河南省名校联盟2020届高三5月质量检测数学试卷（理科）含答案解析

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1、2020 年高考数学模拟试卷（理科）（年高考数学模拟试卷（理科）（5 月份）月份） 一、选择题（共 12 小题）. 1已知全集 UR，集合 Ax|2x3，Bx| 2，则 B（UA）（ ） A2，3 B（，22，+） C（3，4 D3，4 2已知复数 z 1（i 为虚数单位，aR）为纯虚数，则实数 a（ ） A B C0 D2 3已知函数 f（x） ， ， ，若 f（m）1，则实数 m 的值是（ ） A0 B C0 或 D0 或 或 4若 l，m，n 是三条不相同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是 （ ） A若 lm，m，则 l B若 ，n，mn，则 m C若 ，l，m，则 l

2、m D若 l，ln，n，则 5宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题： “松长六尺，竹长两尺， 松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中 a 为 松长、b 为竹长，则菱形框与矩形框处应依次填（ ） Aab？；aa Bab？；aa+2a Cab？；aa Dab？；aa+2a 6在等比数列an中，已知 a1a34，a9256，则 a8（ ） A128 或128 B128 C64 或64 D64 72020 年新型肺炎疫情期间，山东省某市派遣包含甲，乙两人的 12 名医护人员支援湖北 省黄冈市，现将这 12 人平均分成两组，分别分配到黄冈市区定点医院和黄冈

3、市英山县医 院，则甲、乙不在同一组的概率为（ ） A B C D 8函数 f（x） 的大致图象是（ ） A B C D 9直线 l：xy 0 将圆 O：x2+y24 分成的两部分的面积之比为（ ） A（4 ）：（8 ） B（43 ）：（8+3 ） C（22 ）：（10+2 ） D（23 ）：（10+3 ） 10设无穷等差数列an的各项都为正数，且其前 n 项和为 Sn，若 S20172017，则下列判断 错误的是（ ） Aa10091 Ba10101 CS20162016 DS20192019 11函数 f（x）sin（x+）（0，| ）的图象如图所示，先将函数 f（x）图象上 所有点的横坐标

4、变为原来的 6 倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移 个单位 长度，得到函数 g（x）的图象，则下列结论 正确的是（ ） A函数 g（x）是奇函数 B函数 g（x）在区间2，0上单调递增 C函数 g（x）图象关于（3，0）对称 D函数 g（x）图象关于直线 x3 对称 12定义在0，+）上的函数 f（x）满足：f（x）+f（x） ， 其中 f（x） 表示 f（x）的导函数，若存在正数 a，使得 成立，则实数 x 的取值范围 是（ ） A1，2 B（，12，+） C1，01，2 D2，11，2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 已知向量 （2， 1） ， （

5、4， 3） ， （1， ） ， 若 （ ） ， 则 14二项式 的展开式中的常数项是 （用数字作答） 15在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC120且 ABAC3，BB14，则此三棱柱外接 球的表面积为 16已知椭圆 C： 1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，且椭圆 C 与双曲线 C： 1 共焦点，若椭圆 C 与双曲线 C的一个交点 M 满足|MF1| |MF2|2，则 MF1F2的面积是 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分

6、17在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且 （1）求角 A 的大小； （2）若 a ，b ，求ABC 的面积 18现有一种水上闯关游戏，共设有 3 个关口，如果在规定的时间内闯过了这 3 个关口，那 么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏假定小张、小王、小李闯过任何一个关口的概 率分别为 ， ， ，且各关口能否顺利闯过相互独立 （1）求小张、小王、小李分别闯关成功的概率； （2）记小张、小王、小李三人中闯关成功的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望 19如图，四边形 ABCD 为正方形，PACE，ABCE PA，PA平面 ABCD （1）证明：PE平面 DBE； （2）求二面

7、角 BPDE 的正弦值的大小 20已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过点 P（2，0）的直线 l 交抛物线 C 于 A（x1，y1） 和 B（x2，y2）两点 （1）当 x1+x28 时，求直线 l 的方程； （2）若过点 P（2，0）且垂直于直线 l 的直线 l与抛物线 C 交于 M，N 两点，记ABF 与MNF 的面积分别为 S1与 S2，求 S1S2的最小值 21已知函数 g（x）exax2ax，h（x）ex2xlnx其中 e 为自然对数的底数 （1）若 f（x）h（x）g（x） 讨论 f（x）的单调性； 若函数 f（x）有两个不同的零点，求实数 a 的取值范围 （2）已知 a0，

8、函数 g（x）恰有两个不同的极值点 x1，x2，证明： （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22以平面直角坐标系 xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立 极坐标系，已知过点 A（1，2）且斜率为 1 的直线 l1与曲线 C： ， （ 是参数）交于 P，Q 两点，与直线 l2：cos+2sin+40 交于点 N （1）求曲线 C 的普通方程与直线 l2的直角坐标方程； （2）若 PQ 的中点为 M，比较|PQ|与|MN|的大小关系，并说明理由 选修 4-5：不等式选讲 23

9、已知函数 f（x）3|x2|3 （1）求不等式 |x+1|的解集； （2）若关于 x 的不等式 f（x）mx+m 恒成立，求实数 m 的取值范围 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1已知全集 UR，集合 Ax|2x3，Bx| 2，则 B（UA）（ ） A2，3 B（，22，+） C（3，4 D3，4 【分析】求出集合 B，UA，由此能求出 B（UA） 解：全集 UR，集合 Ax|2x3， Bx| 2x|2x4， UAx|x2 或 x3， B（UA）x|3x4， 故选：D 2已知复数 z 1（i 为虚数单位

10、，aR）为纯虚数，则实数 a（ ） A B C0 D2 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0，且虚部不为 0 列式求解 解：z 1 为纯虚数， ，解得 a 故选：B 3已知函数 f（x） ， ， ，若 f（m）1，则实数 m 的值是（ ） A0 B C0 或 D0 或 或 【分析】讨论字母 m 的范围，求出 f（m）的表达式，列出方程求出符合条件的 m 值 解：因为函数 f（x） ， ， ， 当 m1 时，有 f（m）em， em1 解得 m0 满足条件； 当 m1 时，有 f（m）4m2， 4m21 解得 m （ 舍） 总之，m 或 0； 故选：C 4若 l，m，n 是三条

11、不相同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是 （ ） A若 lm，m，则 l B若 ，n，mn，则 m C若 ，l，m，则 lm D若 l，ln，n，则 【分析】对于 A，l 或 l；对于 B，m 或 m；对于 C，l 与 m 相交、平行或异 面；对于 D，由面面垂直的判定定理得 解：对于 A，若 lm，m，则 l 或 l，故 A 错误； 对于 B，若 ，n，mn，则 m 或 m，故 B 错误； 对于 C，若 ，l，m，则 l 与 m 相交、平行或异面，故 C 错误； 对于 D，若 l，ln，n，则由面面垂直的判定定理得 ，故 D 正确 故选：D 5宋元时期数学名著算学启蒙中有关

12、于“松竹并生”的问题： “松长六尺，竹长两尺， 松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中 a 为 松长、b 为竹长，则菱形框与矩形框处应依次填（ ） Aab？；aa Bab？；aa+2a Cab？；aa Dab？；aa+2a 【分析】由程序框图模拟程序的运行，结合题意即可得解 解：竹逾松长，意为竹子比松高，即 ab， 但这是一个含当型循环结构的程序框图，当不满足条件时，退出循环，故菱形框中条件 应为 ab？， 松日自半，则表示松每日增加一半，即矩形框应填 aa 故选：C 6在等比数列an中，已知 a1a34，a9256，则 a8（ ） A128 或128 B12

13、8 C64 或64 D64 【分析】由已知结合等比数列的性质可求 a2，然后结合等比数列的通项公式即可求解 解：由等比数列的性质可得，a1a3 4， a22 或2， a9256，当 a22 时，q7128 即 q2，则 a8128， 当 a22 时，q7128 即 q2，则 a8128， 故选：A 72020 年新型肺炎疫情期间，山东省某市派遣包含甲，乙两人的 12 名医护人员支援湖北 省黄冈市，现将这 12 人平均分成两组，分别分配到黄冈市区定点医院和黄冈市英山县医 院，则甲、乙不在同一组的概率为（ ） A B C D 【分析】设“甲、乙不在同一组”为事件 M，12 名医护人员平均分配到两所

14、医院的基本 事件总数为 n 924，甲、乙在同一组包含的基本事件个数 m 420，由此能 求出甲、乙不在同一组的概率 解：设“甲、乙不在同一组”为事件 M， 12 名医护人员平均分配到两所医院的基本事件总数为 n 924， 甲、乙在同一组包含的基本事件个数 m 420， 甲、乙不在同一组的概率 P1 1 故选：B 8函数 f（x） 的大致图象是（ ） A B C D 【分析】直接利用函数的奇偶性及特殊点的函数值，运用排除法得解 解：函数的定义域为 R，且 ， 函数 f（x）为偶函数，故排除 B 选项； 又 ，故排除 C 选项； 当|x|1 时，x2cosx，故当|x|1 时，f（x）0，故排除

15、 D 选项 故选：A 9直线 l：xy 0 将圆 O：x2+y24 分成的两部分的面积之比为（ ） A（4 ）：（8 ） B（43 ）：（8+3 ） C（22 ）：（10+2 ） D（23 ）：（10+3 ） 【分析】根据题意，设直线 l 与圆 O：x2+y24 交于点 M、N，过点 O 作 OPMN，垂足 为点 P，求出|OP|的值，结合直线与圆的位置关系可得MON 以及|MN|2 ；进而 计算可得 SMON和 S扇形OMN的值， 据此可得直线 l 将圆 O 分成的两部分的面积， 计算即可 得答案 解：根据题意，设直线 l 与圆 O：x2+y24 交于点 M、N，过点 O 作 OPMN，垂足

16、为点 P， 则点 O 到直线 l 的距离|OP| 1， 又由圆 O：x2+y24 的半径|OM|r2，则MOP ，则MON ； 同时|MP| ，则|MN|2 ， 且 SMON |OP|MN| ， 则 S扇形OMN r 2 ， 则劣弧对应的弓形的面积 S1 ， 另一部分的面积 S2r2S14 （ ） ， 故两部分的面积之比 （43 ）：（8+3 ）； 故选：B 10设无穷等差数列an的各项都为正数，且其前 n 项和为 Sn，若 S20172017，则下列判断 错误的是（ ） Aa10091 Ba10101 CS20162016 DS20192019 【分析】由 S20172017 2017a10

17、09，可得 a1009由无穷等差数列an 的各项都为正数，可得公差 d0进而判断出结论 解：S20172017 2017a1009， a10091 无穷等差数列an的各项都为正数，公差 d0 a10101 S2016 1008（a1009+a1008）100822016， S2019S2017+a2018+a20192017+22019， 综上可得：只有 C 错误 故选：C 11函数 f（x）sin（x+）（0，| ）的图象如图所示，先将函数 f（x）图象上 所有点的横坐标变为原来的 6 倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移 个单位 长度，得到函数 g（x）的图象，则下列结论 正确的是（

18、 ） A函数 g（x）是奇函数 B函数 g（x）在区间2，0上单调递增 C函数 g（x）图象关于（3，0）对称 D函数 g（x）图象关于直线 x3 对称 【分析】首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用函数的图象的伸缩变换和 平移变换的应用求出函数 g（x）的关系式，最后利用函数的性质的应用求出结果 解：根据 T ，所以 ， 由于函数的图象过（ ， ），所以 ， 由于| ，解得 ， 故 f（x）sin（2x ）， 先将函数 f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的 6 倍，纵坐标不变，再将所得函数的 图象向左平移 个单位长度， 得到 g（x）sin 故函数 g（x）为偶函数，故错误 令 ，

19、 ，所以 x6k，3+6k，故2，06k，3+6k，故 错误 令 （kZ），解得 x （kZ），所以函数的对称中心为 （ ， ）（kZ），故错误 令 解得 x3k，当 k1 时，x3，故正确 故选：D 12定义在0，+）上的函数 f（x）满足：f（x）+f（x） ， 其中 f（x） 表示 f（x）的导函数，若存在正数 a，使得 成立，则实数 x 的取值范围 是（ ） A1，2 B（，12，+） C1，01，2 D2，11，2 【分析】由已知可得exf（x） ，结合其结构特点考虑构造函数 g（x）exf（x）， 结合导数可判断相应函数的单调性，结合单调性即可求解不等式 解：由 f（x）+f（x）

20、 ，可得， ， 即exf（x） ， 令 g（x）exf（x），则 f（x） ，且 ， 故 ， 令 h（x） ，x0，则 ， 当 x ， 时，h（x）0，h（x）单调递增，当 x ， 时，h（x）0，h （x）单调递减， 故 h（x）maxh（ ）0，则 f（x）0， 故 f（x）在（0，+）上单调递减， 因为 ，当且仅当 即 a2 时取等号， 由题意 f（ ）， 因为 f（x）在0，+）上单调递减， 则 ， 解可得，1x0 或 1x2， 故选：C 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知向量 （2，1）， （4，3）， （1，），若（ ） ，则 2 【分析】根据题意

21、，用坐标表示出 ，根据两直线平行的坐标表示列式子计算即可得 答案 解：由题， ， ， ， ， （ ） ， 24， 2 故答案为：2 14二项式 的展开式中的常数项是 （用数字作答） 【分析】先求出其通项公式，再令 x 的指数为 0 即可求解 解： 因为二项式 的展开式得通项为： Tr+1 （ ） 6r （ ） r x2r 6； 令 2r60 得 r3； 故二项式 的展开式中的常数项是：（ ） 3 故答案为： 15在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC120且 ABAC3，BB14，则此三棱柱外接 球的表面积为 52 【分析】由题意可知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC3，BAC120，

22、AA14， 底面 ABC 的小圆半径为 2， 连接两个底面中心的连线， 中点与顶点的连线就是球的半径， 即可求出三棱柱的外接球的表面积 解：由题意可知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC3，BAC120，AA14， 底面小圆 ABC 的半径 r 满足：2r 6，即 r3， 连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为： R 三棱柱的外接球的表面积为：4 R252； 故答案为：52 16已知椭圆 C： 1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，且椭圆 C 与双曲线 C： 1 共焦点，若椭圆 C 与双曲线 C的一个交点 M 满足|MF1| |MF2|2，则 MF1F2

23、的面积是 1 【分析 】先将双曲线的方程 化成标准形式，再由 椭圆和双曲线的定义 可得 ，解得 ，再代入|MF1| |MF2|2，即可 解得 a 的值， 从而得|MF1|、 |MF2|和|F1F2|的长， 由勾股定理可知， MF1F2是直角三角形， 因此 解：将双曲线 C： 1 化成标准形式为 ， 不 妨 设 点M在 双 曲 线 的 右 支 上 ， 则 根 据 椭 圆 和 双 曲 线 的 定 义 ， 有 ，解得 |MF1| |MF2|2， ，解得 a2 或2（舍负）， ， ，双曲线的焦距 显然有 ， MF1F2是直角三角形， 故答案为：1 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证

24、明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且 （1）求角 A 的大小； （2）若 a ，b ，求ABC 的面积 【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求 cosA，进而可求 A； （2）由已知结合余弦定理可求 c，然后结合三角形的面积公式即可求解 解：（1） ， 由正弦定理可得， ， 所以 2sinBcosA+sinCcosAsinAcosC， 所以 2sinBcosA+sinCcosA+sinAcosC0， 即 2sin

25、BcosA+sin（C+A）0， 所以 2sinBcosA+sinB0， 因为 sinB0， 故 cosA ， 因为 A 为三角形的内角，故 A ， （2）a ，b ， 由余弦定理可得， ， 解可得 c ， SABC 124 18现有一种水上闯关游戏，共设有 3 个关口，如果在规定的时间内闯过了这 3 个关口，那 么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏假定小张、小王、小李闯过任何一个关口的概 率分别为 ， ， ，且各关口能否顺利闯过相互独立 （1）求小张、小王、小李分别闯关成功的概率； （2）记小张、小王、小李三人中闯关成功的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望 【分析】（1）记小张、小王、小李

26、闯关成功的事件分别为：A，B，C，求出概率 （2）易知 X 的所有可能取值为：0，1，2，3；求出概率，得到随机变量的分布列，然后 求解期望即可 解： （1） 记小张、 小王、 小李闯关成功的事件分别为： A， B， C， 则 P （A） ； P （B） ；P（C） ； （2）易知 X 的所有可能取值为：0，1，2，3；P（X0） ；P（X 1） ； P（X2） ， P（X3） 所有随机变量的分布列为： X 0 1 2 3 P 故 E（X）0 19如图，四边形 ABCD 为正方形，PACE，ABCE PA，PA平面 ABCD （1）证明：PE平面 DBE； （2）求二面角 BPDE 的正弦值的

27、大小 【分析】（1）连结 AC，推导出 BDAC，PABD，PAAD，从而 BD平面 APEC， 进而 BDPE，推导出 PEDE，由此能证明 PE平面 DBE （2）以 A 为原点，AD，AB，AP 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能求出二面角 BPDE 的正弦值 【解答】（1）证明：连结 AC，四边形 ABCD 是正方形，BDAC， PA平面 ABCD，PABD，PAAD， PAACA，BD平面 APEC， PE平面 APEC，BDPE， 设 AB1，则 AD1，PA2，PD ， 同理解得 DE ，要梯形 PACE 中，解得 PE ， PE2+DE2PD2，PE

28、DE， BDDED，PE平面 DBE （2）解：以 A 为原点，AD，AB，AP 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 令 AB1，则 CE，AP2， P（0，0，2），E（1，1，1），D（1，0，0），B（0，1，0）， （1，1，1）， （1，0，2）， （0，1，2）， （1，1，0）， 设平面 DPE 的法向量 （x，y，z）， 则 ，取 z1，得 （2，1，1）， 设平面 BPD 的法向量 （a，b，c）， 则 ，取 c1，得 （2，2，1）， 设二面角 BPDE 的平面角为 ， 则 cos ， 二面角 BPDE 的正弦值 sin 20已知抛物线 C：y24x 的焦点为

29、 F，过点 P（2，0）的直线 l 交抛物线 C 于 A（x1，y1） 和 B（x2，y2）两点 （1）当 x1+x28 时，求直线 l 的方程； （2）若过点 P（2，0）且垂直于直线 l 的直线 l与抛物线 C 交于 M，N 两点，记ABF 与MNF 的面积分别为 S1与 S2，求 S1S2的最小值 【分析】（1）判断直线 l 的斜率一定不为 0，可设直线 l 的方程为 xmy+2，联立抛物线 的方程，运用韦达定理和直线方程，化简整理，解方程可得 m，进而得到所求直线方程； （2）设直线 l 的方程为 xmy+2，联立抛物线的方程，运用韦达定理和三角形的面积公 式，可得 S1，同理可得 S

30、2，化简整理，由基本不等式，可得 S1S2的最小值 解：（1）直线 l 过定点 P（2，0），在 x 轴上，且直线 l 与抛物线相交，则斜率一定不 为 0， 可设直线 l 的方程为 xmy+2，联立抛物线的方程 y24x，可得 y24my80， 可得 y1+y24m，y1y28，所以 x1+x2my1+2+my2+2m（y1+y2）+44m2+4， 因为 x1+x28，所以 4m2+48，解得 m1， 所以直线 l 的方程为 xy20 或 x+y20； （2）设直线 l 的方程为 xmy+2，联立抛物线的方程可得 y24my80， 可得y1+y24m，y1y28，则S1 |PF|y1 y2 |

31、 2 ， 因为直线 MN 与直线 l 垂直，且当 m0 时，直线 l 的方程为 x2，此时直线 l的方程为 x0， 但此时直线 l与抛物线 C 没有两个交点，所以不符题意，所以 m0，所以直线 l 的斜率 为 ， 因此直线 MN 的斜率为m（m0），由点斜式方程可得直线 l的方程为 y0m（x 2），即 mx+y2m0， 联立抛物线的方程 y24x，消去 y，可得 m2x2（4m2+4）x+4m20， 设 M（x3，y3），N（x4，y4），可得 x3+x4 ，x3x44，则 y3y4m（2x3） m（2x4）m（x3x4）， 因此|y3y4|m| |x3x4|m| |m| ， 所以 S2 |

32、PF| |y3y4 | 1 ， 所以S1S22 4 4 4 4 12， 当且仅当 2m2 即 m1 时等号恒成立， 所以 S1S2的最小值为 12 21已知函数 g（x）exax2ax，h（x）ex2xlnx其中 e 为自然对数的底数 （1）若 f（x）h（x）g（x） 讨论 f（x）的单调性； 若函数 f（x）有两个不同的零点，求实数 a 的取值范围 （2）已知 a0，函数 g（x）恰有两个不同的极值点 x1，x2，证明： 【分析】（1）求出 f（x）并求导，解关于导函数的不等式即可得到单调区间；显 然 a0，分析可知只需 f（x）的最小值小于 0 即可满足条件，进而得解； （2）依题意，将

33、所证不等式转化为证明 ，再通过换元构造 新函数即可得证 解： （1）f（x）h（x）g（x）ex2xlnxex+ax2+axax2+（a2）xlnx（x0）， （x0）， （i）当 a0 时，f（x）0，函数 f（x）在（0，+）上递减； （ii）当 a0 时，令 f（x）0，解得 ；令 f（x）0，解得 ， 函数 f（x）在 ， 递减，在 ， 递增； 综上，当 a0 时，函数 f（x）在（0，+）上单调递减； 当 a0 时，函数 f（x）在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增； 由知，若 a0，函数 f（x）在（0，+）上单调递减，不可能有两个不同的零点， 故 a0； 且当 x0 时，f（x

34、）+；当 x+时，f（x）+； 故要使函数 f（x）有两个不同的零点，只需 ， 即 ， 又函数 在（0，+）上为增函数，且 ，故 的 解集为（0，1） 故实数 a 的取值范围为（0，1）； （2）证明：g（x）ex2axa，依题意， ，两式相减得， ， 要证 ，即证 ，即证 ， 两边同除以 ，即证 ， 令 tx1x2（t0），即证 ， 令 ，则 ， 令 ，则 ， 当 t0 时，p（t）0，p（t）在（，0）上递减， p（t）p（0）0， h（t）0， h（t）在（，0）上递减， h（t）h（0）0，即 ，故 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做

35、的 第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22以平面直角坐标系 xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立 极坐标系，已知过点 A（1，2）且斜率为 1 的直线 l1与曲线 C： ， （ 是参数）交于 P，Q 两点，与直线 l2：cos+2sin+40 交于点 N （1）求曲线 C 的普通方程与直线 l2的直角坐标方程； （2）若 PQ 的中点为 M，比较|PQ|与|MN|的大小关系，并说明理由 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和弦长公式的应用求出|MN|和|PQ|的长，

36、 进一步比较出结果 解：（1）曲线 C： ， （ 是参数）转换为直角坐标方程为（x3）2+（y 4）216 直线 l2：cos+2sin+40 根据 转换为直角坐标方程为 x+2y+40 （2）已知过点 A（1，2）且斜率为 1 的直线 l1的直角坐标方程为 xy10 所以 ，整理得 x28x+90， 设点 P（x1，y1），Q（x2，y2）， 所以中点 M（ ， ）， 根据一元二次方程根和系数关系式的应用， 解得 x1+x28，x1x29， 整理得：M（4，3） 联立 ，解得 ，即 N（ ， ）， 所以|MN| 根据弦长公式：|PQ| 由于 ， 所以|PQ|MN| 选修 4-5：不等式选讲

37、23已知函数 f（x）3|x2|3 （1）求不等式 |x+1|的解集； （2）若关于 x 的不等式 f（x）mx+m 恒成立，求实数 m 的取值范围 【分析】（1）不等式 |x+1|化为|x2|x+1|，去掉绝对值求出 x 的取值范 围； （2） 画出函数 f （x） 与函数 ymx+m 的图象， 结合图象求出满足条件时 m 的取值范围 解：（1）由函数 f（x）3|x2|3，则不等式 |x+1|可化为 3|x2|3+3 |x+1|， 得|x2|x+1|， 等价于（x2）2（x+1）2， 整理得 6x3， 解得 x ， 所以所求不等式的解集为（， ）； （2）函数 f（x）3|x2|3 ， ， ； 画出函数 f（x） ， ， 与函数 ymx+m 的图象，如图所示； 由图象知函数 yf（x）图象的最低点 N（2，3）， 函数 ymx+m 可化为 ym（x+1），其图象恒过点 M（1，0）， 又直线 MN 的斜率为 1， 直线 ym（x+1）以 M（1，0）为中心，在直线 l 和 MN 之间转动时（含边界）满足 条件；否则不满足条件； 所以3m1， 即不等式 f（x）mx+m 恒成立时，实数 m 的取值范围是3，1