2019-2020学年陕西省咸阳市武功县高三（上）第一次模拟数学试卷（文科）含详细解答

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1、观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在（2700， 3000的频率为（ ） A0.001 B0.1 C0.2 D0.3 5 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 z3x4y 的最大值和最 小值分别为（ ） A3，11 B3，11 C11，3 D11，3 6 （5 分）在ABC 中，有 a2b，且 C30，则这个三角形一定是（ ） A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 7 （5 分）已知函数 f（x）（xa） （xb） （ab）的图象如图所示，则函数 g（x）ax+b 的图象是（ ） 第 2 页（共 18 页） A B C D 8 （5 分

2、）函数 f（x）sin2xcos2x 是（ ） A周期为 2 的函数 B周期为的函数 C周期为的函数 D周期为 的函数 9 （5 分） “直线 l 上有两点到平面 的距离相等”是“直线 l 与平面 平行”的（ ） A充要条件 B充分非必要条件 C必要非充分条件 D非充分非必要条件 10 （5 分）直线 l 过点（0，2） ，被圆 C：x2+y24x6y+90 截得的弦长为 2，则直线 l 的方程是（ ） Ayx+2 Byx+2 Cy2 Dyx+2 或 y2 11 （5 分）椭圆长轴上的两端点 A1（3，0） ，A2（3，0） ，两焦点恰好把长轴三等分，则 该椭圆的标准方程为（ ） A B C

3、D 12 （5 分）函数 f（x）ax3+x+1 有极值的充要条件是（ ） 第 3 页（共 18 页） Aa0 Ba0 Ca0 Da0 二、填空题二、填空题 13 （5 分）设 f（x） （xR）是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，且 f（1）1，则 f （11）的值是 14 （5 分）若曲线 f（x）x4x 在点 P 处的切线平行于直线 3xy0，则点 P 的坐标 为 15 （5 分）有一个奇数列 1，3，5，7，9，现在进行如下分组：第一组含一个数1， 第二组含两个数3， 5， 第三组含三个数7， 9， 11， 第四组含四个数13， 15， 17， 19， ， 现观察猜想每组内各数之

4、和为 an与其组的编号数 n 的关系为 16 （5 分）如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对” 在 一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的 个数是 ； 三、解答题（一）必考题三、解答题（一）必考题 17 （12 分）一个口袋内装有大小相同的 5 个球，3 个白球，2 个黑球，从中一次摸出两个 球 求： （1）共有多少个基本事件； （2）摸出 2 个白球的概率 18 （12 分）已知数列an是等差数列，且满足：a1+a2+a36，a55 （）求 an （）记数列 cn（nN*） ，若cn的前 n 项和为 Tn，求 Tn 19 （1

5、2 分）如图，已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P，PA平面 ABCD，E、F 分别是 AB、 PC 的中点 （1）求证：EF平面 PAD； （2）求证：EFCD 第 4 页（共 18 页） 20 （12 分）已知双曲线的中心在原点，焦点 F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为 yx， 且过点（4，） （1）求双曲线方程； （2）若点 M（3，m）在此双曲线上，求 21 （12 分）已知函数 （1）求函数 yf（x）的单调区间； （2）若函数 yf（x）的图象与直线 y1 恰有两个交点，求 a 的取值范围 选修选修 4-4：坐标系与参数方程选讲：坐标系与参数方程选讲 22 （10 分）在极坐

6、标系中，直线 l 的极坐标方程为 （R） ，以极点为原点，极轴 为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ， 求直线 l 与曲线 C 交点 P 的直角坐标 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设不等式|x2|a（aN*）的解集为 A，且A，A （1）求 a 的值； （2）求函数 f（x）|x+a|+|x2|的最小值 第 5 页（共 18 页） 2019-2020 学年陕西省咸阳市武功县高三（上）第一次模拟数学学年陕西省咸阳市武功县高三（上）第一次模拟数学 试卷（文科）试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 （5 分

7、）已知全集 U1，2，3，4，5，6，7，A2，4，6，B1，3，5，7，则 A （UB）等于（ ） A2，4，6 B1，3，5 C2，4，5 D2，5 【分析】根据全集 U 及 B 求出 B 的补集，找出 A 与 B 补集的交集即可 【解答】解：全集 U1，2，3，4，5，6，7，B1，3，5，7， UB2，4，6， A2，4，6， A（UB）2，4，6 故选：A 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 2 （5 分）若（12i）z5i，则|z|的值为（ ） A3 B5 C D 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算 答

8、案 【解答】解：由（12i）z5i， 得， 则|z|的值为 故选：D 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题 3 （5 分）已知 （1，2） ， （2x，3）且 ，则 x（ ） A3 B C0 D 【分析】根据平面向量的共线定理的坐标表示（x1y2x2y10）代入即可求解 【解答】解：，且 第 6 页（共 18 页） 1（3）2（2x）0 x 故选：B 【点评】本题主要考查了平面向量共线的坐标表示解题的关键是要牢记平面向量共线 的坐标表示 x1y2x2y10 4 （5 分）观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在（2700， 3000的频率

9、为（ ） A0.001 B0.1 C0.2 D0.3 【分析】频率分布直方图的纵轴表示的是，所以结合组距为 300 可得频率 【解答】解：由频率分布直方图可得：新生婴儿体重在（2700，3000的频率为：0.001 3000.3 故选：D 【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握频率分布直方图以及其纵轴所表示的意义 5 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 z3x4y 的最大值和最 小值分别为（ ） A3，11 B3，11 C11，3 D11，3 【分析】作出可行域z 为目标函数纵截距负四倍画直线 3x4y0，平移直线观 察最值 【解答】解：作出满足约束条件的可行域，如右图所示， 可

10、知当直线 z3x4y 平移到点（5，3）时， 目标函数 z3x4y 取得最大值 3； 当直线 z3x4y 平移到点（3，5）时， 第 7 页（共 18 页） 目标函数 z3x4y 取得最小值11， 故选：A 【点评】本题考查不等式中的线性规划知识，画出平面区域与正确理解目标函数 z3x 4y 的几何意义是解答好本题的关键 6 （5 分）在ABC 中，有 a2b，且 C30，则这个三角形一定是（ ） A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 【分析】由 c+ba2b，可得 cb，有 C30B，从而解得 A 为钝角 【解答】解：在三角形 ABC 中，a2b，C30，则有 c+ba2b

11、， 即 cb，有 C30B， 所以 A180BC150B120， 故选：C 【点评】本题主要考查了大边对大角及三角形内角和定理的应用，属于基础题 7 （5 分）已知函数 f（x）（xa） （xb） （ab）的图象如图所示，则函数 g（x）ax+b 的图象是（ ） A B 第 8 页（共 18 页） C D 【分析】由已知中函数 f（x）（xa） （xb）的图象可得：0a1，b1，进而 结合指数函数的图象和性质及函数图象的平移变换法则，画出 g（x）ax+b 的图象，可 得答案 【解答】解：由已知中函数 f（x）（xa） （xb）的图象可得： 0a1，b1， 故 g（x）ax+b 的图象如下图所

12、示： 故选：A 【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，其中根据已知分析出 0a1，b 1，是解答的关键 8 （5 分）函数 f（x）sin2xcos2x 是（ ） A周期为 2 的函数 B周期为的函数 C周期为的函数 D周期为 的函数 【分析】根据辅助角公式化为 f（x）Asin（x+）+b 的形式，再求周期 【解答】解：f（x） 函数的最小正周期 故选：D 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，比较基础 9 （5 分） “直线 l 上有两点到平面 的距离相等”是“直线 l 与平面 平行”的（ ） 第 9 页（共 18 页） A充要条件 B充分非必要条件 C必要非充分条件 D非充

13、分非必要条件 【分析】直线 l 上有两点到平面 的距离相等不一定得到直线与平面平行，有一种位置 关系即直线与平面相交时，也存在两个点到平面的距离相等，当直线 l 与平面 平行时， 可以得到直线上的点到平面的距离相等，得到结论 【解答】解：直线 l 上有两点到平面 的距离相等不一定得到直线与平面平行， 有一种位置关系即直线与平面相交时，也存在两个点到平面的距离相等， 当直线 l 与平面 平行时，可以得到直线上的点到平面的距离相等， 前者不能推出后者，后者可以推出前者， 前者是后者的必要不充分条件， 故选：C 【点评】本题看出直线与平面的位置关系和条件问题的判定，本题解题的关键是正确理 解线与面的

14、位置关系，本题是一个基础题 10 （5 分）直线 l 过点（0，2） ，被圆 C：x2+y24x6y+90 截得的弦长为 2，则直线 l 的方程是（ ） Ayx+2 Byx+2 Cy2 Dyx+2 或 y2 【分析】求出圆的圆心与半径，利用弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，求出所求直 线的斜率，然后求出直线方程 【解答】解：圆 C：x2+y24x6y+90 的圆心坐标（2，3） ，半径为 2， 直线 l 过点（0，2） ，被圆 C：x2+y24x6y+90 截得的弦长为 2， 圆心到所求直线的距离为：1， 设所求直线为：ykx+2即 kxy+20， 1， 解得 k0 或， 所求直线方程为 yx

15、+2 或 y2 故选：D 第 10 页（共 18 页） 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，弦心距与半径以及半弦长的关系，考查计算能 力 11 （5 分）椭圆长轴上的两端点 A1（3，0） ，A2（3，0） ，两焦点恰好把长轴三等分，则 该椭圆的标准方程为（ ） A B C D 【分析】由题意可设所求的椭圆的方程为，且 a3，再由两焦点 恰好把长轴三等分可得 a3c，从而可求 c，然后根据可求 b 的值，进而可求 椭圆的方程 【解答】解：由题意可设所求的椭圆的方程为，且 a3 由两焦点恰好把长轴三等分可得 2a6c 即 a3c3 c1， 故所求的椭圆方程为： 故选：A 【点评】对于椭圆方程的求

16、解一般需要先判断椭圆的焦点位置，进而设出椭圆的方程， 求解出 a，b 的值 12 （5 分）函数 f（x）ax3+x+1 有极值的充要条件是（ ） Aa0 Ba0 Ca0 Da0 【分析】用排除法 当 a0 时，判断原函数的单调性可知无极值点，排除 B，D； 当 a0 时，判断原函数的单调性可知无极值点，排除 A，进而得到答案 【解答】解：当 a0 时，函数 f（x）ax3+x+1x+1 是单调增函数无极值，故排除 B， D 当 a0 时，函数 f（x）ax3+x+1 是单调增函数无极值，故排除 A， 第 11 页（共 18 页） 故选：C 【点评】本题主要考查函数极值的充要条件做选择题时要选

17、择最快的方法是很关键的 问题，因为选择题都给一定的选项，所以排除法对做选择来说是一个很重要的方法 二、填空题二、填空题 13 （5 分）设 f（x） （xR）是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，且 f（1）1，则 f （11）的值是 1 【分析】根据 f（x）的周期为 3 可得出 f（11）f（1） ，再根据 f（x）是奇函数，并且 f（1）1 即可求出 f（1）1，从而得出 f（11）1 【解答】解：f（x）是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，且 f（1）1， f（11）f（1+34）f（1）f（1）1 故答案为：1 【点评】考查周期函数和奇函数的定义 14 （5 分）若曲线 f

18、（x）x4x 在点 P 处的切线平行于直线 3xy0，则点 P 的坐标为 （1，0） 【分析】先设切点坐标，根据导数的几何意义求出函数 f（x）在 xm 处的导数，根据切 线的斜率等于函数 f（x）在 xm 处的导数建立等式，解之即可 【解答】解：设切点坐标为（m，m4m） 则 f（m）4m313 解得：m1 则点 P 的坐标为（1，0） 故答案为： （1，0） 【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及解方程等基础题知识， 考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题 15 （5 分）有一个奇数列 1，3，5，7，9，现在进行如下分组：第一组含一个数1， 第

19、二组含两个数3， 5， 第三组含三个数7， 9， 11， 第四组含四个数13， 15， 17， 19， ， 现观察猜想每组内各数之和为 an与其组的编号数 n 的关系为 【分析】由题意先计算第一、二、三组内各数之和与其组的编号数的关系，再猜想 【解答】解：由题意，113， 3+523， 第 12 页（共 18 页） 7+9+1133， 故可得每组内各数之和与其组的编号数 n 的关系为 n3， 故答案为： 【点评】本题是归纳推理的运用，可通过特殊猜想一般，作为填空题、选择题是可行的 16 （5 分）如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对” 在 一个正方体中，由两个顶点确

20、定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的 个数是 36 ； 【分析】先考虑 6 个表面，每一个表面有四条棱与之垂直；再考虑 6 个对角面，每个对 角面又有两条面对角线与之垂直 【解答】解：正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成 24 个“正交 线面对” ； 而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成 12 个“正 交线面对” ， 所以共有 36 个“正交线面对” ； 故答案为 36 【点评】画出图形，分类讨论 三、解答题（一）必考题三、解答题（一）必考题 17 （12 分）一个口袋内装有大小相同的 5 个球，3 个白球，2 个黑球，从中一次摸

21、出两个 球 求： （1）共有多少个基本事件； （2）摸出 2 个白球的概率 【分析】 （1）由题意知从 5 个球中摸出 2 个，共有 C52个基本事件 （2）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件是从 5 个球中摸出 2 个，共有 C52个基本事件，满足条件的事件是摸出两个白球，共有 C32种结果，得到概 率 【解答】解： （1）由题意知从 5 个球中摸出 2 个，共有 C5210 个基本事件， （2）由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生所包含的事件是从 5 个球中摸出 2 个，共有 C5210 个基本事件， 第 13 页（共 18 页） 满足条件的事件是摸出两个白

22、球，共有 C323 种结果 满足条件的事件概率是 答：从 5 个球中摸出 2 个共有 10 种结果，摸出两个白球的概率是 【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是做出满足条件的事件数，这里 借助于组合数来表示，本题是一个基础题 18 （12 分）已知数列an是等差数列，且满足：a1+a2+a36，a55 （）求 an （）记数列 cn（nN*） ，若cn的前 n 项和为 Tn，求 Tn 【分析】 （）根据等差数列的定义构成方程组，即可求an的通项公式； （）求出求数列cn的通项公式，利用裂项法即可求前 n 项和 Sn 【解答】解： （）数列an是等差数列，且 a1+a2+a36，a5

23、5， ， ann， （）， 【点评】本题主要考查等差数列的通项公式的求解，以及利用裂项法进行求和，考查学 生的计算能力 19 （12 分）如图，已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P，PA平面 ABCD，E、F 分别是 AB、 PC 的中点 （1）求证：EF平面 PAD； （2）求证：EFCD 第 14 页（共 18 页） 【分析】 （1）取 PD 中点 Q，连 AQ、QF，易证 EFAQ，根据直线与平面平行的判定定 理可证得 EF面 PAD； （2）欲证 CDEF，可先证直线与平面垂直，CDAD，CDPA，PAADA，根据直 线与平面垂直的判定定理可知 CD面 PAD，从而得到 CDEF；

24、【解答】证明： （1）取 PD 中点 Q，连 AQ、QF，则 AEQF 四边形 AEFQ 为平行四边形 EFAQ 又AQ 在平面 PAD 内，EF 不在平面 PAD 内 EF面 PAD； （2）CDAD，CDPA，PAADA PA 在平面 PAD 内，AD 在平面 PAD 内 CD面 PAD 又AQ 在平面 PAD 同 CDAQ EFAQ CDEF； 【点评】小题主要考查直线与平面平行，以及直线与平面所成的角等基础知识，考查空 间想象能力，运算能力和推理论证能力 20 （12 分）已知双曲线的中心在原点，焦点 F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为 yx， 且过点（4，） （1）求双曲线方程；

25、 （2）若点 M（3，m）在此双曲线上，求 【分析】 （1）设双曲线方程为 x2y2，0，由双曲线过点（4，） ，能求出双 第 15 页（共 18 页） 曲线方程 （2）由点 M（3，m）在此双曲线上，得 m由此能求出的值 【解答】解： （1）双曲线的中心在原点，焦点 F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为 yx， 设双曲线方程为 x2y2，0， 双曲线过点（4，） ， 1610，即 6， 双曲线方程为1 （2）点 M（3，m）在此双曲线上， 1， 解得 m M（3，） ，或 M（3，） ， F1（2，0） ， 当 M（3，）时，（23，） ，（，） ， 1260； 当 M（3，）时，（23，

26、） ，（，） ， 126+6+9+30 故0 【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查向量的数量积的求法，解题时要认真审题， 注意双曲线性质的合理运用 21 （12 分）已知函数 （1）求函数 yf（x）的单调区间； （2）若函数 yf（x）的图象与直线 y1 恰有两个交点，求 a 的取值范围 【分析】 （1）对函数 f（x）求导，根据导数大于 0 时原函数单调增，导数小于 0 时原函 数单调减可得到答案 （2）求出函数的极值点，根据图象可得答案 第 16 页（共 18 页） 【解答】解： （1）因为 f（x）x3+ax22a2xx（x+2a） （xa） 令 f（x）0 得 x12a，x20，x

27、3a 由 a0 时，f（x）在 f（x）0 根的左右的符号如下表所示 x （， 2a） 2a （2a， 0） 0 （0，a） a （a， +） f（x） 0 + 0 0 + f（x） 极小值 极大值 极小值 所以 f（x）的递增区间为（2a，0）与（a，+）f（x）的递减区间为（，2a） 与（0，a） （2）由（1）得到， f（x）极大值f（0）a4 要使 f（x）的图象与直线 y1 恰有两个交点，如图示 或 故只要或 a41， 即或 0a1 【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，即当导数大于 0 时原 函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减 选修选修 4-4：坐

28、标系与参数方程选讲：坐标系与参数方程选讲 22 （10 分）在极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 （R） ，以极点为原点，极轴 为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ， 求直线 l 与曲线 C 交点 P 的直角坐标 第 17 页（共 18 页） 【分析】直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换， 再利用二元二次方程的解法的应用求出结果 【解答】解：直线 l 的极坐标方程为 （R） ，转换为直线的普通方程为 y， 曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ， 转换为直角坐标方程为曲 C 的直角坐标 方程为， 联立解方程组得或 故 P 点的

29、直角坐标为（0，0）和 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，二元 二次方程组的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础 题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设不等式|x2|a（aN*）的解集为 A，且A，A （1）求 a 的值； （2）求函数 f（x）|x+a|+|x2|的最小值 【分析】 （1）根据包含关系得到关于 a 的不等式，解出即可； （2）根据绝对值不等式的性质求出函数的最小值即可 【解答】解： （1）因为A，且A， 所以2a，且2a， 解得a 又因为 aN*， 所以 a1 （2）因为|x+1|+|x2|（x+1）（x2）|3， 当且仅当（x+1） （x2）0， 即1x2 时取到等号 所以 f（x）的最小值为 3 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查转化思想，是一道中档题