上海市二校联考2020年高考数学二模试卷（含答案解析）

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1、1计算矩阵的乘积：（ab）( )     2  32  3n   3已知   ，则 sin 的值等于   4若双曲线 的焦距为 6，则该双曲线的虚轴长为   5在首项为 21，公比为 的等比数列中，最接近于 1 的项是第   项 6如图，二面角 l 的大小是 ，线段 AB，Bl，AB 与 l 所成的角为 ，则 AB 与平 面 所成的角是   （用反三角函数表示） 7已知 a，b，c 分别为ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，a2 且（2+b）（sinAsinB） （cb）sinC，则ABC

2、面积的最大值为   8已知函数 f（x）lg（x+1），g（x）是以 2 为周期的偶函数，且当 0x1 时，有 g（x） f（x），则函数 yg（x）（x1，2）的反函数是 y   9已知 yf（x）是定义在 R 上的函数，方程 f（2019+x）f（2020x）0 恰好有 7 个 解，则这 7 个解的和为   10 设 0. 是一个循环节长度为两位的循环纯小数， 其中 a 和 b 分别为 10 以内的非负整数， 且 ab，b0，若集合   ，  ，则 A 中所有元素的和为    11已知数列an满足   &nbs

3、p;为奇数 为偶数（nN *）， （k 是一个已知的 正整数），若存在 mN*，当 nm 且 an为奇数时，an恒为常数 p，则 p    12若实数 x，y 满足 2cos2（x+y1） ，则 xy 的最小值为    二.选择题 13 已知函数 yf （x） 是 R 上的增函数， 则对任意 x1， x2R， x1x2 是 f （x1） f （x2） 的（ ）条件 A充分非必要 B必要非充分  C充分必要 D非充分非必要 14已知 z11，   （bR），  ，则 z 对应的点在（ ） A圆上 B抛物线上 C双曲线上 D椭圆

4、上 15在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点 A，B 满足|  |  |   2，则 点集P|      ，|+|1，R所表示的区域的面积是（ ） A B C D  16已知 a1，a2，a3，a41，2，3，4，N（a1，a2，a3，a4）为 a1，a2，a3，a4中不同数字 的种类，如 N（1，1，2，3）3，N（1，2，2，1）2，求所有的 256 个（a1，a2，a3， a4）的排列所得的 N（a1，a2，a3，a4）的平均值为（ ） A  B  C  D  三.解答题

5、17如图所示，用一个半径为 10 厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面 上，被一阵风吹倒 （1）求该圆锥的表面积 S 和体积 V； （2）求该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离 d 18已知函数 f（x）Asin（x+）+b（A0，0，   ）的图象如图所示 （1）求出函数 f（x）的解析式； （2）若将函数 f（x）的图象向右移动 个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的 （纵 坐标不变）得到函数 yg（x）的图象，求出函数 yg（x）的单调递增区间及对称中心 19若函数 yf（x）满足存在正数 ，使得对定义域内的每一个值 x1，在其定义域内都 存在 x2，使 f（x1

6、）f（x2） 成立，则称该函数为依附函数 （1）分别判断函数f（x）2x，g（x）log2x 是否为依附函数，并说明理由；  （2）若函数 yh（x）的值域为m，n，求证：yh（x）是依附函数的充要条 件是0m，n 20如图，已知点 P 是 x 轴下方（不含 x 轴）一点，抛物线 C：yx2上存在不同的两点 A、 B 满足  ，  ，其中 为常数，且 D、E 两点均在 C 上，弦 AB 的中点为 M （1）若 P 点坐标为（1，2），3 时，求弦 AB 所在的直线方程； （2）在（1）的条件下，如果过 A 点的直线 l1与抛物线 C 只有一个交点，过 B 点的直线

7、 l2与抛物线 C 也只有一个交点，求证：若 l1和 l2的斜率都存在，则 l1与 l2的交点 N 在直 线 PM 上； （3） 若直线 PM 交抛物线 C 于点 Q， 求证： 线段 PQ 与 QM 的比为定值， 并求出该定值 21设数列an（nN*）是公差不为零的等差数列，满足 a3+a6a9，a5+a726a9；数列bn （nN*）的前 n 项和为 Sn，且满足 4Sn+2bn3 （1）求数列an、bn的通项公式； （2）在 b1和 b2之间插入 1 个数 x11，使 b1，x11，b2成等差数列；在 b2和 b3之间插入 2 个数 x21，x22，使 b2，x21，x22，b3成等差数列

8、；在 bn和 bn+1之间插入 n 个数 xn1， xn2，xnn，使 bn，xn1，xn2，xnn，bn+1成等差数列 （i）求 Tnx11+x21+x22+xn1+xn2+xnn； （ii）是否存在正整数 m，n，使 Tn 成立？若存在，求出所有的正整数对（m，n） ； 若不存在，请说明理由 参考答案 一.填空题 1计算矩阵的乘积：（ab）( )  （3aac） 【分析】利用矩阵的乘积运算法则即可得出 解：3a+b03a，ac+b0ac， （ab）( ) （3aac） 故答案为：（3aac） 2  32  3n  4n 【分析】根据二项式展开式定理，

9、逆用即可 解：  32  3n   3   32     3n （1+3）n 4n 故答案为：4n 3已知   ，则 sin 的值等于 【分析】把已知的等式左右两边平方，左边利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的 正弦函数公式化简，右边计算出结果，整理后即可求出 sin 的值 解：把   两边平方得： （sin cos ） 2（ ）2， 即 sin2 2sin cos cos 2 1+sin ， sin 故答案为： 4若双曲线 的焦距为 6，则该双曲线的虚轴长为 【分析】通过双曲线的焦距，求出 m，然后求解双曲线的

10、虚轴长 解：双曲线 的焦距为 6， 可得   ，解得 m 所以双曲线的虚轴长为：2 故答案为：2 5在首项为 21，公比为 的等比数列中，最接近于 1 的项是第 5 项 【分析】由已知可先求出数列的通项公式，进而可求 解：可得，等比数列的通项公式 an21  ，则数列单调递减， a51 1 ，1a61 ， 故当 n5 时，数列的项与 1 最接近 故答案为：5 6如图，二面角 l 的大小是 ，线段 AB，Bl，AB 与 l 所成的角为 ，则 AB 与平 面 所成的角是 arcsin （用反三角函数表示） 【分析】过点 A 作平面 的垂线，垂足为 C，在 内过 C 作 l 的垂

11、线，垂足为 D，连接 AD，可得ADC 为二面角 l 的平面角，连接 CB，则ABC 为 AB 与平面 所成 的角，在直角三角形 ABC 中即可求解 解：过点 A 作平面 的垂线，垂足为 C， 在 内过 C 作 l 的垂线，垂足为 D， 连接 AD，由三垂线定理可知 ADl， 故ADC 为二面角 l 的平面角，为 ， 又由已知，ABD ， 连接 CB，则ABC 为 AB 与平面 所成的角 设 AD2，则 AC ，CD1，AB 4 直线 AB 与平面 所成的角的正弦值 sinABC ， 即 AB 与平面 所成的角是 arcsin 故答案为：arcsin 7已知 a，b，c 分别为ABC 的三个内

12、角 A，B，C 的对边，a2 且（2+b）（sinAsinB） （cb）sinC，则ABC 面积的最大值为 【分析】由正弦定理化简已知可得 2ab2c2bc，结合余弦定理可求 A 的值，由基本 不等式可求 bc4，再利用三角形面积公式即可计算得解 解：因为：（2+b）（sinAsinB）（cb）sinC （2+b）（ab）（cb）c 2a2b+abb2c2bc， 又因为：a2， 所以：                  ， ABC 面积   ， 而 b2+c2a2bc b2+c2bca2 b2+

13、c2bc4 bc4 所以：   ，即ABC 面积的最大值为 故答案为： 8已知函数 f（x）lg（x+1），g（x）是以 2 为周期的偶函数，且当 0x1 时，有 g（x） f（x），则函数 yg（x）（x1，2）的反函数是 y 310x（x0，lg2） 【分析】结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解 解：当 x1，2时，2x0，1， yg（x）g（x2）g（2x）f（2x）lg（3x）， 由单调性可知 y0，lg2， 又x310y， 所求反函数是 y310x，x0，lg2 故答案为：310x，x0，lg2 9已知 yf（x）是定义在 R 上的函数，方程 f（2019+x）f（2020

14、x）0 恰好有 7 个 解，则这 7 个解的和为 3.5 【分析】构造函数 g（x）f（2019+x）f（2020x），则函数 g（x）满足 g（1x） g（x），即函数 g（x）关于直线 x 对称，所以方程 g（x）0 的 7 个解有一个根为 ，左右各对应 3 个根，从而求出这 7 个解的和 解：设 g（x）f（2019+x）f（2020x）， 则 g（1x）f（2020x）f（2019+x）， 函数 g（x）满足 g（1x）g（x）， 函数 g（x）关于直线 x 对称， 方程 g（x）0 的所有实数根也是关于 在数轴上对称分布， 一旦在 的左侧取到实数根，一定也能在 的右侧取到相应实数根，

15、且两根之和为 1， 方程 f（2019+x）f（2020x）0 恰好有 7 个解，即方程 g（x）0 恰好有 7 个解， 有一个根为 ，左右各对应 3 个根， 这 7 个解的和为 1+1+1 3.5， 故答案为：3.5 10 设 0. 是一个循环节长度为两位的循环纯小数， 其中 a 和 b 分别为 10 以内的非负整数， 且 ab，b0，若集合   ，  ，则 A 中所有元素的和为 143  【分析】 先由题意得到0. n ， 再利用列举法求出满足题意的n即可 解：由题意可知 0. ，n 又a 和 b 分别为 10 以内的非负整数， 且 ab，b0， 当 a0 时

16、，b1，3，9，此时 n 依次等于 99，33，11； 当 a0 时，n 均不存在 综合知：A99，11，33，故 A 中所有元素的和为 99+11+33143 故答案为：143 11已知数列an满足    为奇数 为偶数（nN *）， （k 是一个已知的 正整数），若存在 mN*，当 nm 且 an为奇数时，an恒为常数 p，则 p 1  【分析】推导出 anp，an+13p+1，an+2 p，由此能求出 p 解：若存在 mN*，当 nm 且 an为奇数时，an恒为常数 p， 则 anp，an+13p+1，an+2 p， 解得 p1 故答案为：1 12若实数 x

17、，y 满足 2cos2（x+y1） ，则 xy 的最小值为 【分析】配方可得 2cos2（x+y1） （xy+1） ，由基本不等式 可得（x+y+1） 2，或（xy+1） 2，进而可得 cos（x+y1） 1，xy ，由此可得 xy 的表达式，取 k0 可得最值 解：       ， 2cos2（x+y1） 2cos2（x+y1） ， 故 2cos2（x+y1） （xy+1） ， 由基本不等式可得（xy+1） 2，或（xy+1） 2， 2cos2（x+y1）2，由三角函数的有界性可得 2cos2（x+y1）2， 故 cos2（x+y1）1，即 cos（x+y1）1

18、，此时 xy+11，即 xy x+y1k，kZ，故 x+y2xk+1，解得 x ， 故 xyx x    ，当 k0 时，xy 的最小值 ， 故答案为： 二.选择题 13 已知函数 yf （x） 是 R 上的增函数， 则对任意 x1， x2R， x1x2 是 f （x1） f （x2） 的（ ）条件 A充分非必要 B必要非充分  C充分必要 D非充分非必要 【分析】利用增函数的定义即可判断出关系 解： 函数 yf （x） 是 R 上的增函数， 则对任意 x1， x2R， x1x2 f （x1） f （x2） ， 故选：C 14已知 z11，   （bR）

19、，  ，则 z 对应的点在（ ） A圆上 B抛物线上 C双曲线上 D椭圆上 【分析】由已知求得 z1，代入 z 化简得到 zb22bi，设 P（x，y），则   ，消 去 b 即可得到点 P 的轨迹 解：因为   ，所以 z1 ， 则  1（1bi）21b22bi， 复数 z 在复平面内所对应的点为 P（b2，2b）， 设 P（x，y），则   ，消去 b 得：y 24x（y0） 故 z 对应的点在抛物线上， 故选：B 15在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点 A，B 满足|  |  |   2，则 点集P|

20、      ，|+|1，R所表示的区域的面积是（ ） A B C D  【分析】由两定点 A，B 满足|  | |  |   2，说明 O，A，B 三点构 成边长为 2 的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出 P 点坐标，由平面向量基本定 理，把 P 的坐标用 A，B 的坐标及 ， 表示，把不等式|+|1 去绝对值后可得线性约 束条件，画出可行域可求点集 P 所表示区域的面积 解：由两定点 A，B 满足|  | |  |   2，  ，则|  |2 （  ）2 &

21、nbsp;  2   4，则|  |2，说明 O，A，B 三点构成边 长为 2 的等边三角形 不妨设 A（ ， ），B（ ， ）再设 P（x，y） 由  ，得： ，   ，   ，     ， 所以   ，解得 由|+|1 所以等价于 或 或 或 可行域如图中矩形 ABCD 及其内部区域， 则区域面积为     故选：D 16已知 a1，a2，a3，a41，2，3，4，N（a1，a2，a3，a4）为 a1，a2，a3，a4中不同数字 的种类，如 N（1，1，2，3）3，N（1，2，2，

22、1）2，求所有的 256 个（a1，a2，a3， a4）的排列所得的 N（a1，a2，a3，a4）的平均值为（ ） A  B  C  D  【分析】根据题意，依次分析 N（a1，a2，a3，a4）1、2、3、4 时的情况数目，结合不 同数字的种类的定义分析可得答案 解：根据题意，（a1，a2，a3，a4）的排列共有 256 种， 其中当 N（a1，a2，a3，a4）1 时，即排列中只有 1 个数字，有 4 种情况， 当 N （a1， a2， a3， a4） 2 时， 即排列中有 2 个不同的数字， 若有 3 个数字相同， 有 C42C43A22 48 种

23、情况， 若有 2 个数字相同，有 C42C4236 种情况， 此时有 48+3684 种情况， 当 N（a1，a2，a3，a4）3 时，即排列中有 3 个不同的数字，有 3C43C42A22144 种情 况， 当 N（a1，a2，a3，a4）3 时，即排列有 4 个不同的数字，有 A4424 种情况， 则 N（a1，a2，a3，a4）的平均值为          ； 故选：D 三.解答题 17如图所示，用一个半径为 10 厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面 上，被一阵风吹倒 （1）求该圆锥的表面积 S 和体积 V； （2）求该圆

24、锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离 d 【分析】（1）设圆锥底面半径为 r 厘米，母线的长为 l 厘米，则 l10 厘米，利用半圆 周长等于圆锥底面周长列式求得 r5 厘米，则表面积可求，再求出圆锥的高，则体积可 求 （2）由（1）知，圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为 10 厘米，可得最高点到底面的 距离为等边三角形的高 解：（1）设圆锥底面半径为 r 厘米，母线的长为 l 厘米，则 l10 厘米，且 2rl， 解得：r5 厘米， 表面积 Srl50（平方厘米）， 圆锥的高     （厘米）， 体积    （立方厘米） （2）由（1）知，圆锥的轴截面为等

25、边三角形，且边长为 10 厘米， 最高点到底面的距离为等边三角形的高，   厘米 故该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离 d 厘米 18已知函数 f（x）Asin（x+）+b（A0，0，   ）的图象如图所示 （1）求出函数 f（x）的解析式； （2）若将函数 f（x）的图象向右移动 个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的 （纵 坐标不变）得到函数 yg（x）的图象，求出函数 yg（x）的单调递增区间及对称中心 【分析】 （1） 由函数的图象的顶点坐标求出 A 和 b， 由周期求出 ， 最高点求出 的值， 可得函数的解析式 （2）由题意利用正弦函数的单调性，以及图象的对称性

26、，求出函数 yg（x）的单调递 增区间及对称中心 解：（1）由函数 f（x）的图象可得   ，解得： 又由 得：  ，   而  得： ，kZ，   ，  ， 综上：       （2）显然       ， 由   ， kZ， 得 g （x） 的单调递增区间为   ，  ， kZ， 由  ，kZ 得：对称中心是  ， ，kZ 19若函数 yf（x）满足存在正数 ，使得对定义域内的每一个值 x1，在其定义域内都 存在 x2，使

27、f（x1）f（x2） 成立，则称该函数为依附函数 （1）分别判断函数f（x）2x，g（x）log2x 是否为依附函数，并说明理由；  （2）若函数 yh（x）的值域为m，n，求证：yh（x）是依附函数的充要条 件是0m，n 【分析】（1）根据依附函数的定义直接判断即可； （2）从必要性及充分性两个角度，利用反正法求证即可 解：（1）可取 1，则对任意 x1R，存在 x2x1R，使得     成立， （说明：可取任意正数 ，则 x2log2x12 分） f（x）2x是依附函数， 对于任意正数 ，取 x11，则 g（x1）0， 此时关于 x2的方程 g（x1）g（x2

28、） 无解， g（x）log2x 不是依附函数 （2）证明：必要性：（反证法）假设 0m，n， yh（x）的值域为m，n，存在定义域内的 x1，使得 h（x1）0， 对任意正数 ，关于 x2的方程 h（x1）h（x2） 无解， 即 yh（x）不是依附函数，矛盾， 充分性：假设 0m，n，取 mn0， 则对定义域内的每一个值 x1，由 h（x1）m，n，可得  ， ， ， 而 yh（x）的值域为m，n， 存在定义域内的 x2，使得 ，即 h（x1）h（x2） 成立， yh（x）是依附函数 20如图，已知点 P 是 x 轴下方（不含 x 轴）一点，抛物线 C：yx2上存在不同的两点 A、

29、B 满足  ，  ，其中 为常数，且 D、E 两点均在 C 上，弦 AB 的中点为 M （1）若 P 点坐标为（1，2），3 时，求弦 AB 所在的直线方程； （2）在（1）的条件下，如果过 A 点的直线 l1与抛物线 C 只有一个交点，过 B 点的直线 l2与抛物线 C 也只有一个交点，求证：若 l1和 l2的斜率都存在，则 l1与 l2的交点 N 在直 线 PM 上； （3） 若直线 PM 交抛物线 C 于点 Q， 求证： 线段 PQ 与 QM 的比为定值， 并求出该定值 【分析】（1）设 A（x1，y1），B（x2，y2），求出 D、E 坐标，设 A（3，9），B（1

30、， 1），然后判断求解弦 AB 所在的直线方程 （2）设 l1：y9k1（x3），与 C：y2x 联立，并令0，可得 k16，同理 l2的斜 率 k22，求出交点坐标，然后推出直线 PM 的方程即可 （3）设 P（x0，y0），设出 A、B 坐标，由  ，求出     ， ，代入 yx2，说明 x1、x2是方程           的两个不同的根，利用韦达 定理，求出 P、Q 坐标，然后求解线段比例即可 【解答】（1）解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），由  ，  ， 可得  

31、  ， ，    ， ， 由 D 点在 C 上可得：    ，化简得：  ，同理可得： ， A、B 两点不同，不妨设 A（3，9），B（1，1）， 弦 AB 所在的直线方程为 2xy+30 （2）证明：由（1）可知，A（3，9），B（1，1），设 l1：y9k1（x3）， 与 C：y2x 联立，并令0，可得 k16，同理 l2的斜率 k22， l1：6xy90，l2：2x+y+10， 解方程组得：交点 N（1，3），而直线 PM 的方程为 x1，得证 （3） 证明： 设 P （x0， y0） ，   ，  ， &n

32、bsp; ，  ， 由  ， 得     ， ， 代入 yx2，化简得：  ， 同理可得：  ， 显然 x1x2，x1、x2是方程           的两个不同的根， x1+x22x0，  ，  ，即直线 PM 的方程为 xx0，  ，   ，    ，     ， 线段 PQ 与 QM 的比为定值   21设数列an（n一、选择题*）是公差不为零的等差数列，满足 a3+a6a9，a5+a726

33、a9； 数列bn（nN*）的前 n 项和为 Sn，且满足 4Sn+2bn3 （1）求数列an、bn的通项公式； （2）在 b1和 b2之间插入 1 个数 x11，使 b1，x11，b2成等差数列；在 b2和 b3之间插入 2 个数 x21，x22，使 b2，x21，x22，b3成等差数列；在 bn和 bn+1之间插入 n 个数 xn1， xn2，xnn，使 bn，xn1，xn2，xnn，bn+1成等差数列 （i）求 Tnx11+x21+x22+xn1+xn2+xnn； （ii）是否存在正整数 m，n，使 Tn 成立？若存在，求出所有的正整数对（m，n） ； 若不存在，请说明理由 【分析】（1）

34、设数列an的公差为 d，（d0），利用等差数列的通项公式求出 d1， 从而 ann再由 4Sn+2bn3，当 n2 时，4Sn1+2bn13，推导出bn是首项为 ，公 比为 的等比数列，由此能求出 b n （2）（i） 在bn和bn1之间插入n个数  ，  ， ，  ， 推导出  ， 从而 xnkbn+kdn ，进而 Tnx11+x21+xn1+xn2+xnn ，由此利用错位相减法能求出 Tn （ii）m 2 ，当 n1 时，m2 3N*，当 n2 时，m 2 9 *，当 n3 时，m2+13N*，再证明当 n4（nN*）时，3n6n90，由 此能求出所

35、有的正整数对 解：（1）设数列an的公差为 d，（d0）， 则由 a3+a6a9，得（a1+2d）+（a1+5d）a1+8d，a1d， a5+a726a9，（a1+4d）+（a1 +6d）26（a1+8d）， 将 a1d 代入上式，得 5d+49d254d，49d249d， d0，d1，ann 由 4Sn+2bn3， 当 n2 时，4Sn1+2bn13， ，得 4bn+2bn2bn10，  ，（n2）， 又 4b1+2b13，  0， bn是首项为 ，公比为 的等比数列， bn ，（nN*） （2）（i）在 bn和 bn1之间插入 n 个数  ， ，  

36、， bn，x n1 ，x n2，xnm ，b n+1成等差数列，设公差为 dn，  ， 则 xnkbn+kdn ， n ， Tnx11+x21+x n1+xn2+xnn ， 则 ， ，得 T n （1 ） ， Tn （ii）假设存在正整数 m，n，使 Tn 成立，  m 2 ， 当 n1 时，m2 3N*， 当 n2 时，m2 9N *， 当 n3 时，m2+13N*， 下证，当 n4（nN*）时，有 3n2n34n+6，即证 3n6n90， 设 f（x）3x6x9，x4，则 f（x）3xln363x60， f（x）在4，+）上单调递增， 故 n4 时，3n6n934649480， 0 1， n4 时，m 不是整数， 所有的正整数对（m，n）为（9，2）及（3，3）