江西省九江市2020届高考第三次模拟考试数学试题(理科)含答案解析
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1、2020 年高考数学三模试卷(理科)年高考数学三模试卷(理科) 一、选择题(共 12 小题). 1复数 z 的虚部为( ) A i B C i D 2若集合 , ,则 AB( ) Ax|x5 Bx|2x4 Cx|2x5 Dx|1x4 3 若数列an为等比数列, 则 “a2, a4是方程 x23x+10 的两根” 是 “a31” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4抛物线 yax2上一点 , 到其准线的距离为( ) A B C D 5若 a,b 为正实数,直线 2x+(2a3)y+20 与直线 bx+2y10 互相垂直,则 ab 的最 大值为(
2、) A B C D 6 如图是九江市 2019 年 4 月至 2020 年 3 月每月最低气温与最高气温 () 的折线统计图: 已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数 r0.83,则下列结论错误的是( ) A每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性,且二者为线性正相关 B月温差(月最高气温月最低气温)的最大值出现在 10 月 C912 月的月温差相对于 58 月,波动性更大 D每月最高气温与最低气温的平均值在前 6 个月逐月增加 7 2019 年 11 月 26 日, 联合国教科文组织宣布 3 月 14 日为 “国际数学日” (昵称: day) , 2020 年 3 月 14 日是第一个“国
3、际数学日”圆周率 是圆的周长与直径的比值,是一 个在数学及物理学中普遍存在的数学常数 有许多奇妙性质,如莱布尼兹恒等式 ,即为正奇数倒数正负交错相加等小红设计了如图所示的程序 框图,要求输出的 T 值与 非常近似,则、中分别填入的可以是( ) AS(1)i 1 ,ii+2 BS(1)i 1 ,ii+1 CSS+(1)i 1, ii+2 DSS+(1)i 1 ,ii+1 8 在一个不透明的盒子中装有 4 个大小、 形状、 手感完全相同的小球, 分别标有数字 1, 2, 3,4现每次有放回地从中任意取出一个小球,直到标有偶数的球都取到过就停止小 明用随机模拟的方法估计恰好在第 4 次停止摸球的概率
4、,利用计算机软件产生随机数, 每 1 组中有 4 个数字,分别表示每次摸球的结果,经随机模拟产生了以下 21 组随机数: 由此可以估计恰好在第 4 次停止摸球的概率为( ) 1314 1234 2333 1224 3322 1413 3124 4321 2341 2413 1224 2143 4312 2412 1413 4331 2234 4422 3241 4331 4234 A B C D 9函数 f(x)e|x|xsinx1 的图象大致是( ) A B C D 10设双曲线 : , 的左、右焦点分别为 F1,F2,过点 F2的直线分 别交双曲线左、右两支于点 P,Q,点 M 为线段 P
5、Q 的中点,若 P,Q,F1都在以 M 为 圆心的圆上,且 ,则双曲线 C 的离心率为 A B2 C D2 11如图所示,三棱锥 S 一 ABC 中,ABC 与SBC 都是边长为 1 的正三角形,二面角 A BCS 的大小为 , 若 S, A, B, C 四点都在球 O 的表面上, 则球 O 的表面积为 ( ) A B C D3 12已知函数 , , ,若不等式 恰有两个整数解,则 m 的个数为( ) A6 B7 C8 D9 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13已知向量 , , , ,若 与 共线,则实数 x 的值为 14若二项式 的展开式中各项系数和为 256,
6、则展开式中的常数项为 15设等差数列an满足:a13,公差 d (0,10),其前 n 项和为 Sn若数列 也 是等差数列,则 的最小值为 16在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,点 M,N 分别是棱 B1C1,C1D1的中点,过 A,M,N 三点作正方体的截面,将截面多边形向平面 ADD1A1作投影,则投影图形的面 积为 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17在ABC 中,三内角 A,B,C 满足 ()判断ABC 的形状; ()若点 D 在线段 AC 上,且 CD2DA, ,求 tanA 的值 18已知正;ABC 边长为 3,
7、点 M,N 分别是 AB,AC 边上的点,ANBM1,如图 1 所示将AMN 沿 MN 折起到PMN 的位置,使线段 PC 长为 ,连接 PB,如图 2 所 示 ()求证:平面 PMN平面 BCNM; ()若点 D 在线段 BC 上,且 BD2DC,求二面角 MPDC 的余弦值 19如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 E: 1(ab0)的离心率 为 ,A 为椭圆 E 上位于第一象限上的点,B 为椭圆 E 的上顶点,直线 AB 与 x 轴相交 于点 C,|AB|AO|,BOC 的面积为 6 ()求椭圆 E 的标准方程; ()设直线 l 过椭圆 E 的右焦点,且与椭圆 E 相交于 M
8、,N 两点(M,N 在直线 OA 的 同侧),若CAMOAN,求直线 l 的方程 20已知函数 ,存在极小值点 x0,f(x0)0 ()求 a 的取值范围; ()设 m,n0,且 mn,求证: 21为筛查在人群中传染的某种病毒,现有两种检测方法: (1)抗体检测法:每个个体独立检测,每一次检测成本为 80 元,每个个体收取检测费 为 100 元 (2)核酸检测法:先合并个体,其操作方法是:当个体不超过 10 个时,把所有个体合 并在一起进行检测 当个体超过 10 个时,每 10 个个体为一组进行检测若该组检测结果为阴性(正常), 则只需检测一次;若该组检测结果为阳性(不正常),则需再对每个个体
9、按核酸检测法 重新独立检测,共需检测 k+1 次(k 为该组个体数,1k10,k N*)每一次检测成 本为 160 元 假设在接受检测的个体中, 每个个体的检测结果是阳性还是阴性相互独立, 且每个个体是阳性结果的概率均为 p(0p1) ()现有 100 个个体采取抗体检测法,求其中恰有一个检测出为阳性的概率; ()因大多数人群筛查出现阳性的概率很低,且政府就核酸检测法给子检测机构一定 的补贴, 故检测机构推出组团选择核酸检测优惠政策如下: 无论是检测一次还是 k+1 次, 每组所有个体共收费 700 元(少于 10 个个体的组收费金额不变)已知某企业现有员工 107 人,准备进行全员检测,拟准
10、备 9000 元检测费,由于时间和设备条件的限制,采用 核酸检测法合并个体的组数不得高于参加采用抗体检测法人数,请设计一个合理的的检 测安排方案; ()设 ,现有 n(n N *且 2n10)个个体,若出于成本考虑,仅采用一 种检测方法, 试问检测机构应采用哪种检测方法? (ln31.099, ln41.386, ln51.609, ln61.792) 请考生在第 22-23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.(本小题满分 5 分)选 修 4-4:坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 t 为参数),以原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴
11、建立极坐标系 ()写出曲线 C 的普通方程和极坐标方程; ()M,N 为曲线 C上两点,若 OMON,求|MN|的最小值 选修 4-5:不等式选讲 23定义区间(x1,x2)(x2x1)的长度为 x2x1,已知不等式|xm| |x1|+1x(m R) 的解集区间长度为 1 ()求 m 的值; ()若 a,b R,ab0,a+bm,求 的最小值及此时 a,b 的值 参考答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1复数 z 的虚部为( ) A i B C i D 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 解
12、:z , 复数 z 的虚部为 故选:D 2若集合 , ,则 AB( ) Ax|x5 Bx|2x4 Cx|2x5 Dx|1x4 【分析】求出集合 A 和 B,由此能求出 AB 解:集合 , , Ax|1x5,Bx|2x4, ABx|2x5 故选:C 3 若数列an为等比数列, 则 “a2, a4是方程 x23x+10 的两根” 是 “a31” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】“a2,a4是方程 x23x+10 的两根” 1“a31”;反之, 满足“a31”的一元二次方程有无数个 解:数列an为等比数列, “a2,a4是方程 x23x+1
13、0 的两根”, 1,“a31”; 反之,满足“a31”的一元二次方程有无数个, “a2,a4是方程 x23x+10 的两根”是“a31”的充分不必要条件 故选:A 4抛物线 yax2上一点 , 到其准线的距离为( ) A B C D 【分析】求出 a,然后利用抛物线的定义转化求解即可 解:抛物线 yax2上一点 , ,可得: ,解得 a2; 抛物线 y2x2,即 x2 ,准线方程为:y 抛物线 y2x2上一点 , 到其准线的距离为: 故选:B 5若 a,b 为正实数,直线 2x+(2a3)y+20 与直线 bx+2y10 互相垂直,则 ab 的最 大值为( ) A B C D 【分析】由两直线
14、垂直求出 2a+b3,再利用基本不等式求出 ab 的最大值 解:由直线 2x+(2a3)y+20 与直线 bx+2y10 互相垂直, 所以 2b+2(2a3)0, 即 2a+b3; 又 a、b 为正实数,所以 2a+b2 , 即 2ab ,当且仅当 a ,b 时取“”; 所以 ab 的最大值为 故选:B 6 如图是九江市 2019 年 4 月至 2020 年 3 月每月最低气温与最高气温 () 的折线统计图: 已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数 r0.83,则下列结论错误的是( ) A每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性,且二者为线性正相关 B月温差(月最高气温月最低气温)的最大值出
15、现在 10 月 C912 月的月温差相对于 58 月,波动性更大 D每月最高气温与最低气温的平均值在前 6 个月逐月增加 【分析】由所给的折线图,可以进行分析得到 ABC 正确,D 错误 解:每月最低气温与最高气温的线性相关系数 r0.83,可知每月最低气温与最高气温有 较强的线性相关性,且二者为线性正相关, 由所给的折线图可以看出月温差(月最高气温月最低气温)的最大值出现在 10 月,9 12 月的月温差相对于 58 月,波动性更大, 每月的最高气温与最低气温的平均值在前 5 个月逐月增加, 第六个月开始减少, 所以 ABC 正确,D 错误; 故选:D 7 2019 年 11 月 26 日,
16、 联合国教科文组织宣布 3 月 14 日为 “国际数学日” (昵称: day) , 2020 年 3 月 14 日是第一个“国际数学日”圆周率 是圆的周长与直径的比值,是一 个在数学及物理学中普遍存在的数学常数 有许多奇妙性质,如莱布尼兹恒等式 ,即为正奇数倒数正负交错相加等小红设计了如图所示的程序 框图,要求输出的 T 值与 非常近似,则、中分别填入的可以是( ) AS(1)i 1 ,ii+2 BS(1)i 1 ,ii+1 CSS+(1)i 1, ii+2 DSS+(1)i 1 ,ii+1 【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 T 4S 的值,模拟程序的运
17、行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案 解:依题意,输出的 T4S4(1 ) 由题意可知循环变量 i 的初值为 1,终值为 2010,步长值为 1,循环共执行 2010 次,可 得中填入的可以是 ii+1, 又 S 的值为正奇数倒数正负交错相加,可得中填入的可以是 SS+(1)i 1 , 故选:D 8 在一个不透明的盒子中装有 4 个大小、 形状、 手感完全相同的小球, 分别标有数字 1, 2, 3,4现每次有放回地从中任意取出一个小球,直到标有偶数的球都取到过就停止小 明用随机模拟的方法估计恰好在第 4 次停止摸球的概率,利用计算机软件产生随机数, 每 1 组中有 4 个数字,分别表
18、示每次摸球的结果,经随机模拟产生了以下 21 组随机数: 由此可以估计恰好在第 4 次停止摸球的概率为( ) 1314 1234 2333 1224 3322 1413 3124 4321 2341 2413 1224 2143 4312 2412 1413 4331 2234 4422 3241 4331 4234 A B C D 【分析】在 21 组随机数中,利用列举法求出代表“恰好在第 4 次停止摸球”的随机数共 6 组,由此能估计恰好在第 4 次停止摸球的概率 解:在 21 组随机数中,代表“恰好在第 4 次停止摸球”的随机数是: 1234,1224,3124,1224,4312,22
19、34,共 6 组, 恰好在第 4 次停止摸球的概率 P 故选:A 9函数 f(x)e|x|xsinx1 的图象大致是( ) A B C D 【分析】易知函数 f(x)为偶函数,且当 x (0,+)时,f(x)单调递增,结合指数 函数的图象及性质即可得解 解:函数 f(x)为偶函数,当 x0 时,由常见不等式 exx+1 可知,f(x)exsinx xcosxx+1sinxxcosxx(1cosx)+1sinx0, 函数 f(x)在(0,+)上单调递增, 又由指数函数增长性可知,选项 B 符合题意 故选:B 10设双曲线 : , 的左、右焦点分别为 F1,F2,过点 F2的直线分 别交双曲线左、
20、右两支于点 P,Q,点 M 为线段 PQ 的中点,若 P,Q,F1都在以 M 为 圆心的圆上,且 ,则双曲线 C 的离心率为 A B2 C D2 【分析】判断 PQMF1,则|PF1|QF1|,说明三角形 PF1Q 是等腰直角三角形,设|PF1| t, 利用双曲线的定义求出|PF2| , 在 RtMF1F2中, 结合勾股定理推出 2 a 2c,即可求解双曲线 C 的离心率 解:以 PQ 为直径的圆经过点 F1,则 ,又 , 可知 PQMF1,则|PF1|QF1|,故三角形 PF1Q 是等腰直角三角形, 设|PF1|t,则|PQ| t, 由双曲线的定义可知:|PF2|t+2a,|QF2|t2a,
21、可得|PQ|4a, 则 t4a,即 t2 a,则:|PF2| , 在 RtMF1F2中,|MF1 | 2a,|MF2|PF1|PM|2 a, 由勾股定理可知|F1F2|2 a2c, 则双曲线 C 的离心率为:e 故选:C 11如图所示,三棱锥 S 一 ABC 中,ABC 与SBC 都是边长为 1 的正三角形,二面角 A BCS 的大小为 , 若 S, A, B, C 四点都在球 O 的表面上, 则球 O 的表面积为 ( ) A B C D3 【分析】取线段 BC 的中点 D,连结 AD,SD,由题意得 ADBC,SDBC,ADS 是 二面角 ABCS 的平面角,ADS ,由题意得 BC平面 A
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