2020年6月福建省宁德市普通高中毕业班质量检查理科数学试卷（含答案）

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1、理科数学共 5 页第 1 页 2020 届宁德市普通高中毕业班 6 月质量检查试卷理科数学本试卷共 23 题，共 150 分，共 5 页注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上考生要认真核对答题卡上粘贴的“姓名、准考证号、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号非选择题用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答若在试题卷上作答，答案无效 3考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5

3、 2 5某数学小组在国际数学日（每年 3 月 14 日）开展相关活动，其中一个活动是用随机模拟实验的方法获得的近似值现通过计算器随机获得 500 个点的坐标( , )x y（01,x 01y），其中有 399 个点的坐标满足 22 1xy，据此可估计的值约为 A3.19 B3.16 C3.14 D3.11 6已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的实轴长为4，且两条渐近线夹角为60，则该双曲线的焦距为 A 4 3 3 B8 C4或 4 3 3 D8或 8 3 3 理科数学共 5 页第 2 页 7著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”音乐中使用的乐音在高度上

4、不是任意定的,它们是按照严格的数学方法确定的我国明代的数学家、音乐理论家朱载堉创立了十二平均律，是第一个利用数学使音律公式化的人十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成 13 个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数如下表所示，其中 1213 ,a aa表示这些半音的频率，它们满足 12 1 2 log1(1,2,12) i i a i a 若某一半音与 # D的频率之比为 3 2，则该半音为频率 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 13 a 半音 C # C D # D E F # F G #

5、G A # A B C（八度） A # F B G C # G DA 8已知函数tan()(0,) 2 yx 的最小正周期为 2 ，其图象过点 0, 3，则其对称中心为 A(,0)() 46 k k Z B(,0)() 412 k k Z C(,0)() 26 k k Z D(,0)() 212 k k Z 9某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A 47 2 B47 C 87 2 D 87 2 10已知函数 2 1,2, ( ) log,2, x f x xx 则不等式(21)(4 )fxfx的解集为 A 11 , 64 B 11 , 42 C, 11, D 11 , 22

6、11若面积为1的ABC满足=2ABAC，则边BC的最小值为 A1 B2 C3 D2 12当 , xm n时，函数 2 ( )sincos2310f xxxxx 恒成立，则nm的最大值为 A 5 2 B2 C 3 2 D1 俯视图 2 2 3 3 1 11 1 正视图侧视图理科数学共 5 页第 3 页二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13若命题“ 0 1,2x ， 0 0xa”为假命题，则实数a的最小值为_ 14执行右图所示的程序框图，运行相应的程序若输入的 , ,a b c分别为 1.5 0.6， 0.6 1.5， 0.6 log1.5 ，则输出的结果为 _ （结果用

7、, ,a b c表示） 15已知点2,0A ， 2,0B，动点P满足APB且 2 cos1 2 PAPB ，则点P的轨迹方程为_ 16已知四棱锥SABCD，底面ABCD是边长为6的菱形, ACBDO，SO 底面ABCD且8SO 若此四棱锥的内切球的表面积为16，则该四棱锥的体积为_ 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12分）已知等差数列 n a中， 1 1a 且 1 a， 2 a， 7 4a 成等比数列数

8、列 n b的前n项和为 n S，满足321 nn bS (1)求数列 n a， n b的通项公式； (2)将数列 n a和 n b的公共项 1 k a ， 2 k a ， n k a 按原来的顺序组成新的数列，试求数列 n k的通项公式，并求该数列的前n项和 n T 否否结束开始输入a，b，c x=a bx c x 是 x=b 输出x 是 x=c 理科数学共 5 页第 4 页 18 （12分）如图，在ABC中，ACBC，30BAC，4AB ，,E F分别为,AC AB的中点 PEF是由AEF绕直线EF旋转得到，连结AP，BP，CP （1）证明：AP 平面BPC；（2）若P

9、C与平面ABC所成的角为60，求二面角 PCFB的余弦值 19 （12分）某药业公司统计了20102019年这10年某种疾病的患者人数，结论如下：该疾病全国每年的患者人数都不低于100万，其中有 3 年的患者人数低于200万，有6年的患者人数不低于200万且低于300万，有 1 年的患者人数不低于300万（1）药业公司为了解一新药品对该疾病的疗效，选择了200名患者，随机平均分为两组作为实验组和对照组实验结束时，有显著疗效的共110人，实验组中有显著疗效的比率为70%请完成如下的22列联表，并根据列联表判断是否有99.9%把握认为该药品对该疾病有显著疗效；实验组对照组合计

10、有显著疗效无显著疗效合计 200 （2）药业公司最多能引进 3 条新药品的生产线，据测算，公司按如下条件运行生产线：该疾病患者人数（单位：万） 100200x 200300x 300x 最多可运行生产线数 1 2 3 每运行一条生产线，可产生年利润6000万元，没运行的生产线每条每年要亏损1000万元根据该药业公司这10年的统计数据，将患者人数在以上三段的频率视为相应段的概率，假设各年的患者人数相互独立欲使该药业公司年总利润的期望值达到最大，应引进多少条生产线？附： 2 2 () ()()()( + ) n adbc K ab cd ac b d ，其中nabcd 参考数据

11、： 2 0 ()P Kk 0.05 0.025 0.010 0.001 0 k 3.841 5.024 6.635 10.828 P F E B CA 理科数学共 5 页第 5 页 20 （12分）已知函数 e1 ( )ln(0) x f xaxa xx （1）讨论( )f x的单调性；（2）若( )(1)ln0xf xaxx，求a的取值范围 21 （12分）在平面直角坐标系xOy中，动直线AB交抛物线 2 :4yx于A，B两点（1）若90AOB，证明直线AB过定点，并求出该定点；（2）点M为AB的中点，过点M作与y轴垂直的直线交抛物线于C点；点N为AC的中点，过点N作与

12、 y轴垂直的直线交抛物线于点P设 ABC的面积为 1 S， APC 的面积为 2 S （i）若AB过定点(2,1)，求使 1 S取最小值时，直线AB的方程；（ii）求 1 2 S S 的值 (二二)选考题：共选考题：共 10 分分请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分一题记分 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 cos , sin xr yr （为参数，0r ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 cos()2

13、2 4 ，且直线l与曲线C相交于A，B两点（1）求曲线C的普通方程和l的直角坐标方程；（2）若4r ，点4 0P,满足 11 = 2 PAPB ，求此时r的值 23 选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数 1f xxax (1)当0a 时，求不等式 1f x 的解集A (2)设 3 2 f xx的解集为B，若AB，求实数a的值理科数学答案与评分细则第 1 页共 10 页 2020 年宁德市普通高中毕业班质量检查试卷（6.6）数学（理科）参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试

14、题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分分，满分 60 分分 1C 2B 3B 4D 5A 6D 7B 8A 9C 10D 11C 12C 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题二、填

15、空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 132 14b 15 2 2 1 3 x y 1664 2 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，满分小题，满分 70 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17本小题主要考查等差、等比数列的通项公式、求和等基础知识，考查运算求解能力，逻辑推理能力，化归与转化思想等满分 12 分解：（1）设等差数列 n a 的公差为d，因为 1 1a， 1 a， 2 a， 7 4a成等比数列，所以 2 172 (4)a aa，即 2 111 (64)()a ada

16、d.1 分 2 1 (63)(1)dd，解得2d.2 分所以21 n an.3 分当1n 时， 11 321 n bSb，.4 分因为321 nn bS，得 11 321 nn bS，(2)n 所以 11 (32)(32)0 nnnn bSbS，得 1 3 nn bb，所以数列 n b 是首项为 1，公比 3q 的等比数列，.5 分理科数学答案与评分细则第 2 页共 10 页所以 1 3 n n b .6 分（2）依题意，得 n kn ab，.8 分由（1）得 1 213 n n k， 11 3131 222 nn n k .9 分所以 0121 1 (3333) 22

17、 n n n T 31 424 n n 12 分（注：第（注：第（2 2）题，若学生由特殊项入手也能正确得出）题，若学生由特殊项入手也能正确得出 n k，扣，扣 1 1 分）分） 18本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等满分 12 分解法一：（1）因为PEF是AEF绕EF旋转得到的，且E为AC中点，所以AEECEP 所以APPC 2 分又因为F为AB的中点，所以/ /EFBC, 又BCAC, 所以EFAC，从而EFEP，又ACEPE，所以EF平面ACP，即BC平

18、面ACP，又AP平面ACP，所以BCAP，4 分又APPC且PCBCC，所以AP平面BPC5 分（2）由（1）得EF平面AEP，因为EF平面ABC，所以平面ABC平面ACP 过点P作PMAC，交AC于M 又平面ACP平面ABCAC，故PM平面ABC，所以PCM为PC与平面ABC所成的角，6 分所以60PCM， P M F E AC B z x y 理科数学答案与评分细则第 3 页共 10 页又ECEP,所以PEC为等边三角形，得M为EC中点，由BC平面ACP，ACBC 分别以,CA CB为 , x y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz， 7 分 (0,0

19、,0)C ，(2 3,0,0)A， (0,2,0)B ，( 3,1,0)F， 3 (,0,0) 2 M， 33 (,0, ) 22 P，易得平面CFB的一个法向量为 1 (0,0,1)n，8 分 ( 3,1,0)CF， 33 (,0, ) 22 CP 设 2 ( , , )x y zn为平面PCF的一个法向量，则： 2 2 0, 0, CF CP n n ，即得 30 33 0 22 xy xz ，令 3x ，得 2 ( 3, 3, 1) n， 10 分 12 12 12 13 cos, 13 nn n n n n 11 分又因为二面角PCFB的大小为钝角，故二面角PCFB的余弦值为 1

20、3 13 12 分解法二：（1）因为PEF是AEF绕EF旋转得到的，所以EPAE，又因为E为AC的中点，所以AEECEP 所以 2 APC，即APPC，2 分同理，AFBFPF，得APBP，4 分又BPCPP，所以AP平面BPC.5 分（2）由（1）得APBC，又ACBC，所以BC 平面APC，又因为BC 平面ABC，所以平面ABC平面ACP. 过点P作PMAC，垂足为M，因为平面ACP平面ABCAC，所以PM平面ABC，所以PCM为PC与平面ABC所成的角，6 分理科数学答案与评分细则第 4 页共 10 页 N P M F E AC B x y z 所以60P

21、CM，因为ECEP,所以PEC为等边三角形，所以M为EC中点，取FB的中点N,连接MN，所以/ /MNEF，所以MN平面PAC，分别以MN，MC，MP为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系 Mxyz7 分 (0,0,0)M ， 3 3 (0,0) 2 A， 3 (2,0) 2 B， 3 (0,0) 2 C， 3 (1,0) 2 F， 3 (0,0, ) 2 P，易得平面CFB的一个法向量为 1 (0,0,1)n，8 分 (1,3,0)CF， 3 3 (0, ) 22 CP 设 2 ( , , )x y zn为平面PCF的一个法向量，则： 2 2 0, 0, CF CP n n ，即得

22、 30 33 0 22 xy yz ，令3y，得 2 (3, 3,1)n，10 分 12 12 12 13 cos, 13 nn n n n n 11 分因为二面角PCFB的平面角为钝角，故二面角PCFB的余弦值为 13 13 12 分（其他正确建系方法酌情相应给分） 19本小题主要考查随机事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、线性回归、随机事件的概率分布及其均值等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、统计思想、化归与转化思想满分 12 分解：（1）列联表如下：实验组对照组合计有显著疗效 70 40 110 无显著疗效 30 60 90

23、合计 100 100 200 2 分由于 2 2 200(70 6040 30)200 18.210.828 100 100 110 9011 K 4 分所以有 99.9的把握认为该药品对该疾病有显著疗效. 5 分（2）根据题意： 3 (100200)0.3 10 Px， 6 (200300)0.6 10 Px，理科数学答案与评分细则第 5 页共 10 页 1 (300)0.1 10 P x 记药业公司年总利润为（单位：万元）. 引进 1 条生产线的情形. 由于每年的患者人数都在 100 万以上，因此运行 1 条生产线的概率为 1，对应的年利润， ( )6000 16000E .

24、7 分引进 2 条生产线的情形. 当100200x时，运行 1 条生产线，此时 6000 10005000 ，因此 (5000)(100200)0.3PPx 当200x 时，运行 2 条生产线，此时 6000 212000 ，因此 (12000)(200)0.60.10.7PP x 由此得的分布列如下： 5000 12000 P 0.3 0.7 所以， ( )5000 0.3 12000 0.79900E.9 分引进 3 条生产线的情形. 当100200x时，运行 1 条生产线，此时 6000 1000 24000 ，因此 (4000)(100200)0.3PPx 当200300x时

25、，运行 2 条生产线，此时 6000 2 100011000 ，因此 (11000)(200300)0.6PPx 当300x 时，运行 3 条生产线，此时 6000 318000 ，因此 (18000)(300)0.1PP x 由此得的分布列如下： 4000 11000 18000 P 0.3 0.6 0.1 所以， ( )4000 0.3 11000 0.6 18000 0.19600E 11 分因为990096006000 所以，欲使该药业公司年总利润的期望值达到最大，应引进 2 条生产线. .12 分 20本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能

26、力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等满分 12 分解法一:（1） 222 e (1)11(1)(e) ( )() xx xxa fxa xxxx ，.1 分由定义域为(0, )，所以e 1 x 理科数学答案与评分细则第 6 页共 10 页当10a 时，e0 x a，所以函数 ( )f x的单调递减区间为(0,1)，递增区间为(1,)；.2 分当1a 时，令 ( )0fx ，则1x 或 ln()xa, 当 ea 时，ln( )1a ， ( )0fx 恒成立，所以函数 ( )f x的递增区间为(0,)，无减区间；.3 分当e1a 时

27、，0 ln()1a ，所以函数 ( )f x的单调递减区间为(ln(),1)a ，递增区间为(0,ln( )a 和(1, )；.4 分当 ea 时，ln()1a ，所以函数 ( )f x的单调递减区间为(1,ln()a ，递增区间为(0,1)和(ln( ),)a.5 分综上，当10a 时，函数 ( )f x的单调递减区间为(0,1)，递增区间为(1,)；当 ea 时，函数 ( )f x的递增区间为(0,)，无减区间；当e1a 时，函数 ( )f x的单调递减区间为(ln(),1)a ，递增区间为(0,ln( )a 和(1, ) ；当 ea 时，以函数( )f x的单调递减区间

28、为(1,ln()a ，递增区间为(0,1)和(ln( ),)a （2）依题意得，( )(1)lneln0 x xf xaxxaax在0 +，恒成立当0a 时，不等式显然成立；.6 分当0a 时， (1ln )exax，即 11ln ex x a 成立，.7 分设 1ln ( ) ex x g x ，则 1 1ln ( ) ex x x g x ，设 1 ( )1lnh xx x ，则( )h x在0 +，单调递减，且(1)0h，所以，当 0,1x 时， ( )0h x ， ( )0g x ， ( )g x单调递增；当 1,+x时，( )0h x ， ( )0g x ， ( )g x

29、单调递减.9 分所以 max 1 ( )(1) e g xg.10 分所以 11 ea ，解得e,0a .11 分综上，当e0a 时， ( )(1)ln0xf xaxx 12 分解法二:（1）同解法一 (2) 设( )( ) (1)lneln x g xxf xaxxaax，当0a 时，不等式显然成立；.6 分当0a 时，由不等式 ( )0g x 对 (0,)x时恒成立，故(1)0g ，即e0a，得e0a .7 分理科数学答案与评分细则第 7 页共 10 页当e0a 时， e ( )e x x axa g x xx ，设( )exh xxa，显然 ( )h x在(0

30、,)为增函数，又 (0)0ha ， (1)e0ha ，故必存在唯一的零点 0 (0,1)x ，使得 0 00 ()e0 x h xxa，.8 分且当 0 (0,)xx时，( )0h x ， 0 (,)xx时，( )0h x ，所以 ( )g x的单调递减区间为 0 (0,)x，递增区间为 0 (,)x ，.9 分所以 0 min00 ( )()eln x g xg xaax，由 0 0 ex a x 得000 00 1 ()ln(ln1) a g xaaxax xx ，.10 分设 1 ( )ln1k xx x ，(0,1)x，则 ( )k x在(0,1)上单调递增，故 1 (

31、 )(1)ln1 10 1 k xk ，又e0a ，所以 min ( )0g x，即当e0a 时不等式成立.11 分综上，当e0a 时， ( )(1)ln0xf xaxx 12 分 21本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分 12 分解法一：（1）证明：依题意可设直线AB的方程为x=ty+m，代入 2 4yx消去x得： 2 440ytym， 2 160=16tm，即 2 0tm，设 1122 ( ,), (,)A x yB xy ，则 1

32、212 4 ,4yyt y ym ，1 分因为90AOB，所以0OA OB，故 1212 0x xy y ， 2 分又 22 1122 11 , 44 xyxy，所以 22 1212 1 0 16 y yy y，故 12 16y y ，所以416m，得4m ，3 分因此直线AB的方程为x=ty+4，该直线过定点(4,0) 4 分（2）（i）因为AB过定点(2,1)，所以由（1）得2tm ，即2mt， 22 1616(2)0=16tmtt 恒成立， 1212 4 ,448yyt y ymt ， 5 分理科数学答案与评分细则第 8 页共 10 页由题知得 1212 (,) 22

33、 xxyy M ， 2 1212 () (,) 162 yyyy C ，所以 22 222 12 12121212 11 ()()() 44 | 21621616 yy xxyyyyyy CM ， 6 分所以 3 11212 11 | | 232 SCMyyyy，7 分因为 222 121212 |()4(4 )4(48)422 7yyyyy ytttt ，且 1 2 t 时等号成立，所以 33 112 117 7 |(2 7) 32324 Syy，8 分当 1 S取到最小值 7 7 4 时， 1 2 t ， 3 2 m ，直线AB的方程为 13 22 x=y ，即302x- y

35、可得到 2 12 1 | 64 PNyy) 解法二：（1）同解法一；（2）（i）同解法一；理科数学答案与评分细则第 9 页共 10 页（ii）由（2）（i）得 3 112 1 | 32 Syy，（此处 12 |yy 可以理解为A,B两点的纵向高度差）依题知同理可得 3 212 11 (|) 32 2 Syy11 分所以 1 2 8 S S 12 分 22选修44；坐标系与参数方程本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程的应用，意在考查考生综合运用知识和运算求解能力满分 10 分（1）曲线C的普通方程为 222 xyr，2 分将 cos ,sinxy 代入

36、直线l的极坐标方程中，得到l的直角坐标方程为 40xy 4 分（2）点4 0P，在直线l上，则l的参数方程可设为 2 4 2 2 2 xt yt （t为参数）5 分将l的参数方程与曲线C的普通方程联立，得 22 4 2160ttr 显然0 ，设点AB、对应的参数分别为 12 、tt，则由韦达定理得 12 2 12 4 2 16 tt ttr ，， 6 分且当4r 时， 2 12 160ttr7 分所以 21 21 2 2 12 114 2 =2 1616 tttt PAPBttrr ，9 分得 2 5r 10 分 23选修45：不等式选讲本小题考查含绝对值、参数的不等式有解

37、问题与基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想等满分 10 分解法一：(1)当0a 时， 1f xxx 解不等式11xx 理科数学答案与评分细则第 10 页共 10 页由绝对值不等式知，111xxxx2 分当且仅当10xx时等号成立，3 分因此 1f x的解集A=01xx4 分 (2)由A B，即01 ，x，不等式 3 2 f xx 恒成立5 分 01 ，x， 3 2 f xx 等价于 3 1 2 xaxx，整理得 1 2 xa7 分故 11 22 xa在01 ，x恒成立8 分则 1 2 1 2 ax ax 在01 ，x恒成立，得 1 2 1 2 a a 所以实数a的值为 1 2 10 分解法二：(1)当0a 时， 1f xxx 解不等式11xx 当0x时，等价于11 xx，解得0x1 分当01x时，等价于11 xx，解得01x2 分当1x时，等价于1 1xx ，解得1x3 分因此 1f x的解集A为01xx4 分 (2)同解法一.