出函数的解析式结合三角函数的单调 性是解决本题的关键 11已知椭圆 (ab0)与双曲线 , 有共同的焦点 F1, F2, 且在第一象限内相交于点 P, 椭圆与双曲线的离心率分别为 e1 , e 2 若 , 则 e1 e2的最小值是( ) A B C D 【分析】设共同的焦点为(c,0),(c,0),设|
19、PF1|s,|PF2|t,运用椭圆和双曲 线的定义,以及三角形的余弦定理和基本不等式,即可得到所求最小值 解:设共同的焦点为(c,0),(c,0), 设|PF1|s,|PF2|t, 由椭圆和双曲线的定义可得 s+t2a,st2m, 解得 sa+m,tam, 在PF1F2中, , 可得|F1F2|2|PF1|2+|PF2|22|PF1| |PF2| cosF1PF2, 即为 4c2(a+m)2+(am)2(a+m)(am)a2+3m2, 即有 4, 即为 4, 由 2 , 可得 e1 e2 ,当且仅当 e2 e1时,取得最小值 , 故选:C 【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质,考查方
20、程思想和运算能力,属于 中档题 12 如图, 在四棱锥 SABCD 中, 平面 SAB平面ABCD, 四边形 ABCD为矩形, AB2 , AD 2,ASB120,则四棱锥外接球的表面积为( ) A16 B20 C80 D100 【分析】 由已知证明平面 SAB平面 ABCD, 由正弦定理求出三角形 SAB 外接球的半径, 设出四棱锥外接球的球心,由勾股定理求得四棱锥外接球的半径,代入球的表面积公式 得答案 解:由四边形 ABCD 为矩形,得 ABAD, 又 SAAD,且 SAABA,AD平面 SAB, 则平面 SAB平面 ABCD, 设三角形 SAB 的外心为 G,则 GA 过 G 作 GO
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